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    基于“問題鏈”的數學探究教學的設計和思考
    ——以“用向量法研究三角形的性質”為例

    2022-11-14 12:58:56310012浙江省杭州學軍中學張春杰
    中學數學雜志 2022年9期
    關鍵詞:問題鏈性質運算

    310012 浙江省杭州學軍中學 張春杰

    數學探究活動是運用數學知識解決數學問題的重要的實踐活動,是高中數學新課程的主線之一

    .

    “用向量法研究三角形的性質”是人教A版新教材中的一個數學探究活動

    .

    杭州市以“用向量法研究三角形的性質”為活動主題,組織了一場青年教師課堂教學評比活動,筆者全程觀摩了此活動,并進行了教學設計和思考,現對其展開論述

    .

    一、 內容和內容解析

    (一)內容:用向量法研究三角形的性質

    本單元內容分為三個課時

    .

    第1課時,回顧初中學習的三角形性質,并從幾何的角度進行研究方法的再總結

    .

    第2課時,梳理向量法的三部曲,并以三角形的重心性質研究為例,進行傳統(tǒng)法和向量法的對比研究

    .

    第3課時,用向量法研究三角形外心、重心、內心和其他幾何性質

    .

    (二)內容解析

    向量兼具幾何和代數的特征,是溝通幾何和代數的橋梁,向量單元的教學任務是理解向量語言和通過向量法解決幾何問題

    .

    三角形是幾何中最簡單、最常見的平面圖形,學生通過向量法解決三角形問題,感悟向量法的特點、便捷性和力量

    .

    通過證明與幾何法的對比,提煉向量法研究平面幾何問題的研究架構:首先,用幾何的眼光觀察性質;其次,用向量(數)表示三角形(形)性質;第三,幾何性質的向量運算(數);最后,通過向量運算研究三角形的性質

    .

    通過向量運算研究圖形性質是方法和策略的提升,開辟了一條新的運算推理之路

    .

    向量法是直觀想象、邏輯推理和數學運算的聚焦點,蘊含豐富的數學思想

    .

    這就需要教師從整體的高度進行設計,通過巧妙的數學情境和問題引領學生進行探究,在數學探究的過程中養(yǎng)成獨立思考、交流合作的習慣,培養(yǎng)探索精神,體驗成功的樂趣

    .

    (三)教學重點

    用向量方法研究三角形性質的三部曲

    .

    二、 目標和目標解析

    (一)單元目標

    1

    .

    會用幾何的眼光觀察圖形,能用向量及其運算刻畫平面幾何中元素的關系

    .

    2

    .

    能用向量法證明三角形的有關性質,掌握用向量法研究幾何問題的基本策略

    .

    3

    .

    通過探究三角形的“新”性質,體驗數學探究的過程和方法,體會向量法開辟了一條新的運算推理之路

    .

    (二)目標解析

    1

    .

    能用向量的運算刻畫幾何圖形中的平移、共線、垂直、相似、距離、角度等

    .

    2

    .

    能用向量法研究三角形的有關性質,掌握用向量法研究幾何問題的三部曲

    .

    第一步,幾何問題向量化;第二步,向量的代數運算;第三步,向量表達為幾何問題

    .

    3

    .

    掌握向量法研究三角形的方法,并繼續(xù)探究三角形的“新”性質,提升獨立進行課題研究的能力

    .

    三、 教學問題診斷分析

    (一)問題診斷

    首先,學生對課題和項目研究比較陌生

    .

    《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》對于數學探究活動的描述是:圍繞某個具體的數學問題開展課題研究,并實現解決問題的過程

    .

    教材建議以課題研究的形式展開,課題研究包含四個環(huán)節(jié):選題、開題、做題和解題

    .

    但是學生進行課題研究的經驗略有欠缺,為指導學生更好地進行課題形式的探究活動,教師應該積極參與到學生的課題研究進程中,給予適當的指導

    .

    其次,學生認為向量法就是坐標法

    .

    向量兼具數、形于一身,對向量及其運算不能狹隘地進行理解,教學中要強化向量法是“代數運算”和“圖形運算”的結合

    .

    向量法是利用運算律,通過向量運算解決幾何問題,不能簡單理解為坐標的代數運算

    .

    這一點在教學中要重點凸顯出來

    .

    (二)教學難點

    如何合理地將三角形的幾何性質轉化為向量運算

    .

    四、 教學支持條件分析

    (一)對本單元三個課時的教學進行適當安排

    對于本單元三個課時的數學探究活動,考慮到教學的時間和學生的情況,可以采取第1課時先從宏觀層面引導學生回顧、梳理初中幾何問題的研究方法和研究結論,并以研究報告的形式交流;第2課時以三角形的重心為對象展開研究,探索重心的幾何性質,并從幾何和向量兩個維度進行研究、對比;第3課時可以采用指定幾個研究課題(如將學生分為外心組、內心組和垂心組等)分別展開研究,撰寫研究報告,課堂上進行互動交流

    .

    第2課時和第3課時的間隔時間應盡可能長,以便學生有充足的時間進行研究

    .

    (二)技術條件

    教師可以對學生進行“幾何畫板”等幾何軟件使用的培訓,為新性質探究提供幫助

    .

    五、 課時教學設計

    用向量法研究三角形的性質(第2課時)

    (一)課時教學內容

    三角形重心性質的研究

    .

    (二)課時教學目標

    1.通過從幾何角度觀察圖形,體會幾何圖形的本質特征

    .

    2.通過將幾何性質轉化為向量的運算,掌握向量垂直、共線等運算特征

    .

    3.通過研究解決重心的性質問題,掌握向量法解決問題的三部曲

    .

    (三)教學重點和難點

    教學重點:

    向量法研究問題的三部曲

    .

    教學難點:

    幾何問題如何轉為為合適的向量問題

    .

    (四)教學過程設計

    環(huán)節(jié)1

    創(chuàng)設問題情境

    問題1

    三角形的重心是怎么定義的?

    追問1

    物理上的重心是怎么定義的?

    追問2

    三角形的中線一定交于一點嗎?

    師生活動:

    在提出問題1后,學生思考,教師巡視,學生回答并總結,剖析定義

    .

    設計意圖:

    引導學生回顧重心的定義,激發(fā)思維的起點

    .

    重心是經常被使用的概念,通過回顧這個概念是如何定義的,三角形的三線是否一定共點,學生回到思維的起點,為接下來的研究做好鋪墊

    .

    環(huán)節(jié)2

    從幾何角度研究

    問題2

    如何從幾何角度對三角形三條中線交于一點進行證明?

    追問1

    一般證明三角形三線共點有什么樣的策略?

    追問2

    你能給出證明的方法嗎?

    師生活動:

    在第1課時已經回顧并梳理了初中研究三角形的方法,可以提前把學生分為若干組,進行相關問題的探討,這里教師引領學生再思考、再梳理、再研究,然后學生匯報證明的思路和過程

    .

    設計意圖:

    在定義出現認知沖突后,很自然地需要進行分析解決

    .

    對于解決什么和如何解決,教師引領學生進行分析

    .

    這是一個學生已有的知識結構能夠解決的問題,可以放手給學生,通過小組合作、組長匯報,學生經歷發(fā)生、發(fā)展和解決的過程

    .

    通過知識的梳理、方法的整合、思想的碰撞,學生在用幾何法解決三條中線共點的過程中,對重心性質的認識進一步提升

    .

    環(huán)節(jié)3

    從向量角度研究

    問題3

    從向量的角度能進行證明嗎?

    追問1

    用向量法證明幾何問題的步驟是什么?

    追問2

    從向量的角度證明三線共點的策略是什么?

    追問3

    你能給出詳細的證明嗎?

    師生活動:

    將問題拋給學生,學生分組思考、討論和完善;教師巡視、指導,參與學生的研究過程,然后讓學生以組為單位進行匯報交流,在匯報交流完畢后,其他學生可以進行提問

    .

    設計意圖:

    雖然用幾何法解決幾何問題看起來比較簡潔,但是不容易展開思考,如三角形三條中線交于一點的證明需要添加輔助線,要求有很強的邏輯思維能力

    .

    向量法開辟了一種證明幾何問題的新思路,用它解決一些幾何問題(垂直、平行等)比較方便

    .

    環(huán)節(jié)4

    繼續(xù)重心性質的研究

    問題4

    重心還有哪些性質?

    追問1

    如何從向量的角度表達?

    追問2

    如何用向量法進行證明?

    師生活動:

    仍然將問題拋給學生,學生分組進行研究、討論,教師作為指導者和參與者,學生派代表分組匯報,各個小組交流匯報

    .

    設計意圖:

    之前重點解決的是重心存在的問題,接下來讓學生從橫向視野進行探究

    .

    既然是中線的交點,有中點存在,可以延伸出哪些性質?培養(yǎng)學生感知、猜想和證明的能力

    .

    環(huán)節(jié)5

    課堂小結

    問題5

    請你帶著下面的問題對本節(jié)課進行小結

    .

    (1)幾何法和向量法各有哪些特點?

    (2)解決向量問題的步驟有哪些?

    (3)用向量法解決問題的關鍵點在哪里?

    師生活動:

    給學生時間思考、梳理和回顧,小組內部先進行交流,然后小組派代表發(fā)言,在學生發(fā)言的基礎上,教師進行點評和總結

    .

    設計意圖:

    通過問題引導學生對知識、方法和思想進行結構化梳理,反思解決問題的方法和策略,體會問題本身蘊含的數學思想,不僅有助于提升學生對問題本質的認識,也有助于學生養(yǎng)成善于反思、勤于反思的習慣

    .

    環(huán)節(jié)6

    課外課題研究

    問題6

    請你在課后圍繞下面幾個問題從向量的角度加以研究,并撰寫小論文

    .

    (1)三角形的外心怎么定義?有哪些性質?

    (2)三角形的內心怎么定義?有哪些性質?

    (3)三角形的垂心怎么定義?有哪些性質?

    (4)三角形的旁心怎么定義?有哪些性質?

    (5)對于三角形,你還能發(fā)現哪些性質?

    設計意圖:

    問題是課堂教學的心臟,讓學生帶著問題走進課堂,在問題的解決中體會數學探究的策略和方法,并將課堂中掌握的解決問題方法應用于課堂外新的問題解決中

    .

    課堂教學的核心在于培養(yǎng)學生獨立思考和研究問題的策略,提升研究問題的能力,培養(yǎng)學生的數學核心素養(yǎng)

    .

    六、 教學設計說明和思考

    (一)數學探究活動應凸顯單元整體設計

    “用向量研究三角形的性質”是數學探究課,共三個課時

    .

    需要對這三個課時進行整體的教學設計,不能將其割裂開來,要凸顯知識的一致性和思想的連貫性,通過數學知識發(fā)生、發(fā)展過程和學生思維過程兩方面的融合來構建

    .

    從知識方法的層面來說,重點強化向量法解決幾何問題;從思想層面來說,凸顯幾何問題如何轉為合適的向量問題,如何進行課題研究

    .

    數學探究活動不僅是一次課題形式的學習,更重要的是培養(yǎng)學生獨立研究問題的能力

    .

    (二)單元課時設計時應凸顯問題鏈設計主線

    章建躍博士指出,教學設計要以“問題鏈”的形式呈現,“問題鏈”構成課時的教學主線

    .

    “問題鏈”的設計要具有適切性,能對學生理解概念、形成技能和領悟思想有推動作用,要能夠激發(fā)學生探究的熱情,推動學生主動進行研究

    .

    本課時設計從重心的定義(為何三角形三條中線交于一點)出發(fā),讓學生的思維回到研究的起點(這樣定義重心可行嗎),自然著手解決三條中線交于一點的問題,然后拋出環(huán)環(huán)相扣的問題

    .

    你能從幾何角度進行研究嗎?有幾種方法?能用向量法證明嗎?用向量法解決的步驟是什么?有幾種方法?向量法和幾何法各有什么特點?這些問題層層深入,一步一步地激發(fā)學生的探究欲望,學生在解決問題過程中體驗探究的思路和方法,為接下來的研究搭建平臺

    .

    “三角形外心等如何定義?有哪些性質?”“請從向量法的角度研究,并撰寫小論文,后期進行交流匯報”引導學生以小組為單位進行課后研究,真正形成大課堂的理念,培養(yǎng)學生獨立進行研究的能力

    .

    (三)教學設計應凸顯數學育人的價值理念

    整個教學設計過程中,學生的主體地位要凸顯出來

    .

    考慮到教學的實際情況,教師要適當參與和設計一些問題,讓學生避免走過多的冤枉路,以便有更多精力進行小組合作,選擇研究手段和方法,體驗研究新問題的思路和方法,讓學生經歷知識發(fā)生、發(fā)展和形成的過程

    .

    重心存在問題的順利解決也提升了學生的深度學習能力,促使學生在批判中思維,在思維中成長

    .

    在完整體驗向量解決問題的一般過程后,學生再獨立地進行深層次(重心的其他性質)和更廣范圍(外心等)的研究,改變了教學過程中教師主導課堂的局面,使學生真正成為探究的主體,凸顯育人的教學理念

    .

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