基于矩陣半張量積求解分裂四元數(shù)矩陣方程

襲沂蒙,李 瑩,劉志紅,樊學(xué)玲

(聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東 聊城 252059)

0 引言

本文所使用的符號,R/SQ:實(shí)數(shù)集合/分裂四元數(shù)集合,Rm:m維實(shí)列向量集合,:n×n階實(shí)矩陣集合/分裂四元數(shù)矩陣集合,:n×n階分裂四元數(shù)箭形Hermitian矩陣集合,:矩陣A與B的Kronecker積,:矩陣半張量積,A?/AT:A的Moore-Penrose逆/轉(zhuǎn)置,In:n階單位矩陣,V c(X):對矩陣X按列拉直,:單位矩陣In的第i列。

眾所周知,矩陣方程被廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)科學(xué)、量子物理、統(tǒng)計(jì)、控制理論、信號與彩色圖像處理、自動(dòng)控制等諸多領(lǐng)域[1-6]。因而,矩陣方程是矩陣?yán)碚摷坝?jì)算中非常重要的研究課題。許多學(xué)者對矩陣方程進(jìn)行了深入的研究:Gong研究了實(shí)數(shù)域上子矩陣約束下矩陣方程ATXA＝B的實(shí)矩陣解及其最佳逼近[7];Zhang研究了復(fù)矩陣方程AXB＋CXD＝E的極小范數(shù)Her mitian解[8];Yuan利用四元數(shù)矩陣的復(fù)表示研究了四元數(shù)矩陣方程AX＝B的幾類特殊的極小范數(shù)最小二乘解,并將極小范數(shù)純虛最小二乘解應(yīng)用到彩色圖像處理中[9]。本文考慮了較上述幾類矩陣方程更一般形式的分裂四元數(shù)方程

分裂四元數(shù)作為一類特殊的四元數(shù),于1849年由Ja mes Cockle提出。分裂四元數(shù)及其矩陣?yán)碚撘蚱湓谖锢響?yīng)用和數(shù)學(xué)研究中占有重要地位而得到學(xué)者們的廣泛研究。在物理上,分裂四元數(shù)為解決量子力學(xué)、量子場論、空間幾何學(xué)等提供了新的研究工具[10];在數(shù)學(xué)上,分裂四元數(shù)是對復(fù)數(shù)的一種推廣,是Cliff or d al gebra的重要組成部分[11]。分裂四元數(shù)x和分裂四元數(shù)矩陣X有以下形式:

式中i,j,k滿足i2＝-j2＝-k2＝-1,ij＝-ji＝k,j k＝-kj＝-i,ki＝-ik＝j(luò)。分裂四元數(shù)矩陣在實(shí)際應(yīng)用中用途廣泛,使得分裂四元數(shù)矩陣方程的求解問題得到學(xué)者們的關(guān)注,例如,Liu利用實(shí)表示研究了分裂四元數(shù)矩陣方程AX＝B的解[12];Yuan利用復(fù)表示給出分裂四元數(shù)矩陣方程AXB＋CXD＝E存在Her mitian解的必要條件及通解表達(dá)式[13]。

矩陣半張量積作為一種新的矩陣乘法,突破了普通矩陣乘法受維數(shù)限制的壁壘,同時(shí)保留了普通矩陣乘法的重要性質(zhì)[14],這使其應(yīng)用越來越廣泛,在代數(shù)方面,向量場、線性多元映射的泰勒展式、有限維代數(shù)和函數(shù)等運(yùn)算都可通過矩陣半張量積進(jìn)行[15-18],同時(shí)矩陣半張量積作為一個(gè)簡單方便的數(shù)學(xué)工具,在布爾網(wǎng)絡(luò)、有限博弈、非線性魯棒穩(wěn)定控制、系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)、有限值動(dòng)態(tài)系統(tǒng)分析、模糊邏輯、模糊關(guān)系模型、數(shù)據(jù)挖掘等領(lǐng)域中有重要的應(yīng)用[19-26]。本文借助矩陣半張量積給出分裂四元數(shù)的一種實(shí)表示方法,并以此表示方法和H-表示方法為工具研究了分裂四元數(shù)矩陣方程(1)的箭型Her mitian解問題。

文章內(nèi)容安排如下:第二部分利用矩陣半張量積提出分裂四元數(shù)的實(shí)表示;第三部分給出實(shí)箭型對稱矩陣/實(shí)箭型反對稱矩陣的H-表示;第四部分給出分裂四元數(shù)矩陣方程(1)存在箭型Her mitian解的充要條件及通解表達(dá)式;第五部分給出問題的數(shù)值算法并利用數(shù)值例子檢驗(yàn)上述算法的有效性;最后對結(jié)論進(jìn)行了總結(jié)。

1 基于矩陣半張量積的分裂四元數(shù)實(shí)表示

本節(jié)首先介紹矩陣半張量積的相關(guān)內(nèi)容。

定義1[27]設(shè)A∈Rm×n,B∈Rp×q,則矩陣半張量積定義為,式中t＝lc m(n,p)表示n和p的最小公倍數(shù),當(dāng)n＝p時(shí)即為普通矩陣乘法。

定義2[27]設(shè)Wi(i＝0,1,…,n)為一組向量空間,映射稱為多線性映射,如果對任意1≤i≤n,x i,y i∈Wi,(1≤i≤n),α,β∈R有F(x1,…,αx i＋βy i,…,x n)＝αF(x1,…,x i,…,x n)＋βF(x1,…,y i,…,x n)。若di m(Wi)＝k i,(i＝0,1,…,n),Wi的基底為記

那么

稱為F的結(jié)構(gòu)常數(shù),矩陣MF稱為F的結(jié)構(gòu)矩陣

利用分裂四元數(shù)乘法的結(jié)構(gòu)矩陣,我們給出分裂四元數(shù)的一種等價(jià)的實(shí)表示矩陣形式。

定義3設(shè)q＝q1＋q2i＋q3j＋q4k∈SQ,q t∈R(t＝1,2,3,4),q的基于矩陣半張量積的實(shí)表示矩陣定義如

按照分裂四元數(shù)的實(shí)表示矩陣,相仿地,給出分裂四元數(shù)矩陣A∈Rm×n的實(shí)表示矩陣

不難看出,AR可以由其任意一列塊表示,這里將第一列塊記為

下面給出上述定義的分裂四元數(shù)矩陣實(shí)表示矩陣的性質(zhì)。

引理1[28]設(shè)A,B∈SQm×n,C∈SQ n×s,k∈R,則

定理1設(shè)A,B∈SQm×n,C∈SQn×s,k∈R,則

證明我們僅證明定理中的,因?yàn)?/p>

將分裂四元數(shù)矩陣的實(shí)表示矩陣的與實(shí)表示矩陣第一列塊按列拉直具有下述關(guān)系。

定理2設(shè)A＝A1＋A2i＋A3j＋A4k∈SQn×n,可得,式中

進(jìn)一步,分裂四元數(shù)實(shí)表示第一列塊的按列拉直與矩陣A1,A2,A3,A4分別按列拉直之間有下述關(guān)系。

定理3設(shè)A＝A1＋A2i＋A3j＋A4k∈SQn×n,則

2 實(shí)箭型對稱矩陣、實(shí)箭型反對稱矩陣的H-表示

定義4[29]設(shè)A∈Rn×n,形如

的矩陣稱為箭型矩陣。

定義5[30]設(shè)A為實(shí)箭型矩陣,則

(1)當(dāng)A＝AT,稱A為實(shí)箭型對稱矩陣,記所有n×n階實(shí)箭型對稱矩陣集合為,

(2)當(dāng)A＝-AT,稱A為實(shí)箭型反對稱矩陣,記所有n×n階實(shí)箭型反對稱矩陣集合為。

當(dāng)具有特殊結(jié)構(gòu)的矩陣在按列拉成向量后,此向量可以由矩陣中的部分元素排成的列向量進(jìn)行表示,從而可以消除矩陣中的多余元素,降低問題的計(jì)算復(fù)雜程度,部分元素這里被記為矩陣的有效元素。接下來對H-表示方法進(jìn)行介紹。

定義6[31]考慮Rn×n的一個(gè)q維子空間L,對于任意的X＝(x ij)n×n∈L,總存在一個(gè)映射ψ:X∈L,假設(shè)e1,e2,…,e q組成L的基,則可以得到,定義H＝[V c(e1)V c(e2)…V c(e q)],對于任意的X∈L,有ψ(X)＝,這里為矩陣X的有效元素排列成的q維列向量,即＝[x1x2x3…x q]T,并且稱為ψ(X)的H-表示,H為ψ(X)的H-表示矩陣。

例1,選取A的一組標(biāo)準(zhǔn)基底,

則A的H-表示為。

下面研究n×n階實(shí)箭型對稱矩陣、實(shí)箭形反對稱矩陣的H-表示。

定理4設(shè),選取A一組基底為,這里且滿足w ij＝w ji＝1,其余元素均為0,HRS表示A的H-表示矩陣,

定理5設(shè),選取A的一組基底為{Q i1:2≤i≤n},這里Q ij＝(q ij)n×n且滿足q ij＝-q ji＝1,其余元素均為0,HRA表示A的H-表示矩陣,

3 分裂四元數(shù)矩陣方程的箭型Her mitian解

本節(jié)將給出分裂四元數(shù)矩陣方程的箭型Her mitian解的表達(dá)式。

設(shè)A1,B1,C3,C4,D3,D4,E∈SQ n×n,(t＝1,2,3,4),記

定理6設(shè),(m＝3,4,t＝1,2,3,4),則問題中的QH可以記為

且分裂四元數(shù)矩陣方程(1)的唯一分裂四元數(shù)箭型Her mitian解滿足

證明由定理1,2可以得到

推論1設(shè),(m＝3,4),(t＝1,2,3,4),則分裂四元數(shù)矩陣方程(1)有解的充要條件是

式中μ在定理6中給出。

證明由定理6的證明過程可以得到

推論1得證。

4 算法和算例

本節(jié)將利用第三節(jié)的結(jié)論給出相應(yīng)的算法,并通過數(shù)值算例檢驗(yàn)方法的有效性。

算法(1)輸入A1,B1,Cm,Dm,E∈SQn×n,(m＝3,4),HRS,HRA;(2)計(jì)算;(3)根據(jù)公式(3),輸出分裂四元數(shù)矩陣方程(1)的唯一箭型Hermitian解。

算例1在Matlab中隨機(jī)生成分裂四元數(shù)矩陣A1,B1,Cm,Dm∈SQn×n,(m＝3,4),(n＝2K,K＝1:15)根據(jù)分裂四元數(shù)箭型Hermitian矩陣的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),生成,計(jì)算,利用算法得到A1X1＋B1X2＋C3X3D3＋C4X4D4＝E的數(shù)值解Xt(t＝1,2,3,4),并代入分裂四元數(shù)矩陣方程(1)檢驗(yàn),得到誤差如圖1所示,說明此方法有效。

圖1 算法誤差

5 結(jié)論

本文研究了分裂四元數(shù)矩陣方程(1)的箭型Hermitian解,利用矩陣半張量積,得到了分裂四元數(shù)矩陣的一種實(shí)表示方法,并與H-表示方法相結(jié)合,將分裂四元數(shù)矩陣方程問題轉(zhuǎn)化為無約束的實(shí)矩陣方程問題,最后給出相應(yīng)的數(shù)值算法,并利用數(shù)值例子檢驗(yàn)了此方法的有效性。