一道IMO42不等式試題的探討

馮光文 (云南省昭通市第一中學(xué) 657000)

本文從一道IMO42不等式試題說起，談?wù)勅绾芜\(yùn)用多種方法進(jìn)行證明，并通過遷移和變通解決新問題，看清問題的源與流．

問題1

(2001年IMO42試題)對所有的正實(shí)數(shù)

a

,

b

,

c

，證明：分析 觀察待證不等式的結(jié)構(gòu)：該不等式一是分式型并且?guī)в懈?，二是輪換對稱，三是分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)．由于不等式右邊是具體的常數(shù)，這說明需要對左邊含有

a

,

b

,

c

的式子的分子與分母進(jìn)行約分．約去何種數(shù)式？這需要對左邊的式子進(jìn)行合理的處理．文[1]采用待定系數(shù)法證明類似地證明另外兩個式子，三個不等式相加即可證明．本文利用柯西不等式和權(quán)方和不等式給出另兩種證法

.

證法1

首先由柯西不等式易得再由柯西不等式得于是從而只要證(

a

+

b

+

c

)≥

a

+

b

+

c

+24

abc

．(*)

因?yàn)樗?*)式成立，從而原不等式成立．

評注

證法1兩次運(yùn)用柯西不等式，通過不等式的放縮進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用差值比較法以及

n

元均值不等式實(shí)現(xiàn)證明．

證法2

將待證不等式左邊變形為即利用權(quán)方和不等式可得下同證法1．

還有其他的變形方法，留給讀者思考．

評注

證法2中的思想是通過將原不等式的分子分母分別同乘從而構(gòu)造權(quán)方和不等式的模型，利用權(quán)方和不等式及

n

元均值不等式證明．

問題2

(《數(shù)學(xué)通報(bào)》2003年第5期1435號問題)已知

a

,

b

>0，求證：≥1． ①

與問題1相比，待證式中字母變少了，但所證結(jié)構(gòu)卻一樣，屬于問題1的同源題．注意到所以可采用問題1中的方法2來證明：

評注

本題也可用待定系數(shù)法或柯西不等式來證，讀者不妨一試．由于問題2結(jié)構(gòu)簡單，因此還可通過去分母來處理：兩邊平方整理得故原不等式成立．《數(shù)學(xué)通訊》2011年第11、12期78題：已知

a

,

b

為正實(shí)數(shù)，求證：②

與問題2如出一轍，可用問題2的方法對其進(jìn)行證明．文[3]中對②式用了五種方法證明，其本質(zhì)上還是待定系數(shù)、去分母轉(zhuǎn)化等．有些資料中有如下的問題：

已知

a

,

b

為正實(shí)數(shù)，求證：③；④．通過對比觀察發(fā)現(xiàn)：不等式①與不等式③④根號中系數(shù)不同，因而結(jié)果是不同的，一個是不等式的下界，一個是不等式的上界，不同的系數(shù)導(dǎo)致其結(jié)論不同．抓住這個特性，文[4]將之推廣為“已知

a

,

b

為正實(shí)數(shù)，

λ

≥3，求證：并用較為繁瑣的方法對其進(jìn)行了證明，實(shí)則用權(quán)方和不等式證明更容易．對于不等式的上界與下界，文[5]中有如下的問題：設(shè)

a

,

b

>0，求證：此不等式可以構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明，還可以去分母，通過等價(jià)變形進(jìn)行證明．

問題3

(2007年臺灣地區(qū)競賽題)設(shè)

a

,

b

,

c

為正實(shí)數(shù)，證明：

分析 與問題1對比發(fā)現(xiàn)，其結(jié)構(gòu)一樣，只不過分母根號內(nèi)的系數(shù)由8變?yōu)?，這導(dǎo)致了兩個不等式的下界不同．問題1有多種思考策略，本題亦如此，當(dāng)然可以利用權(quán)方和不等式來證．

證明

即證由均值不等式可得

a

+

b

+

c

+30(

a

b

+

ab

+

a

c

+

ac

+

b

c

+

bc

)-183

abc

≥3

abc

+30·6

abc

-183

abc

=0(上述所有不等式均在

a

=

b

=

c

時取等號)，所以原不等式成立．2013年《數(shù)學(xué)通訊》第1、2期問題征解125題：設(shè)

a

,

b

,

c

為正實(shí)數(shù)，且

a

+

b

+

c

=1，求證：不難發(fā)現(xiàn)與問題1不同的是增設(shè)了一個條件

a

+

b

+

c

=1，其他是一樣的，可沿用問題1的方法解決，留給讀者思考．我們還可以將上面的問題推廣到下面的問題4．

問題4

設(shè)

a

,

b

,

c

為正實(shí)數(shù)，

λ

≥8，求證：

證明

即證+

b

+

c

+3

λabc

)?(

λ

-8)(

a

+

b

+

c

)+3(1+

λ

)(

a

b

+

ab

+

a

c

+

ac

+

b

c

+

bc

)+(6-21

λ

)

abc

≥0(** )．由均值不等式知

a

+

b

+

c

≥3

abc

，

a

b

+

ab

+

a

c

+

ac

+

b

c

+

bc

≥6

abc

，從而(** )式左端≥3(

λ

-8)

abc

+18(1+

λ

)

abc

+(6-21

λ

)

abc

=0，且上述不等式均在

a

=

b

=

c

時取等號，從而原不等式成立．

問題5

(2004年波蘭數(shù)學(xué)奧林匹克試題)設(shè)

a

,

b

,

c

,

d

是正實(shí)數(shù)，證明：

分析 顯然該不等式是對上面所討論不等式的拓展，其結(jié)構(gòu)與問題1～4類似，在文[1]中還是利用待定系數(shù)法對其進(jìn)行證明．我們?nèi)杂脵?quán)方和不等式進(jìn)行證明．

證明

原不等式左邊即證因?yàn)?

a

+

b

+

c

+

d

)=[(

a

+

b

+

c

+

d

)]=(

a

+

b

+

c

+

d

)+2(

a

+

b

+

c

+

d

)(2

ab

+2

ac

+2

ad

+2

bc

+2

bd

+2

cd

)+(2

ab

+2

ac

+2

ad

+ 2

bc

+2

bd

+2

cd

)，且+2

ac

+2

ad

+2

bc

+2

bd

+2

cd

)，于是有(

a

+

b

+

c

+

d

)≥且上述不等式均在

a

=

b

=

c

=

d

時取等號，故原不等式成立．

問題1～5探討了同源問題的來龍去脈，利用權(quán)方和不等式統(tǒng)一證明了這一系列的問題，同時還對其進(jìn)行推廣，獲得了相應(yīng)的結(jié)論．?dāng)?shù)學(xué)解題的核心素養(yǎng)就在于學(xué)會“觀、思、變、論、推、創(chuàng)”，這樣才學(xué)得靈活，學(xué)得透徹，學(xué)得富有新意．