310012 浙江省杭州學軍中學 張春杰
數學探究活動是運用數學知識解決數學問題的重要的實踐活動,是高中數學新課程的主線之一.
“用向量法研究三角形的性質”是人教A版新教材中的一個數學探究活動.
杭州市以“用向量法研究三角形的性質”為活動主題,組織了一場青年教師課堂教學評比活動,筆者全程觀摩了此活動,并進行了教學設計和思考,現對其展開論述.
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第1課時,回顧初中學習的三角形性質,并從幾何的角度進行研究方法的再總結.
第2課時,梳理向量法的三部曲,并以三角形的重心性質研究為例,進行傳統(tǒng)法和向量法的對比研究.
第3課時,用向量法研究三角形外心、重心、內心和其他幾何性質.
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三角形是幾何中最簡單、最常見的平面圖形,學生通過向量法解決三角形問題,感悟向量法的特點、便捷性和力量.
通過證明與幾何法的對比,提煉向量法研究平面幾何問題的研究架構:首先,用幾何的眼光觀察性質;其次,用向量(數)表示三角形(形)性質;第三,幾何性質的向量運算(數);最后,通過向量運算研究三角形的性質.
通過向量運算研究圖形性質是方法和策略的提升,開辟了一條新的運算推理之路.
向量法是直觀想象、邏輯推理和數學運算的聚焦點,蘊含豐富的數學思想.
這就需要教師從整體的高度進行設計,通過巧妙的數學情境和問題引領學生進行探究,在數學探究的過程中養(yǎng)成獨立思考、交流合作的習慣,培養(yǎng)探索精神,體驗成功的樂趣.
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會用幾何的眼光觀察圖形,能用向量及其運算刻畫平面幾何中元素的關系.
2.
能用向量法證明三角形的有關性質,掌握用向量法研究幾何問題的基本策略.
3.
通過探究三角形的“新”性質,體驗數學探究的過程和方法,體會向量法開辟了一條新的運算推理之路.
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能用向量的運算刻畫幾何圖形中的平移、共線、垂直、相似、距離、角度等.
2.
能用向量法研究三角形的有關性質,掌握用向量法研究幾何問題的三部曲.
第一步,幾何問題向量化;第二步,向量的代數運算;第三步,向量表達為幾何問題.
3.
掌握向量法研究三角形的方法,并繼續(xù)探究三角形的“新”性質,提升獨立進行課題研究的能力.
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《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》對于數學探究活動的描述是:圍繞某個具體的數學問題開展課題研究,并實現解決問題的過程.
教材建議以課題研究的形式展開,課題研究包含四個環(huán)節(jié):選題、開題、做題和解題.
但是學生進行課題研究的經驗略有欠缺,為指導學生更好地進行課題形式的探究活動,教師應該積極參與到學生的課題研究進程中,給予適當的指導.
其次,學生認為向量法就是坐標法.
向量兼具數、形于一身,對向量及其運算不能狹隘地進行理解,教學中要強化向量法是“代數運算”和“圖形運算”的結合.
向量法是利用運算律,通過向量運算解決幾何問題,不能簡單理解為坐標的代數運算.
這一點在教學中要重點凸顯出來.
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第2課時和第3課時的間隔時間應盡可能長,以便學生有充足的時間進行研究.
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用向量法研究三角形的性質(第2課時)
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2.通過將幾何性質轉化為向量的運算,掌握向量垂直、共線等運算特征.
3.通過研究解決重心的性質問題,掌握向量法解決問題的三部曲.
教學重點:
向量法研究問題的三部曲.
教學難點:
幾何問題如何轉為為合適的向量問題.
環(huán)節(jié)1
創(chuàng)設問題情境問題1
三角形的重心是怎么定義的?追問1
物理上的重心是怎么定義的?追問2
三角形的中線一定交于一點嗎?師生活動:
在提出問題1后,學生思考,教師巡視,學生回答并總結,剖析定義.
設計意圖:
引導學生回顧重心的定義,激發(fā)思維的起點.
重心是經常被使用的概念,通過回顧這個概念是如何定義的,三角形的三線是否一定共點,學生回到思維的起點,為接下來的研究做好鋪墊.
環(huán)節(jié)2
從幾何角度研究問題2
如何從幾何角度對三角形三條中線交于一點進行證明?追問1
一般證明三角形三線共點有什么樣的策略?追問2
你能給出證明的方法嗎?師生活動:
在第1課時已經回顧并梳理了初中研究三角形的方法,可以提前把學生分為若干組,進行相關問題的探討,這里教師引領學生再思考、再梳理、再研究,然后學生匯報證明的思路和過程.
設計意圖:
在定義出現認知沖突后,很自然地需要進行分析解決.
對于解決什么和如何解決,教師引領學生進行分析.
這是一個學生已有的知識結構能夠解決的問題,可以放手給學生,通過小組合作、組長匯報,學生經歷發(fā)生、發(fā)展和解決的過程.
通過知識的梳理、方法的整合、思想的碰撞,學生在用幾何法解決三條中線共點的過程中,對重心性質的認識進一步提升.
環(huán)節(jié)3
從向量角度研究問題3
從向量的角度能進行證明嗎?追問1
用向量法證明幾何問題的步驟是什么?追問2
從向量的角度證明三線共點的策略是什么?追問3
你能給出詳細的證明嗎?師生活動:
將問題拋給學生,學生分組思考、討論和完善;教師巡視、指導,參與學生的研究過程,然后讓學生以組為單位進行匯報交流,在匯報交流完畢后,其他學生可以進行提問.
設計意圖:
雖然用幾何法解決幾何問題看起來比較簡潔,但是不容易展開思考,如三角形三條中線交于一點的證明需要添加輔助線,要求有很強的邏輯思維能力.
向量法開辟了一種證明幾何問題的新思路,用它解決一些幾何問題(垂直、平行等)比較方便.
環(huán)節(jié)4
繼續(xù)重心性質的研究問題4
重心還有哪些性質?追問1
如何從向量的角度表達?追問2
如何用向量法進行證明?師生活動:
仍然將問題拋給學生,學生分組進行研究、討論,教師作為指導者和參與者,學生派代表分組匯報,各個小組交流匯報.
設計意圖:
之前重點解決的是重心存在的問題,接下來讓學生從橫向視野進行探究.
既然是中線的交點,有中點存在,可以延伸出哪些性質?培養(yǎng)學生感知、猜想和證明的能力.
環(huán)節(jié)5
課堂小結問題5
請你帶著下面的問題對本節(jié)課進行小結.
(1)幾何法和向量法各有哪些特點?
(2)解決向量問題的步驟有哪些?
(3)用向量法解決問題的關鍵點在哪里?
師生活動:
給學生時間思考、梳理和回顧,小組內部先進行交流,然后小組派代表發(fā)言,在學生發(fā)言的基礎上,教師進行點評和總結.
設計意圖:
通過問題引導學生對知識、方法和思想進行結構化梳理,反思解決問題的方法和策略,體會問題本身蘊含的數學思想,不僅有助于提升學生對問題本質的認識,也有助于學生養(yǎng)成善于反思、勤于反思的習慣.
環(huán)節(jié)6
課外課題研究問題6
請你在課后圍繞下面幾個問題從向量的角度加以研究,并撰寫小論文.
(1)三角形的外心怎么定義?有哪些性質?
(2)三角形的內心怎么定義?有哪些性質?
(3)三角形的垂心怎么定義?有哪些性質?
(4)三角形的旁心怎么定義?有哪些性質?
(5)對于三角形,你還能發(fā)現哪些性質?
設計意圖:
問題是課堂教學的心臟,讓學生帶著問題走進課堂,在問題的解決中體會數學探究的策略和方法,并將課堂中掌握的解決問題方法應用于課堂外新的問題解決中.
課堂教學的核心在于培養(yǎng)學生獨立思考和研究問題的策略,提升研究問題的能力,培養(yǎng)學生的數學核心素養(yǎng).
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需要對這三個課時進行整體的教學設計,不能將其割裂開來,要凸顯知識的一致性和思想的連貫性,通過數學知識發(fā)生、發(fā)展過程和學生思維過程兩方面的融合來構建.
從知識方法的層面來說,重點強化向量法解決幾何問題;從思想層面來說,凸顯幾何問題如何轉為合適的向量問題,如何進行課題研究.
數學探究活動不僅是一次課題形式的學習,更重要的是培養(yǎng)學生獨立研究問題的能力.
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“問題鏈”的設計要具有適切性,能對學生理解概念、形成技能和領悟思想有推動作用,要能夠激發(fā)學生探究的熱情,推動學生主動進行研究.
本課時設計從重心的定義(為何三角形三條中線交于一點)出發(fā),讓學生的思維回到研究的起點(這樣定義重心可行嗎),自然著手解決三條中線交于一點的問題,然后拋出環(huán)環(huán)相扣的問題.
你能從幾何角度進行研究嗎?有幾種方法?能用向量法證明嗎?用向量法解決的步驟是什么?有幾種方法?向量法和幾何法各有什么特點?這些問題層層深入,一步一步地激發(fā)學生的探究欲望,學生在解決問題過程中體驗探究的思路和方法,為接下來的研究搭建平臺.
“三角形外心等如何定義?有哪些性質?”“請從向量法的角度研究,并撰寫小論文,后期進行交流匯報”引導學生以小組為單位進行課后研究,真正形成大課堂的理念,培養(yǎng)學生獨立進行研究的能力.
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考慮到教學的實際情況,教師要適當參與和設計一些問題,讓學生避免走過多的冤枉路,以便有更多精力進行小組合作,選擇研究手段和方法,體驗研究新問題的思路和方法,讓學生經歷知識發(fā)生、發(fā)展和形成的過程.
重心存在問題的順利解決也提升了學生的深度學習能力,促使學生在批判中思維,在思維中成長.
在完整體驗向量解決問題的一般過程后,學生再獨立地進行深層次(重心的其他性質)和更廣范圍(外心等)的研究,改變了教學過程中教師主導課堂的局面,使學生真正成為探究的主體,凸顯育人的教學理念.