“雙新”背景下數(shù)學建模活動初探
——以“醫(yī)院推床通道的寬度研究”為例

200137 上海市高橋中學 朱詠梅 楊晨昊

一、 教學設計說明

(一)教材分析

《普通高中數(shù)學課程標準》(2017年版2020年修訂)明確指出必修課程包括五個主題，分別是預備知識、函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學建?；顒优c數(shù)學探究活動.課標在主題二“函數(shù)”的教學提示中提到，函數(shù)應用不僅體現(xiàn)在用函數(shù)解決數(shù)學問題，更重要的是用函數(shù)解決實際問題.在函數(shù)單元的學習中，幫助學生理解函數(shù)構建數(shù)學模型的基本過程；運用模型思想發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析問題和解決問題.

《上海市數(shù)學學科教學基本要求》明確指出，在函數(shù)的單元教學中，應把本單元的內(nèi)容視為一個整體，從具體的函數(shù)出發(fā)，引導學生從變量之間的依賴關系、實數(shù)集合之間的對應關系、函數(shù)圖像的幾何直觀等角度整體認識函數(shù)概念.通過梳理函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性、最大(小)值等認識函數(shù)的性質.而數(shù)學建模正是學生運用函數(shù)模型，探究并解決實際問題的應用體驗，有助于學生深刻感悟函數(shù)作為數(shù)學的語言和工具在解決實際問題中的重要作用.

數(shù)學建模與教材必修一“5.3函數(shù)關系的建立”的側重點是不同的.函數(shù)關系的建立是對已經(jīng)數(shù)學化的問題，通過分析變量間的關系建立函數(shù)關系，亦可著眼于在簡單的生產(chǎn)、生活問題中建立相應的函數(shù)模型.而數(shù)學建模是對某個現(xiàn)實問題經(jīng)過必要的簡化、合理的假設得到一個數(shù)學問題，將其稱為數(shù)學模型，再求解所得到的數(shù)學問題，根據(jù)實際情況驗證該數(shù)學答案是否合理.在合理性得不到保證時，還要進行反復迭代和修正模型.數(shù)學建模是從實際問題抽象出數(shù)學問題，到賦予數(shù)學模型解答現(xiàn)實意義的完整過程.

(二)教學內(nèi)容解析

本次建?；顒邮窃跍贪嫫胀ǜ咧薪炭茣稊?shù)學》必修一第五章第三節(jié)“函數(shù)關系式的建立”教學之后進行的，是參考必修四中“家具搬運”的案例，重新創(chuàng)設的適合高一學生開展的一次數(shù)學建?；顒?

本活動共分為四課時，其中，第一課時、第四課時在課堂外進行，本文重點探究第二課時、第三課時.

第二課時：現(xiàn)實帶來的思考是救治病人需要爭分奪秒，在最短時間內(nèi)通過病床把病人送到搶救室.因此，從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題，即醫(yī)院推床通道的寬度應有嚴格的最低限度要求，進而通過分析問題、建立轉角模型并求解模型得到答案、回到實際情境驗證答案、直觀感受到答案與實際情形不相符，產(chǎn)生疑惑，發(fā)現(xiàn)需要再改進模型.

第三課時：根據(jù)問題本質，通過數(shù)據(jù)分析、逐步添加影響因素等方式，模型不斷完善，在模型不斷合理化的過程中提高學生數(shù)學建模能力，開發(fā)學生的創(chuàng)新能力.

(三)學情分析

1.學生已有的認知基礎

學生已經(jīng)具備了銳角三角比、函數(shù)的概念、性質(單調(diào)性、奇偶性，最值)等知識，能對簡單的應用問題建立相應的函數(shù)關系.

2.達成教學目標所需的認知基礎

數(shù)學建模對學生的綜合能力要求較高，包括將實際問題轉化為數(shù)學問題，分析問題的本質與影響因素，收集數(shù)據(jù)并合理分析運用，建模、解模、檢驗模型、優(yōu)化模型、再檢驗模型等能力.

3.教學難點的突破策略

通過教師引導啟發(fā)，學生小組團隊合作完成數(shù)學建模的完整過程，應用數(shù)學軟件輔助直觀想象.

二、 教學設計具體內(nèi)容

通過教師的引導，學生逐步考察影響數(shù)學模型的相關因素(如圖1所示).

圖1

(一)教學過程

活動1創(chuàng)設情境，引入課題

情境1(播放視頻)搶救病人需要爭分奪秒，在推拉著病床迅速跑向搶救室的過程中，一路上要保證行進的暢通、順利.因此，對于醫(yī)院通行推床的通道，其寬度的最低限度有嚴格的要求.

問題1如果由你來制定這個行業(yè)標準，你認為該通道寬度的最小值應為多少？

設計意圖：通過真實的情境引導學生關注其背后的數(shù)學問題，并能準確表達.

活動2分析問題本質，考察相關因素

情境2每個小組畫出病床在通道中運動的示意圖，小組展示交流，并考察問題的本質和相關的因素.

問題2該問題的本質是什么？

在病床能轉過通道轉角的前提下，求解通道寬度的最小值.(因為病床的寬度一定小于通道寬度，故不考慮病床的直線前進)這里的通道寬度指的是除去占用通道的物體后，實際可行的通道寬度，也就是通道凈寬的最小值(如圖2所示).

圖2

問題3影響通道寬度的因素有哪些？

由于病床的床面和地面平行，床的高度一定小于樓層高度，所以只需要研究病床在水平地面上的投影形成的平面幾何圖形即可.因此，有可能影響通道寬度的因素如圖3所示.

圖3

問題4如何處理這么多復雜的因素？

提出合理的假設.

1.通道的轉角是直角，因為直角轉角是建筑通道中最多使用的轉角.

2.轉角兩側的通道沒有任何占據(jù)通道的人或物，且通道兩側凈寬相同，記為d.

3.病床的尺寸有嚴格的要求，為了研究的方便，用字母l表示其長度，h表示其寬度.

4.忽略運動過程中的所有摩擦.

設計意圖：通過一系列問題串，學生對從現(xiàn)實情境抽象出的數(shù)學問題的分析方式有了直觀的理解，為后續(xù)初步建模建立了基礎.

活動3分析主要矛盾，合理簡化模型

情境3考察該問題背后的數(shù)學模型.

問題5既然影響問題的因素得到了合理簡化，那么該問題所對應的數(shù)學模型能否相應得到簡化？

由于人能夠推動病床前進且?guī)椭〈岔樌D過通道轉角，故假設病床有自動前進、轉彎的功能，工作人員都在床的前方或者后方，這樣就能先忽略人對通道寬度的影響.

此時，如圖4所示,通道寬度d就只與病床的長l、寬h有關.

圖4

情境4利用幾何畫板觀察病床轉過轉角的過程，感受通道寬度d只與病床的長l、寬h之間有依賴關系.

問題6如何理解長l、寬h的病床能夠轉過寬度d的通道？

從運動過程(幾何畫板拖動演示)可見，如果通道足夠寬，那么床能順利轉彎(如圖5-1所示).

說明此時可以縮小通道的寬度，使得床的一邊抵在通道轉到的拐點(如圖5-2所示).

圖5-1圖5-2

圖5-3

而如果床的一邊抵住了點O，有時也會發(fā)生無法轉動的情況(如圖5-3所示).

造成上述情況的原因是病床在運動中不會發(fā)生形變，不易想象病床抵住墻時的運動情況，且不知道通道寬度d與病床的長l、寬h之間的關系，這給問題的解決造成了困難.

換一個角度思考、想象一下，將病床置于一個長寬都能在運動中伸縮自如的彈性矩形內(nèi)，這樣彈性矩形就可以抵住墻轉過轉角，此時通道寬度和彈性矩形長寬之間存在著某種依賴關系.

圖6

問題7通道寬度和彈性矩形長寬之間的關系是一個多元變量函數(shù)，以目前的知識儲備無法解決這樣的問題，怎么辦？

考慮控制變量，實現(xiàn)降維處理.如圖6所示,令彈性矩形A1B1C1D1的寬度即為病床的寬度，B1,C1始終貼著通道外側的墻運動的情況下，結合動畫軟件可知在θ變化的過程中，對任意給定的通道寬度d，線段B1C1的長度隨之變化并有最小值.對任意給定的通道寬度d，只要病床的長度l小于等于B1C1的最小值，病床就能轉過直角通道.

設計意圖：通過對所有相關因素的分析與簡化，抓住影響問題的關鍵點，實現(xiàn)對模型的簡化，同時讓學生認識到對多變量進行控制變量是實現(xiàn)降維處理、化繁為簡的有效手段.

活動4模型初建與求解

轉角模型

推床轉彎的問題可以表述為如下數(shù)學問題.

如圖7，已知OM與PK、ON與PQ分別平行且距離都是定值d，OM⊥ON，PK⊥PQ，矩形A1B1C1D1的邊A1D1通過點O，矩形的寬A1B1=h(h為定值，且h

圖7

設計意圖：通過對模型的初建和改進，感悟初步建立模型并求解的意義在于得到極簡情況下數(shù)學意義上的解，盡管這個結果與真實情形是有較大差距的，但它為后續(xù)的模型改進提供了必要的基礎.

活動5交流反思模型的解及其實際意義

情境5對改進后模型的解進行分析.

問題8利用轉角模型的結論，結合病床的尺寸求解通道寬度的最小值，并思考這個結果的合理性.

醫(yī)用病床基本尺寸應符合不含床架的情況下，床面長度為1900mm-2000mm，床面寬度為900mm-1000mm，且床欄的高度應不小于350mm，長度不小于800mm.

圖8

醫(yī)院病床最為常見的是ABS沖孔面手動雙搖病床(如圖8所示)，其外形尺寸為2000mm×900mm×500mm(長×寬×床面高).

由此提出問題：根據(jù)上述建模的結果，你能給出醫(yī)院通道寬度的最低限度嗎？(不能，還要考慮人的因素)

問題9如何考慮人對通道寬度的影響？

人的作用是幫助病床前進、轉彎，其站位和體型都對通道寬度有影響.

人的站位：(觀察視頻中醫(yī)護人員的站位)通常情況下，推床周圍有5名工作人員，其中4名分別站在床的兩側(陰影處)，還有1名在床尾推著床前進(斜紋處)，其站位通常情況如圖9所示.

人的體型：由于人的體型復雜，不易處理.為了研究的方便，這里對人體作簡化處理，將人看成一個長方體，假設人體寬為w，人體厚度為k，則其俯視圖是鄰邊為w,k的矩形(如圖10所示).

圖9圖10

提出問題:根據(jù)人的體型和站位，你能畫出工作人員推病床的俯視圖嗎？

該平面圖形的橫向最大寬度是床的寬度+兩人的寬度，縱向最大長度是床的長度+一步長(如圖9所示).

問題10如何選取人的體型數(shù)據(jù)？

盡管床兩側的4名工作人員會有側身的情況，但前進中大致上還是會保持身體朝前方的姿態(tài)，因此其俯視圖的寬度應為人體最寬的部位.而人體最寬的部位是肩部，下面考察普通成年人的肩寬.

根據(jù)《中國成年人人體尺寸(GB10000-88)》得到表1.

表1

說明：肩寬指的是人兩肩峰之間的距離，最大肩寬指的是人上臂三角肌外側兩點間的距離，所以應該用“最大肩寬”.

該數(shù)據(jù)來自1986年我國人體基礎數(shù)據(jù)調(diào)查.時隔20多年，隨著人的生活水平不斷提高，越來越多的人重視運動健身，人的體型也發(fā)生了較大的變化.2013年11月27日，“中國成年人工效學基礎參數(shù)調(diào)查”正式啟動，持續(xù)5年.而“國家人口健康科學數(shù)據(jù)中心人口健康科學數(shù)據(jù)倉儲PHDA”的網(wǎng)頁顯示，該調(diào)查數(shù)據(jù)將于2029年11月19日公開.

因此，引入其他國家的一些數(shù)據(jù)進行參考，例如根據(jù)日本《size-JPN 2004-2006》得到表2.

表2

根據(jù)美國2010AnthropometricSurveyofU.S.MarineCorpsPersonnel:MethodsandSummaryStatistics節(jié)選得到表3.

表3

結合上述數(shù)據(jù)，考慮到亞洲人與歐美人的體型有較大差異，所以采用日本的數(shù)據(jù)，記推床的醫(yī)護人員的最大肩寬為0.466m.后兩名工作人員在奔跑中呈前傾姿勢，因此，其俯視圖是長度為人最大肩寬w，寬度為手所扶的床沿到腳后跟的距離k′，取k′=0.9m.

問題11結合轉角模型的結果和人的相關數(shù)據(jù)，再次求解通道寬度的最小值，并思考此時能否為醫(yī)院推床通道定一個最低的寬度.

圖11

根據(jù)模型結論，考慮到行進中的工作人員和墻之間會留有一定的空間，所以推床通道的凈寬不低于2.4m是合理的.這與《綜合醫(yī)院建筑設計規(guī)范》中的規(guī)定是吻合的.

設計意圖：在轉角模型的基礎上，增加先前為了簡化模型而去掉的因素，還原模型的真實性，體會模型不斷改進的必要性.同時在人體數(shù)據(jù)的收集和運用中，讓學生感受到數(shù)據(jù)的來源必須是真實的，其運用是有理有據(jù)的.

情境6關于模型的一些思考.

問題12如果兩側寬度相同的轉角是鈍角，通道的寬度的最小值會有所改變嗎？

如圖12-1、圖12-2，在彈性矩形A1B1C1D1轉彎的過程中，B1C1的長度在轉角的角平分線OP兩側呈對稱變化，所以只需考慮當B1C1垂直于轉角的角平分線OP時，彈性矩形轉出這個拐角的過程即可.

圖12-1

圖12-2

圖13-1

圖13-2

由于同心圓中較大的圓與通道的外側PB1，PC1相切于B1，C1，因此當彈性矩形A1B1C1D1保持寬度A1B1=h(病床寬度)不變，從垂直于角平分線OP起發(fā)生轉動并到達圖12-2中加粗位置時，此時B1，C1兩點處于通道內(nèi).也就是說，一旦撤去同心圓軌道，B1C1就會伸長，使得B1，C1兩點抵住通道外側墻面，即彈性矩形A1B1C1D1的長B1C1變大.

從上述過程可知，如圖14，彈性矩形A1B1C1D1垂直于角平分線OP時，B1C1達到最小值，只要病床的長度小于(B1C1)min時，病床就能通過該轉角.此時彈性矩形A1B1C1D1即為病床俯視圖的矩形ABCD，h=1m,l=2m).

圖14

圖15

設計意圖：改變轉角角度即是對合理簡化后條件做出的改進，也是讓學生多角度認識不同因素對通道寬度的影響，同時這些結論也能再次解釋《綜合醫(yī)院建筑設計規(guī)范》中通道凈寬最小值的合理性.由此，還可以將其推廣到其他建筑類型中，即在滿足相關建筑行業(yè)規(guī)范的前提下，設計不同的、既實用又美觀的通道.

問題13如果(直角)轉角兩側的過道的寬度不同，從窄的過道轉進寬的過道，或者從寬的過道轉進窄的過道，情況會有什么不同？

“寬進窄出”和“窄進寬出”是運動相反的兩個過程，所以只需考慮其中一種即可，下面說明窄進寬出.

圖16

而兩側等寬的直角通道的寬度最小值已經(jīng)在之前的模型中解決了，從而說明當通道兩側寬度不同時，所能通過的病床的最大長度，一定大于通道兩側等寬時的病床的最大長度.

因此，當窄側通道的寬度達到《綜合醫(yī)院建筑設計規(guī)范》中要求的2.4m時，就能保證病床能順利通過兩側寬度不同的直角通道.

設計意圖：改變轉角兩側的通道寬度有兩方面的需求.一是改變初步建模時設置的通道兩側等寬的條件，以觀察這種情況對模型結果的影響.二是這個病床轉彎的模型還有其他可以應用的意義，如停車場中的車道并非都是等寬的.因此，根據(jù)此模型的解可知，在設計兩側不等寬的直角通道時，窄側通道需達到相應的行業(yè)標準.

問題14經(jīng)過本次建?；顒?，你還能對模型作出其他改進嗎？你還能從其他角度來建模嗎？你覺得生活中還有哪些地方可以用到該數(shù)學模型？

問題15你覺得還有哪些生活中的問題可以用數(shù)學建模的方式來解決？

設計意圖：引導學生對模型進行改進，使其認識到數(shù)學建模的過程是一個由簡到繁、不斷完善的過程，任何一個模型都有其不足，需要多角度建模，并不斷改進，才能使模型與真實情境更貼近；使學生明白要學會用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維分析世界，用數(shù)學的語言描述世界.

(二)總結

1.數(shù)學建模的過程(如圖17所示).

圖17

2.數(shù)學建模過程是一個從簡單到復雜、逐步優(yōu)化的過程.

初步建模時應突出影響目標的主要因素，簡化其他因素，分類分解復雜因素，使問題得到初步解決，然后再逐步添加其他因素，使數(shù)學模型越來越接近現(xiàn)實情形.

三、 案例反思

(一)建模方式的初探——建?；顒拥恼鎸嶓w驗

本次建?；顒邮腔谛陆陶n程、新教材的第一次初探，以四課時為一次建?；顒舆M行探究.

第一課時的主要內(nèi)容是數(shù)據(jù)采集、實地考察、資料收集、小組協(xié)作.

第一課時在課堂之外展開，學生以小組為單位，教師指導，家長為輔，在確保安全的前提下，有些小組進入醫(yī)院對通道寬度、病床寬度等進行實地測量，或根據(jù)醫(yī)院可提供的數(shù)據(jù)，得到了2m到6.8m不等的醫(yī)院通道寬度數(shù)據(jù).有些小組上網(wǎng)進行數(shù)據(jù)采集，比如采集人體尺寸、病床尺寸等信息.有些小組進行訪談，記錄了解相關信息.通過小組組員協(xié)作，學生自行制作PPT展示小組的調(diào)查情況.有了數(shù)據(jù)之后，教師布置學生閱讀材料.由于這次建?；顒铀璧闹R儲備不僅涵蓋不等式、函數(shù)，而且涉及三角知識，所以教師通過預習方式將實際問題數(shù)學化.學生通過自主預習、自主采集(上網(wǎng)查閱需要的數(shù)學知識、向教師尋求幫助、和同伴合作交流)、自主探究等方式解決“自學案”的三個數(shù)學問題.

第二課時和第三課時依托市級展示活動，以公開教學方式展開.本文的教學案例就是基于第二課時和第三課時設計并完成的.在經(jīng)歷了第一課時的實際問題調(diào)查后，學生經(jīng)歷如下六個步驟：在真實情境中提出問題；分析問題的本質和影響因素；突出主要矛盾，對影響因素作出合理的假設；建模解模，并檢驗；反思改進模型，再檢驗；對模型進一步思考.兩節(jié)課原先沒有設計“畫一畫”的學生活動，教師發(fā)現(xiàn)學生從實際情境到數(shù)學化的過程有一定的困難，通過試講發(fā)現(xiàn)了問題，故而在問題引入上加以改進.結合調(diào)查的數(shù)據(jù)和視頻資料，學生以小組為單位畫出需要解決的數(shù)學問題的圖像，在直觀想象下思考并解決問題.“畫一畫”活動的調(diào)整不僅符合學生的認知和對問題的理解能力，而且激發(fā)了學生探究問題的熱情，發(fā)現(xiàn)原來自己也能設計建筑圖紙，也能把實際問題數(shù)學化.但是，課堂上為用數(shù)學語言將實際問題數(shù)學化、整理成“應用題”的過程所預留的時間有些不足.如果再增加3分鐘-5分鐘讓學生把實際問題具體化，寫出已知、求解就更好了，可以進一步完善學生對數(shù)學建模從實際到抽象的理解和實際應用.教師在第一課時發(fā)現(xiàn)有學生自學了三角函數(shù)和解析幾何的相關知識，他們覺得目前的知識儲備不夠用，于是通過自學畫出了三角函數(shù)圖像解決問題，運用了數(shù)形結合的數(shù)學思想方法.在第二課時，課堂中有學生說：“老師，我發(fā)現(xiàn)了一種很有趣的解法.”他利用點到直線距離知識克服難點，有了解析法的思想.無論學生的解決方式是什么，建模活動都激發(fā)了學生學習數(shù)學的興趣和樂趣，他們自主學習的能力在建?；顒又姓嬲辛恕皟?nèi)驅動”，而不是出于完成“數(shù)學作業(yè)”任務的需要.他們發(fā)現(xiàn)學習數(shù)學是有趣的、有效的、有方法的，而且這還帶動了整個班級的學習氛圍.自主學習、自主應用的意識在高一起始年級就形成了，為今后的數(shù)學學習打下了堅實的心理基礎和行為基礎.

第四課時的內(nèi)容為建模論文.此次建模活動組織了高一年級14個班級612名學生參加，為了更好地反思模型、驗證模型，第四課時設計為“建模作業(yè)——論文”.通過課后進一步思考和探究，從不同角度思考，不少學生形成了有一定質量的小論文，為數(shù)學研究打下了基礎.當然，也有一部分學生以感想的形式遞交了作業(yè)，雖然未形成“小論文”，但是他們對這次活動的所感所思還是非常深刻的.

(二)建?；顒拥恼n堂行為——問題相扣，思維碰撞，合作交流，思辨共進

第一課時、第四課時在課堂外，第二課時、第三課時在課堂內(nèi).課堂外教師適時、有序地指導，幫助學生形成自主預習和學習的能力.那么第二課時、第三課時的課堂對教師的語言是有高要求、嚴標準的.如何設計問題才能引發(fā)學生思考？如何有序、合理地實施建模的六個步驟？如何在建?；顒又凶寣W生產(chǎn)生共鳴？如何在一次建?；顒又袑崿F(xiàn)學科融合、“五育”并舉，甚至讓學生產(chǎn)生對未來職業(yè)的訴求和向往？這些都是“建模課題”.

首先，課堂語言的科學性、嚴謹性和準確性非常重要.數(shù)學是一門基礎學科，“它是人類對事物的抽象結構與模式進行嚴格描述的一種通用手段，它可以應用于現(xiàn)實世界的任何問題”.應用是學習數(shù)學的本質，它是人類科技進步的基礎和保障，是一種語言，為其他學科的學習奠定了基礎.故而，在選定課題后，如何解決問題，如何引導學生思考問題需要不斷磨、不斷調(diào)、不斷改.例如當醫(yī)院通道較窄時，學生不易想象病床轉彎的情形，此時教師在引導學生時需要設置語言上的陷阱，如“病床是剛體，在過彎時不會發(fā)生形變，導致其在較窄通道內(nèi)轉彎時有可能被卡住，但是如果這是一張有彈性的病床，可以發(fā)生形變呢？”基于學生在問題解決中可能產(chǎn)生的思維障礙，兩節(jié)課的問題鏈在一次次試講、一次次修改中不斷調(diào)整，從語言組織到語言“陷阱”，從問題提出到問題本質，從影響因素到合理假設，從數(shù)學化到問題解決，從數(shù)據(jù)分析到驗證模型.基于學生的認知是基礎，層層深入分析問題為引導，突破重點和難點是關鍵，總結歸納是思考和反思.

其次，課后學生的共鳴和收獲有些在筆者的意料之中，有些在意料之外.比如學生說“建筑簡易圖紙都能畫了，好像可以做建筑師吧”，“病床如果能有彈性不就能通過很多醫(yī)院通道了嗎”，“人體數(shù)據(jù)原來只能查到1986年的，要到2029年才能有最新數(shù)據(jù)”，“老師通過上網(wǎng)搜索了其他國家的人體數(shù)據(jù)，補充了我國數(shù)據(jù)，我怎么沒想到呢”，“統(tǒng)計，我們會學嗎？那我們采集數(shù)據(jù)后就會分析數(shù)據(jù)了吧”等.學生不僅學到了新知，對數(shù)學學科有了新的認識，而且對今后的職業(yè)規(guī)劃也有了初步的思考，可謂一舉多得.