RBF 神經網絡在靜電懸浮位置控制中的應用*

陸瀟曉 劉曉珂 李 虎 鄭 福 孫志斌 于 強

1(中國科學院國家空間科學中心 北京 100190)

2(中國科學院大學計算機科學與技術學院 北京 100049)

0 引言

靜電懸浮是一種研究新型材料的無容器懸浮技術，在測量難熔材料熱物性、分析材料凝固機理、探索新型材料等方面有著廣泛應用[1]。靜電懸浮技術通過給電極接通高壓，使表面帶電的樣品克服重力，懸浮在電極之間的電場中，避免了容器壁對材料的接觸和污染。相比聲懸浮、氣懸浮、電磁懸浮等其他懸浮方式，靜電懸浮有著擾動小、材料適用范圍廣、加熱控制與懸浮控制相互獨立等優(yōu)勢，易于使樣品獲得更深的過冷程度[2]。

國際空間站[3]和中國的空間站[4]上都配備了靜電懸浮實驗裝置，2021 年發(fā)射的中國空間站將在空間開展眾多樣品的靜電懸浮實驗。但在空間開展靜電懸浮實驗的成本極為高昂，實驗機會極其稀少，難以滿足大量的材料科學實驗需求。為配合完成空間靜電懸浮實驗，需開展大量地基驗證實驗，提供堅實的技術支持。

1993 年Rhim 等[5]在美國研制了第一臺地基靜電懸浮無容器設備，隨后日本[6]、德國[7]、韓國[8]也先后研制了靜電懸浮裝置并開展材料深過冷實驗。目前，中國的西北工業(yè)大學[9]、中國科學院國家空間科學中心[10]和中國科學院空間應用工程與技術中心[11]也開展了靜電懸浮技術的研究工作。

樣品的位置控制是靜電懸浮實驗的基礎，后續(xù)實驗操作是在樣品穩(wěn)定懸浮基礎上完成的。靜電懸浮位置控制系統(tǒng)通過控制高壓源的輸出電壓來改變樣品受到的電場力，抵消重力場的作用力，從而控制樣品的懸浮位置。因此，樣品的表面電荷量直接影響其懸浮狀態(tài)。在實驗過程中，當使用加熱激光器對樣品進行加熱操作時，樣品的體積、表面帶電量等性質會發(fā)生變化，并且靜電懸浮位置控制系統(tǒng)自身有著非線性的特點，傳統(tǒng)PID（Proportion Integration Differentiation）算法對于系統(tǒng)受到的擾動不能很好地抑制，難以自適應獲得穩(wěn)定的控制效果。尤其是當材料加熱過程中因表面狀態(tài)變化而使表面電荷量驟減，或者熱電效應導致表面電荷量驟變時，不及時調整控制參數(shù)易造成實驗的失敗。Nakamura 等[12]使用高速CCD（Charge Coupled Device）代替PSD（Position Sensitive Detector）傳感器，研制了以高速CCD 作為樣品位置探測器的靜電懸浮位置控制系統(tǒng)，減小了位置傳感器非線性部分的影響。但是高速CCD 比PSD 傳感器成本高且圖像采集、傳輸及處理過程需要極大的計算量，限制了控制周期進一步的調整。Meister 等[13]采用局部線性化和極點配置的方法，設計了一種基于插值的靜電懸浮增益調度控制器，但其僅以估計的樣品帶電量作為調度變量，忽略了樣品體積、質量、激光強度等因素的影響。同時，對于不同樣品，通過插值進行增益調度的方法在實際工程中存在一定難度。

神經網絡技術的興起為控制技術提供了新的方法和途徑。在各種神經網絡中，RBF（Radial Basis Function）神經網絡是一種性能良好的三層前饋神經網絡，具有較好的全局逼近性質，能夠逼近任意的非線性函數(shù)，并有較快的學習收斂速度[14]。在進行控制器設計時，RBF 神經網絡不需要知道系統(tǒng)的精確模型，即可實時對模型參數(shù)和擾動進行估計補償[15]，因此在航天工程[16]、伺服系統(tǒng)[17]、控制領域[18]、環(huán)境科學[19]等領域有著廣泛應用。

針對靜電懸浮位置控制系統(tǒng)非線性和時變性的特點，為提高其自適應性和魯棒性，本文推導了靜電懸浮位置控制系統(tǒng)的機理模型，提出RBF-PID 自適應控制方法，對靜電懸浮實驗中樣品的位置控制進行研究，并通過仿真與實驗驗證該方法的控制穩(wěn)定性和抗干擾能力。

1 靜電懸浮位置控制系統(tǒng)及建模

1.1 靜電懸浮位置控制系統(tǒng)構成

圖1 給出了靜電懸浮位置控制系統(tǒng)工作原理。靜電懸浮位置控制系統(tǒng)中垂直方向的懸浮電極由上電極和下電極組成，上電極與高壓源的輸出端連接，下電極接地，在上下電極之間形成向上的電場，使帶正電的樣品受到向上的電場力與重力平衡，實現(xiàn)懸浮。位置控制系統(tǒng)使用PSD 位置傳感器作為檢測裝置，PSD 傳感器型號為DL100-7 PCBA3，分辨率為1 μm，測量噪聲為15 nV·Hz–1/2。平行光源發(fā)出波長632.8 nm、直徑2 cm 的光斑，覆蓋整個上下電極之間的空間。PSD 傳感器位于平行光源的正對面，接收平行光束，并根據(jù)樣品的陰影位置輸出相應的電壓信號，電壓信號經放大電路和采集電路處理后被控制器讀取。

圖1 靜電懸浮位置控制系統(tǒng)工作原理Fig. 1 Position control system of electrostatic levitation

靜電懸浮位置控制系統(tǒng)主要包括位置測量（PSD 傳感器）單元、數(shù)字控制器（包含位置信號采集電路和放大電路）、執(zhí)行器輸出（高壓源）和被控對象（材料樣品位置）4 部分，樣品的位置控制回路如圖2所示。

圖2 樣品位置控制回路Fig. 2 Control loop of sample position

控制系統(tǒng)通過PSD 傳感器獲取樣品的位置，并與系統(tǒng)設定值進行比較，將二者之差輸入給數(shù)字控制器，數(shù)字控制器通過偏差改變輸出的控制信號，使高壓源輸出的高壓相應地變化，達到控制樣品位置的目的。

1.2 靜電懸浮位置控制系統(tǒng)機理模型

實驗的環(huán)境為真空環(huán)境（真空度為10–5Pa）。在懸浮過程中，樣品在垂直方向上受到4 個力的作用：重力、庫侖力、上電極鏡像力和下電極鏡像力。其中，庫侖力和上下電極鏡像力的合力用以抵消重力，實現(xiàn)樣品的懸浮。

假設樣品的表面形狀是規(guī)則的球形，上電極接高壓源負極，下電極接地。這里將樣品視為位于樣品重心處重量為m、帶電量為qs的質點。在懸浮的開始階段，樣品放置于下電極上。因為上電極連接了負高壓U，負電荷會在上電極表面逐漸累積，相應地，正電荷會在下電極和樣品表面逐漸累積。假設上下電極是無窮大的平面，則上下電極之間會形成一個方向向上的勻強電場，樣品在電場中受到的庫侖力

其中,Fc為樣品受到的庫侖力，qs為樣品的表面電荷量，z為上下電極的間距，U為高壓源的輸出電壓。

此外，樣品還受到上下極板對樣品的鏡像力作用。鏡像力是一種電荷感應力，當接地平面無限大導體外(距離為r)放置一個正電荷(+q)時，則該電荷將在導體表面上感應出負電荷( -q)，這兩個正負電荷之間相互吸引，該吸引力可以采用鏡像電荷計算[20]。樣品受到上電極的鏡像力為其中，ε0為真空介電常數(shù)，d為樣品距離下電極的高度，qs為樣品的表面電荷量，z為上下電極的間距。

樣品受到下電極的鏡像力為

假設上下電極間距10 mm，樣品質量為70 mg，帶電量為10–9C，根據(jù)式（4）計算樣品穩(wěn)定懸浮時，樣品位置與所施加電壓的關系，結果如圖3 所示。由圖3 可以看出，樣品在靠近上電極和下電極的位置時，所需懸浮電壓會急劇變化。

圖3 位置平衡處樣品位置與控制電壓的關系Fig. 3 Relationship between the sample position and the controlling voltage when sample position is in equilibrium

假設樣品在起跳后所帶電荷量qs保持不變，且最后穩(wěn)定懸浮于上下電極的正中間，對式（4）進行線性化，可得在平衡位置附近靜電懸浮位置系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

由此可見，從控制角度來看，在靜電懸浮位置控制系統(tǒng)平衡點附近，從高壓源電壓輸入到樣品位置輸出的傳遞函數(shù)結構是近似二階的。但是樣品偏離平衡狀態(tài)的程度較大時，該傳遞函數(shù)與實際實驗模型會存在偏差。

2 RBF-PID 自適應控制

2.1 RBF 神經網絡

RBF 神經網絡具有很強的非線性擬合能力，在實時辨識系統(tǒng)方面有著許多應用[21,22]。典型的RBF 網絡是一個三層前饋網絡，包含輸入層、隱含層和輸出層，如圖4 所示。

圖4 RBF 神經網絡結構Fig. 4 Structure diagram of RBF neural network

其中,cj為第j個神經元高斯基函數(shù)的中心矢量，σj為第j個神經元高斯基函數(shù)的寬度。RBF 網絡隱含層到輸出層之間為線性映射，轉換函數(shù)為

其中，ωj為第j個神經元的輸出權重。

2.2 RBF-PID 控制器的設計

考慮到在實驗過程中，樣品的體積、重量、帶電荷量等因素變化都會導致位置控制系統(tǒng)狀態(tài)的變化，且這些變化是隨機的、無重復性、無特征性。在這種情況下，為了增強模型在多種狀態(tài)下的適用性以及位置控制系統(tǒng)的魯棒性，使用RBF-PID 控制方法調節(jié)RBF 神經網絡的結構與權值，并根據(jù)模型預估值與目標值之差調整PID 控制參數(shù)。基于RBF-PID 控制器的總體控制回路如圖5 所示。

圖5 RBF-PID 控制器結構回路Fig. 5 Structure loop diagram of RBF-PID controller

首先，手動設置kp，ki，kd參數(shù)的初值，以及RBF神經網絡的隱含層節(jié)點數(shù)、學習速率和動量因子。RBF-PID 控制器根據(jù)系統(tǒng)的輸入與輸出，使用梯度下降法[24]調整內部神經網絡的節(jié)點中心矢量、基寬度和輸出權值，實時快速辨識系統(tǒng)的狀態(tài)，有

其中，η為學習效率，α為動量因子，ωj為神經元節(jié)點的輸出權值，σj為神經元節(jié)點的基寬度，cji為神經元節(jié)點的中心矢量。式(8)～(11)為迭代更新。

在獲得模型狀態(tài)的情況下，RBF-PID 控制器根據(jù)網絡預測值與給定目標值之間的差值，修改PID 三個控制參數(shù)，達到自適應控制的效果，有

式(12)～(15)為PID 控制參數(shù)迭代調節(jié)方法。

最后，更新PID 參數(shù)，并使用更新后的PID 參數(shù)對系統(tǒng)進行控制，有圖6 為靜電懸浮位置控制系統(tǒng)的非線性仿真結果，RBF-PID 模塊包含PID 控制器和RBF 神經網絡，系統(tǒng)模型模塊包含輸入電壓、樣品的受力和運動情況。在RBF-PID 控制器中，RBF 網絡辨識模塊的輸入?yún)?shù)有三個，即當前時刻樣品的位置、速度與控制高壓。根據(jù)經驗，設RBF 隱含層結點個數(shù)為250，基函數(shù)半徑σ為0.12，學習速率η為30，動量因子α為0.04，初始PID 參數(shù)P=10000，I=120，D=20000，PID 學習速率分別為ηp=500，ηi=850，ηd=350。系統(tǒng)仿真參數(shù)列于表1。通過樣品更新后的數(shù)據(jù)調整RBF 網絡節(jié)點的中心位置和寬度，計算出更新的

表1 系統(tǒng)仿真參數(shù)Table 1 Parameters of system simulation

圖6 靜電懸浮位置控制系統(tǒng)非線性仿真結果Fig. 6 Nonlinear simulation result of position control system of electrostatic levitation

3 仿真與實驗

3.1 仿真分析

PID 參數(shù)，并更新電壓與樣品位置，以此類推。

為驗證RBF-PID 控制器的魯棒性，將傳統(tǒng)PID控制器與二次型目標函數(shù)最優(yōu)整定后的PID 控制器對比，仿真結果如圖7 和圖8 所示。

圖7 為樣品在起跳懸浮階段時三種控制方法的初始響應曲線。從圖7 中可以看出，傳統(tǒng)PID 控制器的控制效果并不理想，雖然最后樣品可以懸浮至設定位置，但是在懸浮上升階段系統(tǒng)有著大幅振蕩，且上升時間較長。二次最優(yōu)整定PID 控制器的I 參數(shù)初始值較大，比RBF-PID 控制器早0.008 s 起跳。在懸浮上升階段，兩種控制器的響應曲線都很平滑，沒有振蕩現(xiàn)象。在接近設定目標值時，RBF-PID 控制器無超調發(fā)生，而最優(yōu)整定PID 控制器有0.5 mm的超調。從開始起跳到穩(wěn)定懸浮，最優(yōu)整定的PID 控制器耗時約0.1 s，RBF-PID 控制器耗時約0.065 s。因此，RBF-PID 控制器的上升時間更短，超調更小，到達穩(wěn)定所需時間更少。

圖7 各控制器的初始響應曲線Fig. 7 Initial response curve of different controllers

圖8 為樣品的表面電荷量突變?yōu)樵瓉淼?.5 倍、2 倍和3 倍時，傳統(tǒng)PID 控制器、最優(yōu)整定的PID 和RBF-PID 三種控制器對抗擾動的響應曲線。

圖8 電荷量突變時各控制器的響應曲線Fig. 8 Response curve of different controllers when the charge changes suddenly

從圖8 中可以看到，當電荷量突增或驟減時，傳統(tǒng)PID 控制方法需要較長時間到達穩(wěn)定狀態(tài)，且伴隨有高頻的振蕩。最優(yōu)整定的PID 控制器在控制的過程中有多次較小的振蕩現(xiàn)象出現(xiàn)，且會有超調情況出現(xiàn)； RBF-PID 控制器對應的響應曲線較為平滑，無振蕩現(xiàn)象，從擾動出現(xiàn)到樣品位置控制穩(wěn)定需要的時間最少。仿真實驗的對比分析列于表2。由此可以認為當樣品電荷量突變時，RBF-PID 控制器更穩(wěn)定、更快速，有著更強的抗干擾性和魯棒性。

表2 仿真結果對比Table 2 Comparison of simulation results

通過仿真實驗可以看出，RBF-PID 控制器與傳統(tǒng)PID 控制器和最優(yōu)整定的PID 控制器相比，在起跳時具有更快的響應速度，懸浮控制過程更加快速平穩(wěn)、無震蕩；在樣品表面電荷突變時，RBF 神經網絡可以快速辨識系統(tǒng)狀態(tài)，并實時更新控制參數(shù)，使輸出依舊能很好地跟蹤輸入。

3.2 實驗驗證

為了驗證所提出的控制方法在靜電懸浮位置控制系統(tǒng)中的有效性，使用直徑2 mm 的鋯球樣品作為控制對象，依據(jù)仿真結果對位置控制參數(shù)進行實時調整。實驗系統(tǒng)的采樣和控制頻率為300 Hz。圖9 為靜電懸浮實驗裝置。樣品鋯的懸浮實驗如圖10 所示。實驗環(huán)境的真空度為10–5Pa。

圖9 靜電懸浮實驗裝置Fig. 9 Experimental facility of electrostatic levitation

圖10 樣品鋯懸浮實驗Fig. 10 Diagram of sample zirconium in levitation state

圖11 為室溫下三種控制方法的控制效果對比。從圖11 可看出：常溫下，傳統(tǒng)PID 控制器樣品位置誤差在–0.13～0.11 mm 之間，平均絕對誤差為0.0384 mm；最優(yōu)整定的PID 控制器樣品位置誤差在–0.08～0.11 mm 之間，平均絕對誤差為0.0269 mm；參數(shù)實時調整后樣品位置誤差在–0.095～0.08 mm 之間，平均絕對誤差為0.0172 mm，控制效果比傳統(tǒng)PID 方法提高55%。

圖11 室溫下各控制器的樣品位置對比Fig. 11 Sample position comparison of different controllers at room temperature

當使用紅外激光器給樣品加熱時，由于體積、表面電荷量等因素的變化，樣品會出現(xiàn)大幅振蕩現(xiàn)象，尤其是當樣品初次處于半融化狀態(tài)時，樣品電荷量突增和驟減的情況發(fā)生最頻繁，樣品位置振蕩最劇烈，位置控制系統(tǒng)的干擾量最大。當樣品處于初次熔化的過程中，三種控制方法的樣品位置誤差如圖12所示。從圖12 可以看出，傳統(tǒng)PID 控制器的樣品位置誤差在–0.43～0.69 mm 之間，平均絕對誤差為0.1879 mm；最優(yōu)整定的PID 控制器樣品位置誤差在–0.143～0.296 mm 之間，平均絕對誤差為0.0685 mm；控制參數(shù)實時調整后樣品位置誤差為–0.14～0.185 mm，平均絕對誤差為0.0416 mm，控制效果比傳統(tǒng)PID 提高70%?；赗BF 神經網絡實時調整控制參數(shù)的方法與傳統(tǒng)PID 控制器和最優(yōu)整定的PID 控制器的控制效果對比引于表3。

表3 實驗結果對比Table 3 Comparison of experimental results

圖12 加熱狀態(tài)下各控制器的樣品位置對比Fig. 12 Sample position comparison of different controllers at heating state

4 結論

根據(jù)靜電懸浮位置控制系統(tǒng)及其理論模型，提出了一種基于RBF 神經網絡的靜電懸浮位置系統(tǒng)的控制方法。該方法利用RBF 神經網絡，通過系統(tǒng)的輸入與輸出量，實時辨識系統(tǒng)狀態(tài)，并根據(jù)網絡模型更新PID 控制參數(shù)，實現(xiàn)靜電懸浮位置系統(tǒng)的自適應控制。仿真結果表明：當樣品帶電量從10–9C 突變至3×10–9C 時，RBF-PID 控制器只需0.1 s可使系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài)。依據(jù)仿真結果對控制參數(shù)進行實時在線調整，實驗結果表明：室溫條件下，參數(shù)實時調整后系統(tǒng)的平均絕對誤差為0.0172 mm，比PID 控制效果提高55%；加熱狀態(tài)下，參數(shù)實時調整后系統(tǒng)的平均絕對誤差為0.0416 mm，比PID 控制效果提高70%。所提的控制方法對系統(tǒng)有較高的辨識精度，當系統(tǒng)存在較大擾動時可以快速抑制干擾，使輸出良好地跟蹤輸入，具有比傳統(tǒng)PID 控制方法更高的穩(wěn)定性、魯棒性和抗干擾性。