基于偏微分方程的雙幣種擴(kuò)展期權(quán)定價(jià)

何家文

南寧學(xué)院通識(shí)教育學(xué)院 廣西南寧 530200

1 概述

擴(kuò)展期權(quán)是允許發(fā)行者或期權(quán)持有者擴(kuò)展其初始合約的到期日，當(dāng)期權(quán)持有者擴(kuò)展其合約到期日時(shí)，相應(yīng)的執(zhí)行價(jià)格要被調(diào)整，同時(shí)持有者必須向期權(quán)出售者支付一定的額外溢酬。擴(kuò)展期權(quán)的最大特點(diǎn)就在于期權(quán)持有者在期權(quán)初始到期日時(shí)為達(dá)到利益最大化可以選擇執(zhí)行或放棄該合約，還可以延長(zhǎng)該合約的期限。Longstaff[1]在經(jīng)典的市場(chǎng)模型[2]下研究擴(kuò)展期權(quán)定價(jià)問(wèn)題。Gukhal[3]采用股價(jià)滿足Merton跳擴(kuò)散模型[4]對(duì)擴(kuò)展期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，彭斌[5]以標(biāo)的資產(chǎn)遵循跳分形過(guò)程為基礎(chǔ)，推導(dǎo)擴(kuò)展期權(quán)價(jià)格的封閉解，Chung等[6]研究一類多期擴(kuò)展期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，鄧國(guó)和[7]在隨機(jī)波動(dòng)率混合跳躍仿射擴(kuò)散模型下研究擴(kuò)展期權(quán)定價(jià)。

本文討論了雙幣種擴(kuò)展期權(quán)，雙幣種期權(quán)是為投資者在本國(guó)購(gòu)買國(guó)外標(biāo)的資產(chǎn)而設(shè)計(jì)的一種期權(quán)，受到國(guó)內(nèi)和國(guó)外兩個(gè)不同貨幣市場(chǎng)影響。該類期權(quán)可規(guī)避在貿(mào)易中遇到的匯率風(fēng)險(xiǎn)。雙幣種擴(kuò)展期權(quán)的收益函數(shù)是匯率與國(guó)外標(biāo)的資產(chǎn)組合而成，且其到期日可延長(zhǎng)，因此可以方便投資者進(jìn)行投資和對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)。目前關(guān)于雙幣種期權(quán)研究[8-15]較多，取得一系列的研究成果，而關(guān)于雙幣種擴(kuò)展期權(quán)的研究較少，文獻(xiàn)[16]在跳擴(kuò)散模型下研究雙幣種擴(kuò)展期權(quán)定價(jià)問(wèn)題。本文利用偏微分方程的方法在隨機(jī)波動(dòng)率過(guò)程下討論了雙幣種擴(kuò)展期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題，在本文考慮的期權(quán)收益支付形式是執(zhí)行價(jià)格以國(guó)內(nèi)貨幣計(jì)價(jià)。

2 模型假設(shè)

(1)

這里rf為國(guó)外利率，rd為國(guó)內(nèi)利率，σS、σF為非負(fù)常數(shù)，α、θ、σV分別是隨機(jī)波動(dòng)率運(yùn)動(dòng)方程中的均值回復(fù)速度參數(shù)，長(zhǎng)期均值參數(shù)，波動(dòng)率參數(shù)，且2αθ-σ2≥0。

(2)

?(t，x*，v；u1，u2，T)=exp{iu1x*+B(τ，u1，u2)v+C(τ，u1，u2)}

(3)

其中

(4)

(5)

(6)

由于市場(chǎng)模型(1)具有仿射結(jié)構(gòu)特征，故(6)的解?(t，x*，v；u，1，u2，T)具有指數(shù)形式的解結(jié)構(gòu)為:

exp{iu1x*+B(t，u1，u2)v+C(t，u1，u2)}

(7)

將(7)帶入方程(6)，則待定系數(shù)B(t)=B(t，u1，u2)，C(t)=C(t，u1，u2)滿足：

(8)

(9)

求解上述微分方程(8)、(9)得解為(4)、(5)式。

3 雙幣種擴(kuò)展期權(quán)定價(jià)

考慮一類執(zhí)行價(jià)格以國(guó)內(nèi)貨幣計(jì)價(jià)的雙幣種看漲期權(quán)定價(jià)，對(duì)于其他三類雙幣種擴(kuò)展期權(quán)可類似獲得。該類型的雙幣種歐式期權(quán)在到期為T1，執(zhí)行價(jià)格為K的收益函數(shù)為max{0，ST1FT1-K}，其擴(kuò)展期權(quán)是允許持有人將初始的到期日T1擴(kuò)展至T(T>T1)，同時(shí)要給期權(quán)的發(fā)現(xiàn)者支付一定的額外費(fèi)用δ，而執(zhí)行價(jià)格也會(huì)被調(diào)整到K1，此時(shí)雙幣種擴(kuò)展期權(quán)在到期日為T1時(shí)的收益函數(shù)為V(S，F(xiàn)，K，K1，T1，T)=max{0，ST1FT1-K1，CE(T1，S，F(xiàn)，v，K，T)-δ}，這里C(T1，S，F(xiàn)，v，K，T)是執(zhí)行價(jià)格和到期日為K，T的雙幣種歐式看漲期權(quán)在T1時(shí)刻的價(jià)格。

有當(dāng)S*∈(U，+∞)或S*∈(0，L)時(shí)，期權(quán)不被擴(kuò)展；當(dāng)S*∈(L，U)時(shí)，期權(quán)被擴(kuò)展。

由于擴(kuò)展期權(quán)有兩個(gè)到期日T1和T，故需計(jì)算國(guó)外貨幣下公司資產(chǎn)對(duì)數(shù)價(jià)格X*在兩個(gè)不同時(shí)點(diǎn)上的聯(lián)合特征函數(shù)?(u1，u2，T1，T)，設(shè)T1≤t

定理 設(shè)在市場(chǎng)模型(1)下，雙幣種擴(kuò)展看漲期權(quán)在t時(shí)刻的價(jià)格為：

(10)

根據(jù)二維的Fourier逆變換有:

這里

I3類似I2的計(jì)算，定理證畢。

顯然，當(dāng)Vt為常數(shù)時(shí)，公式(10)為B-S模型下雙幣種擴(kuò)展期權(quán)定價(jià)公式。

結(jié)語(yǔ)

本文在匯率和標(biāo)的資產(chǎn)的對(duì)數(shù)價(jià)格滿足隨機(jī)波動(dòng)率條件下，研究雙幣種擴(kuò)展看漲期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題，通過(guò)測(cè)度變換及Fourier逆變換等方法得到其定價(jià)公式。該定價(jià)模型能客觀反映金融市場(chǎng)中波動(dòng)率的隨機(jī)性，在實(shí)際金融交易市場(chǎng)中的實(shí)用價(jià)值很大。