基于LCC-S補償網(wǎng)絡(luò)的無線充電系統(tǒng)小信號模型

鄭廣策 趙 凱 王浩宇 梁俊睿 傅旻帆

基于LCC-S補償網(wǎng)絡(luò)的無線充電系統(tǒng)小信號模型

鄭廣策1,2,3趙 凱1,2,3王浩宇1梁俊睿1傅旻帆1

（1. 上?？萍即髮W(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 上海 201210 2. 中國科學(xué)院上海高等研究院 上海 201210 3. 上海高能效與智能定制芯片工程技術(shù)研究中心 上海 201210）

基于磁場感應(yīng)的無線電能傳輸（IPT）系統(tǒng)需要反饋控制實現(xiàn)穩(wěn)定的輸出，這依賴于一個精確且簡單的小信號模型。近些年來，擴展描述函數(shù)法（EDF）在諧振變換器建模問題中有廣泛運用。由于IPT系統(tǒng)的本質(zhì)為高階諧振變換器，因此該方法可以應(yīng)用于IPT系統(tǒng)的建模中。但是由于IPT系統(tǒng)中包含大量諧振元件，直接通過EDF方法得到的模型往往具有較高階數(shù)，通過一種基于電路化簡的方法對電路中的諧振元件模型進行化簡，可以同時保證模型的準(zhǔn)確性與精簡性。該文以LCC-S補償?shù)腎PT系統(tǒng)為例，闡述化簡方法。該方法也可以推廣至其他高階IPT系統(tǒng)中。

感性電能傳輸 等效電路模型 擴展描述函數(shù) 降階模型

0 引言

隨著溫室效應(yīng)的加劇，電動汽車的推廣逐漸受到各國政府的重視。對車載電池的供電是電動車相關(guān)研究領(lǐng)域中的熱門方向之一。無線充電作為有線充電的一種補充，正逐漸被引入電動車充電領(lǐng)域。近些年來，不少課題組開始研究感性電能傳輸（Inductive Power Transfer, IPT）在電動汽車充電中的應(yīng)用[1-3]。這種新型能量傳輸方式基于諧振耦合現(xiàn)象，并利用近場磁場進行非輻射性、中距離輸電[4-6]。該電能傳輸方式無需電氣接觸，因此有更高的便利性與安全性。

為了提高IPT系統(tǒng)的傳輸能力，需要在系統(tǒng)中增加補償電路以減少無功功率。增設(shè)補償電路還可以使系統(tǒng)實現(xiàn)與負(fù)載無關(guān)的恒壓輸出或者恒流輸出。奧克蘭大學(xué)的課題組提出了四種基本結(jié)構(gòu)的補償電路[7]，即串聯(lián)-串聯(lián)（S-S）、串聯(lián)-并聯(lián)（S-P）、并聯(lián)-并聯(lián)（P-P）和并聯(lián)-串聯(lián)（P-S）。近些年來有課題組對于各種高階諧振補償網(wǎng)絡(luò)進行了分析與設(shè)計[8]，通過增加諧振元件個數(shù)可以增加系統(tǒng)設(shè)計的自由度。文獻[9]基于與負(fù)載無關(guān)的IPT系統(tǒng)，設(shè)計了一個兩級架構(gòu)的無線快充系統(tǒng)，但是該系統(tǒng)為開環(huán)系統(tǒng)，缺少控制器使其達到穩(wěn)定。

為實現(xiàn)IPT系統(tǒng)的輸出目標(biāo)，需要基于小信號模型設(shè)計反饋控制器，確保穩(wěn)定性的同時實現(xiàn)較高的控制帶寬。對于經(jīng)典的脈沖寬度調(diào)制（Pulse Width Modulation, PWM）變換器，基于平均值概念的小信號模型已經(jīng)十分成熟[10]，而另一種DC-DC諧振變換器，平均值模型卻不適用。這是因為在諧振變換器中，諧振腔內(nèi)的電流以及電壓的平均值為零。對于諧振變換器的建模問題，基于基波近似的擴展描述函數(shù)法（Extended Describing Function, EDF）是目前最為成功的方法[11]。

IPT系統(tǒng)本質(zhì)為諧振變換器，因此諧振變換器的建模方法也可以應(yīng)用于IPT系統(tǒng)中。由于存在高階補償電路，IPT系統(tǒng)中含有較多的諧振元件。當(dāng)EDF應(yīng)用于IPT系統(tǒng)中，獲得的往往是一個高階模型。即使是最簡單的串聯(lián)-串聯(lián)補償系統(tǒng)，其小信號模型也為9階[12]。因此如何降階是目前IPT小信號模型研究中的難點。文獻[13]將原本11階的系統(tǒng)降為2階，文獻[14]將9階系統(tǒng)降為4階，但是上述方法都是基于數(shù)值方法，不具有一般性。

本文提出一種基于電路原理的IPT小信號模型化簡與降階方法，相比于以往的方法，該方法更加具有一般性與直觀性。本文以LCC-S補償IPT系統(tǒng)為例，首先建立輸入到輸出的全階小信號模型，該系統(tǒng)為13階系統(tǒng)；之后通過電路上的近似對模型進行降階，使得原本13階的系統(tǒng)簡化為7階的系統(tǒng)。模型中能夠直接反映耦合系數(shù)對傳統(tǒng)函數(shù)的影響。這種降階方法具有通用性，可以應(yīng)用于其他IPT系統(tǒng)中。最后本文將通過仿真與實驗對所提出的模型進行驗證。

1 小信號模型的建立

1.1 LCC-S補償IPT系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分析

本文將首先對LCC-S補償?shù)腎PT系統(tǒng)進行穩(wěn)態(tài)分析，該系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。該IPT系統(tǒng)包含逆變器、發(fā)射側(cè)補償電路、耦合線圈、接收側(cè)補償電路和整流器。其中，p和s分別為發(fā)射線圈和接收線圈；1、1和p構(gòu)成了發(fā)射側(cè)補償電路；s作為接收側(cè)補償電路。上述LCC-S補償?shù)腎PT系統(tǒng)在式（1）所示的條件下可以實現(xiàn)與負(fù)載無關(guān)的恒壓輸出。

圖1 LCC-S補償IPT系統(tǒng)

Fig.1 An IPT system using LCC-S compensation

式中，s為開關(guān)信號的角頻率。在上述條件下，可以得到使用全橋逆變器時，系統(tǒng)的電壓增益為

式（1）和式（2）描述了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性，無法表現(xiàn)系統(tǒng)的動態(tài)特性。為了評估系統(tǒng)控制的穩(wěn)定性，小信號模型是必不可少的。接下來將推導(dǎo)系統(tǒng)的小信號模型。本文將利用EDF分別對系統(tǒng)中逆變器、諧振元件和整流器進行建模，并將所有部分組合得到最終的模型。

1.2 逆變器的等效小信號模型

式中，AB和AB為AB兩端的電壓和電流幅值，可以通過傅里葉變換得到其與輸入電壓in和輸入電流in的關(guān)系，即

當(dāng)考慮系統(tǒng)出現(xiàn)擾動時，有

通過式（4）和式（6）可以得到小信號電壓增益為

因此，可以獲得逆變器的等效小信號電路模型如圖2所示。上述分析是基于全橋逆變器，若考慮半橋逆變器，則。

1.3 整流器的等效小信號模型

IPT系統(tǒng)中整流器的建模思路與逆變器相同。逆變器與整流器波形如圖3所示。整流輸入電壓可以近似為基波，但由于逆變器與整流器存在相位差，系統(tǒng)必須設(shè)置一個參考相位。本文以逆變的電壓作為參考。因此整流器的電壓電流可以表示為

式（8）將電壓與電流分為正余弦兩個部分，CD,s和CD,s分別為電壓與電流正弦分量的幅值；同樣地，CD,c和CD,c分別為電壓與電流余弦分量的幅值；下標(biāo)“s”和“c”分別代表各物理量的正弦和余弦部分。因此相位差可以用電流CD的正、余弦分量幅值表示，即tanCD,c/CD,s。式（8）中電壓的正弦與余弦分量可以通過傅里葉變換求得

整流橋輸出電流r=|CD|，因此r可以用直流量r表示，則有

當(dāng)考慮小信號擾動時，式（9）和式（10）中的變量可以表示為

對式（9）和式（10）在穩(wěn)態(tài)處進行泰勒展開，并消去直流分量，可以得到在頻率滿足式（1）條件下整流器的小信號關(guān)系式為

式中，為負(fù)載電阻。

根據(jù)式（11）可以得到逆變器的小信號模型如圖4所示。

圖4 逆變器小信號模型

1.4 諧振元件的等效小信號模型

IPT系統(tǒng)中的諧振元件包含補償電容、補償電感以及耦合線圈，其中耦合線圈可以使用受控源模型轉(zhuǎn)化為電感與受控電壓源。利用EDF可以對電感和電容分別進行建模。由于電感和電容在電流電壓上具有對稱性，下面僅以電感小信號模型為例。

對電感電流與電壓進行基波近似，假設(shè)電感電壓與電感電流分別為

式中，V,s、V,c、I,s和I,c分別為電感電壓和電流的正余弦分量的幅值。在穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中V,s等效為定值，而當(dāng)考慮瞬態(tài)時，V,s為動態(tài)值。根據(jù)電感電壓與電流的關(guān)系可以得到各分量的動態(tài)關(guān)系為

同理，可以得到電容電壓電流的小信號關(guān)系式為

因此電感與電壓的小信號等效模型如圖5所示。圖中小信號模型包含了正弦部分與余弦部分，并且通過受控源與另外一條支路產(chǎn)生耦合。

圖5 電感電容小信號模型

IPT系統(tǒng)中受控電壓源模型也可利用類似方法得到，因篇幅問題這里就不詳細(xì)敘述。

1.5 LCC-S補償?shù)腎PT系統(tǒng)的全階模型

將以上所獲得的小信號等效模型相連，則可以得到系統(tǒng)完整的小信號模型，如圖6所示。該模型是一個13階系統(tǒng)，可以較為準(zhǔn)確地預(yù)測輸入到輸出的小信號增益。但由于系統(tǒng)階數(shù)過高，求解傳遞函數(shù)過程變得極為復(fù)雜。因此需要一種通用的降階方法。

圖6 LCC-S補償?shù)腎PT系統(tǒng)的全階小信號模型

2 模型的降階與化簡

2.1 動態(tài)相量模型

LCC-S補償?shù)腎PT系統(tǒng)中含有6個諧振元件，在系統(tǒng)的小信號模型中還需要將模型拆分為正余弦部分，這使得圖6的諧振腔中包含12個諧振元件，最后導(dǎo)致該小信號模型的階數(shù)為13階。對于整流器與逆變器，已經(jīng)不存在化簡空間。因此，對于模型的降階，重點在于諧振腔的化簡。

圖5中的小信號模型包含正弦和余弦分量，且含有耦合項，這使電路上的分析變得較為復(fù)雜。在穩(wěn)態(tài)的交流系統(tǒng)中，可以用相量的實部與虛部分別表示正、余弦量。在此小信號模型中也可以利用相量來表示正弦與余弦量。將小信號中的正弦量與余弦量合并，即

根據(jù)式（18）和式（19），可以將電感電容的小信號模型轉(zhuǎn)換為動態(tài)相量的形式，如圖7所示。

通過這種方法可以得到諧振腔的小信號模型如圖8所示。該模型與原模型是等價的。與原來的模型相比，該模型中不包含耦合項，有助于接下來的化簡。

圖8 諧振腔動態(tài)相量模型

值得一提的是，該等效模型僅適用于分析諧振腔內(nèi)的小信號模型，若要獲得系統(tǒng)完整的小信號模型，還需將電路分為正、余弦部分并與前端的整流電路和后端的逆變電路相連。因此雖然圖8中僅含有6個諧振元件，其階數(shù)依然為12階。

2.2 電容支路的近似化簡

文獻[15]中對電容小信號模型進行化簡，使得串聯(lián)諧振變換器原來5階的小信號模型降為3階，這種方法可以應(yīng)用于IPT系統(tǒng)中。

則可以將電容的小信號模型化簡為如圖9所示的模型。

LCC-S補償?shù)腎PT中有3個電容，將其全部使用圖9的方式化簡，并與串聯(lián)的電感合并，可得圖10的模型。

圖10 基于式（20）化簡后的諧振腔

圖10中，eq與eq等參量在式（1）的頻率條件下為

在圖10的化簡電路中諧振元件大大減少，僅存在4個電感。發(fā)射端的1、eq1與eq2三個等效電感及相連的等效阻抗js1、jeq1和jeq2所組成的T型網(wǎng)絡(luò)可以轉(zhuǎn)換為受控源模型，如圖11所示。

在圖11所示的諧振腔的等效小信號模型中僅有3個諧振元件，并且可以發(fā)現(xiàn)該化簡后的模型有很強的對稱性。將該模型重新分解為正弦與余弦部分，并與整流器與逆變器相連，可以得到最終完整的小信號模型。

圖11 諧振腔受控源模型

最終化簡后的小信號模型如圖12所示。該模型的諧振腔內(nèi)共含有6個諧振元件，加上整流器中的電容，最終階數(shù)為7階。相比原本13階的系統(tǒng)，通過這種方法可以使得系統(tǒng)階數(shù)大大降低。

圖12 降階小信號模型

3 模型的驗證

3.1 仿真驗證

表1 仿真電路參數(shù)

Tab.1 Circuit parameter in the simulation

3.2 實驗驗證

為進一步驗證模型準(zhǔn)確性，本文建立了如圖14所示的實驗平臺，該系統(tǒng)采用半橋逆變，其電路參數(shù)見表2。本次實驗使用環(huán)路分析儀Bode100注入小信號。實驗結(jié)果如圖15所示。其中黑線表示實驗所得數(shù)據(jù)，圓點實線表示仿真結(jié)果，三角虛線代表由降階小信號模型所獲得的傳遞函數(shù)。在1/5開關(guān)頻率以下，模型計算與仿真實驗結(jié)果吻合較好，這表明本文所提出的降階小信號模型能很好地預(yù)測IPT系統(tǒng)真實的小信號特征。

圖14 實驗平臺

表2 實驗電路參數(shù)

Tab.2 Circuit parameter in the experiment

4 結(jié)論

本文以LCC-S補償?shù)腎PT系統(tǒng)為例，探究IPT系統(tǒng)的建模與化簡方法。通過擴展描述函數(shù)法，對電路中的各個部分進行建模，并獲得電路各部分的等效電路模型，最終可以得到整個系統(tǒng)的小信號模型。等效電路模型具有很直觀的物理含義。然后基于此等效電路，對系統(tǒng)進行降階化簡，使得原來13階系統(tǒng)降至7階。這種降階方法具有通用性，可以運用于其他IPT系統(tǒng)中。

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Small-Signal Model for Inductive Power Transfer Systems Using LCC-S Compensation

Zheng Guangce1,2,3Zhao Kai1,2,3Wang Haoyu1Liang Junrui1Fu Minfan1

（1. School of Information Science and Technology ShanghaiTech University Shanghai 201210 China 2. Shanghai Advanced Research Institute Chinese Academy of Sciences Shanghai 201210 China 3. Shanghai Engineering Research Center of Energy Efficient and Custom AI IC Shanghai 201210 China）

An inductive power transfer (IPT) system requires a feedback controller to stabilize the output, which highly depends on an accurate small-signal model. In the past years, the extended describing function (EDF) is widely used to address the modeling issue for resonant converters. However, the high-order resonant tank of IPT would lead to a complicated model if EDF is directly applied. In order to simplify the model, this paper explored a circuit-based method to reduce the order for both series and parallel resonant circuits. An example LCC-C compensated system was used to explain the concept. This general simplification can be extended to any other high-order IPT systems.

Inductive power transfer, equivalent circuit model, extended describing function, reduced-order model

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.211263

TM46

2021-08-12

2021-11-11

鄭廣策 男，1997年生，博士研究生，研究方向為無線電能傳輸。E-mail：zhenggc@shanghaitech.edu.cn

傅旻帆 男，1987年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為無線電能傳輸、高頻磁集成、超高頻變換器、諧振變換器的建模與控制及寬禁帶器件的應(yīng)用等。E-mail：fumf@shanghaitech.edu.cn（通信作者）

（編輯 李冰）