基于均勻設(shè)計法的三跨連續(xù)梁橋沖擊系數(shù)多因素耦合

張 旭

（河南理工大學(xué)能源科學(xué)與工程學(xué)院，河南 焦作 454000）

1 引言

交通事業(yè)的大力發(fā)展，使得公路橋梁交通特征逐漸趨于高速化和重載化，不可避免地出現(xiàn)由路面不平度等因素誘發(fā)的車橋耦合振動，尤其當(dāng)車橋共振過于激烈時，會大大降低車輛舒適性與橋梁結(jié)構(gòu)的安全性[1]。沖擊系數(shù)（IM）被認(rèn)為是有效評價車橋耦合振動程度的重要指標(biāo)，由于早期研究人員對車橋耦合振動認(rèn)識局限性較大，很多國家主要通過試驗獲取實橋數(shù)據(jù)來探究車橋耦合動力特性，高效計算方法層出不窮，車輛模型及橋梁模型逐步精細(xì)化，車橋模型越發(fā)貼近實際運營狀況，因此，高效的理論數(shù)值模擬方法成為解決車橋耦合問題的重要手段[2]。目前國內(nèi)外多數(shù)學(xué)者利用基頻或跨徑來制定IM計算公式，我國2015年發(fā)布的《公路橋涵設(shè)計通用規(guī)范》（JTG D60-2015）通過歸納大量實橋數(shù)據(jù)，將IM 制定為基頻的函數(shù)。但在實際場景中，公路交通狀況發(fā)生較大變化，單一因素影響下的車橋響應(yīng)并不能反映真實交通狀態(tài)，因此，進(jìn)行多因素耦合分析更具現(xiàn)實意義[3]。

譚國金等[4]為深入研究簡支梁橋IM的影響因素，建立三維空間車型與橋梁模型，基于模態(tài)綜合法，通過時程響應(yīng)結(jié)果分析車輛行駛速度、車輛作用點及路面不平度等參數(shù)影響下的動力放大系數(shù)變化規(guī)律。鄧露等[5]依據(jù)橋梁設(shè)計規(guī)范及大量調(diào)查數(shù)據(jù)擬定車輛模型基本參數(shù)，并與國內(nèi)外車型參數(shù)作對比，通過建立4座簡支梁橋模型，改變車輛總質(zhì)量、車輛剛度、車輛阻尼等因素，分析車橋動力響應(yīng)及IM變化規(guī)律，車橋動力響應(yīng)研究結(jié)果表明，動力IM 受車輛總質(zhì)量這一因素影響最大，呈負(fù)相關(guān)變化；與車輛剛度呈正相關(guān)變化；隨車輛阻尼增大表現(xiàn)出先減小后增大的變化規(guī)律。朱榮芳等[6]通過建立鋼管混凝土系桿拱橋的有限元模型，通過改變不同車輛荷載分析不同工況下IM 的變化規(guī)律，結(jié)果表明鋼管混凝土系桿拱橋IM 隨軸重增大而減小，與橋梁中線距離成反比，距離越大，IM越??；IM隨車輛行駛速度先增大后減小，沒有特定規(guī)律。項沛[7]以高敦大跨彎連續(xù)剛構(gòu)橋為研究對象，改變車輛行駛方式、路面不平度、墩高等敏感因素，采用均勻設(shè)計法設(shè)計了20個工況，利用自編譯車橋耦合程序，獲得了最不利截面處各參數(shù)對IM的敏感程度及影響規(guī)律。

綜上可知，已有車橋耦合研究主要針對簡支梁，且多集中于單一或少量因素的影響研究，并未考慮路面不平度等其它重要因素作用。因此，本文開展多因素耦合下三跨連續(xù)梁橋沖擊系數(shù)研究，以期為現(xiàn)行規(guī)范中沖擊系數(shù)的制定提供參考。

2 沖擊系數(shù)計算方法

車輛IM計算公式可表述為橋梁在車輛荷載激勵下所產(chǎn)生的靜態(tài)響應(yīng)增量變化，見式（1）。

式中，Rdmax為汽車激勵下橋梁豎向位移最大動力值，m；Rjmax為汽車激勵下橋梁豎向位移最大靜態(tài)響應(yīng)，m。

中國橋梁設(shè)計規(guī)范中的IM 從1989 年開始規(guī)定為跨徑的函數(shù)，而后通過研究初始條件各異的7 座橋梁，通過現(xiàn)場大量實橋數(shù)據(jù)采集，整理并進(jìn)行回歸分析得到基頻的函數(shù)。公式（2）為《公路橋涵設(shè)計通用規(guī)范》（JTG D60-2015）中關(guān)于沖擊系數(shù)的表達(dá)式。

3 均勻設(shè)計法

3.1 均勻試驗設(shè)計原理

均勻設(shè)計原理是將數(shù)論和多元統(tǒng)計結(jié)合的一種方法，該方法通過選取試驗范圍內(nèi)符合均衡分散特點的試驗點，確保每一行每一列僅有一個試驗點，力求進(jìn)行最少的試驗次數(shù)以獲得較多的試驗?zāi)繕?biāo)，與正交設(shè)計試驗方法相比，試驗次數(shù)明顯減少，假設(shè)試驗有5 個因素，這5個因素各有3個水平，如若進(jìn)行全面試驗，則需要5×3 種方法。因此，均勻設(shè)計特別適用于進(jìn)行多因素多水平的未知試驗[8-10]。

3.2 均勻設(shè)計表及試驗步驟

均勻設(shè)計法的關(guān)鍵是設(shè)計均勻設(shè)計表，每一個均勻設(shè)計試驗都有其對應(yīng)的均勻設(shè)計表，即U*m（np），U*表示改進(jìn)的均勻設(shè)計表，m 為試驗次數(shù)，n 為水平數(shù)，p 為列數(shù)。

均勻設(shè)計主要步驟：①明確本次均勻試驗效應(yīng)及目標(biāo)；②根據(jù)試驗范圍和試驗條件，設(shè)置研究因素的合理范圍及對應(yīng)的水平數(shù)；③由公式（2）得出各因素范圍及對應(yīng)水平數(shù)后，確定U*m（np）的3 個參數(shù)；④根據(jù)均勻表確定試驗方案，開始試驗并采集相關(guān)數(shù)據(jù)；⑤將試驗所得結(jié)果匯總，并利用回歸分析方法將所得數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，達(dá)到試驗?zāi)繕?biāo)。

3.3 回歸分析

通過均勻設(shè)計法得到試驗數(shù)據(jù)后，根據(jù)試驗?zāi)繕?biāo)及試驗性質(zhì)等條件選擇合適的方法進(jìn)行回歸分析。常見的回歸方法有線性回歸方法、非線性回歸方法和二次回歸方法等。本文主要采用線性回歸方法，假設(shè)設(shè)計方案中共進(jìn)行m次試驗，隨機變量Y與n個自變量X有線性聯(lián)系，可得多元線性數(shù)學(xué)模型見式（3）。

式中，B0、B1...Bn為待定參數(shù)，ε1、ε2、...εm為m 個服從同一正態(tài)分布N（0，σ2）的隨機變量。

逐步回歸是利用最小二乘法原理并逐步引入各因素的多元線性方法，本質(zhì)是在試驗過程中，每引入一個因素即進(jìn)行F檢驗，并對已選因素進(jìn)行t檢驗，通過顯著分析達(dá)到逐步消除影響較弱因素的目的。

4 多因素耦合下大跨連續(xù)梁橋沖擊系數(shù)分析

4.1 工程背景

以國內(nèi)某高速公路三跨連續(xù)箱梁橋為研究對象，橋梁全長220m，上部跨徑布置為55m+110m+55m，橋面總寬12m，中間11m 為機動車道寬度，外側(cè)為非機動車道，左右各0.5m護(hù)欄，橫坡為3%，主梁截面形式為單箱單室，采用C50混凝土，汽車荷載為一級荷載。跨中、支點斷面尺寸如圖1所示。

圖1 變截面三跨連續(xù)梁橫斷面圖

通過ANSYS 有限元軟件建立仿真橋梁模型，采用beam188單元，該模型共劃分80個單元，有限元模型如圖2所示。

圖2 三跨連續(xù)梁橋仿真示意圖

對仿真模型進(jìn)行模態(tài)分析得到節(jié)點、單元長度、角頻率、陣型等，將模態(tài)數(shù)據(jù)正則化，可得橋梁模態(tài)方程：

4.2 車輛模型

選取文獻(xiàn)[5]中的五軸重載拖掛車為研究對象，利用虛功原理，采用Largange 推導(dǎo)出車輛動力平衡方程。經(jīng)分析可知有16個自由度：車頭與車廂分別的浮沉、俯仰和側(cè)翻自由度以及每個軸左右輪的10個浮沉自由度。該車輛模型各部件具體參數(shù)來自文獻(xiàn)[5]，簡圖如圖3所示。

圖3 中m1v、m2v分別為車頭、車廂質(zhì)量；θ1、θ2、I1θ、I2θ分別為車體、車廂（縱向）轉(zhuǎn)動角及俯仰轉(zhuǎn)動慣量；φ1、φ2、I1φ、I2φ分別為車體、車廂（橫向）扭轉(zhuǎn)角及側(cè)翻轉(zhuǎn)動慣量；b 為左右輪間距；a1～a8為軸間距及質(zhì)心間距；y1v、y2v分別為車頭、車廂豎向位移；yiL、yiR分別為懸架豎向位移(第i 軸的左側(cè)懸架與右側(cè)懸架)；miL、miR分別為非簧載質(zhì)量(第i軸的左側(cè)質(zhì)量與右側(cè)質(zhì)量)；diL、diR分別為車輪與橋梁接觸處的豎向位移(第i 軸的左側(cè)車輪與右側(cè)車輪)；Kils、KiRs、Cils、CiRs分別為懸架剛度和阻尼(第i 軸的左側(cè)懸架與右側(cè)懸架)；Kilt、KiRt、Cilt、CiRt分別為輪胎剛度和阻尼（第i軸的左側(cè)輪胎與右側(cè)輪胎）。

圖3 五軸重載車輛模型

依據(jù)動力學(xué)分析可知，任何車輛的平衡方程均可寫為：

式中，MV為質(zhì)量矩陣；CV為阻尼矩陣；KV為剛度矩陣；Fvb為相互作用力向量、yV分別代表加速度、速度和位移向量。

MV為15×15的方陣，矩陣形式見式（6）。

阻尼矩陣Cv、剛度矩陣KV同理可得，車橋耦合振動系統(tǒng)中相互作用力向量Fvb為：

4.3 橋面不平度

橋面不平度是影響車橋耦合分析結(jié)果的重要因素，因此在車橋耦合分析時不應(yīng)忽略，本文采用諧波疊加法模擬橋面不平度，見式（8）。

式中，r（x）為所模擬的橋面不平度樣本；m 為采樣點數(shù)；Gd（ni）為位移功率譜函數(shù)；ni為第i 個區(qū)間的中心頻率；Δn 為頻率間距；x 為縱向位移；θi為隨機相位角度，范圍在[0，2π]內(nèi)。

選取空間頻率上限、下限分別為6m-1、0.01m-1，時間頻率上限、下限分別為30HZ、0.5HZ，Gq（no）依據(jù)《公路橋涵設(shè)計通用規(guī)范》（JTG D60-2015）功率譜取平均值，取橋長220m，模擬A、B、C、D等級的橋面不平度如圖4～圖7所示。

圖4 A級橋面不平度樣本

圖5 B級橋面不平度樣本

圖6 C級橋面不平度樣本

圖7 D級橋面不平度樣本

4.4 位移及力平衡建立車橋耦合方程

假設(shè)車輪與橋面始終接觸，第i軸左車輪與橋梁之間的相對位移Δli、左車輪與橋梁接觸位置處的相互作用力Fbv、Fvb可分別表示如下：

式中，Zli為左輪下緣對應(yīng)的豎向位移；WLi為左輪接觸處橋梁的豎向位移；rli為左輪接觸位置處的橋面不平度豎向坐標(biāo)；Kilt、Cilt為左輪的剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)；dil為左輪與橋梁的相對位移。

5 基于擬水平均勻設(shè)計法的沖擊系數(shù)分析

5.1 均勻設(shè)計試驗方案

在車橋耦合分析中，影響IM 的因素多而復(fù)雜，且大多是討論單因素變化的規(guī)律。本文考慮多因素耦合影響，利用均勻設(shè)計法減少試驗次數(shù)，主要分析常見的幾種影響因素并確定其水平數(shù)，具體見表1。

表1 各因素分析表

5.2 均勻設(shè)計表

A、B、C、D因素的水平數(shù)為5，E、F因素的水平數(shù)為4，所有因素水平數(shù)不一致。引入擬水平法可有效解決非一致水平數(shù)問題，該方法為達(dá)到試驗?zāi)康亩鴮⒛骋灰蛩氐乃綌?shù)按需求改變，改進(jìn)后的均勻設(shè)計表及使用表見表2和表3。

表2 均勻設(shè)計表

表3 的的使使用用表表

表3 的的使使用用表表

分析表3 可知，本次試驗因素6 個，即選取1、2、4、5、6、7 列設(shè)計表格，結(jié)果見表4。

表4 工況設(shè)計表

試驗方案確定工況后，利用自編車橋耦合程序?qū)ο鄳?yīng)工況進(jìn)行求解，得到關(guān)鍵截面的撓度IM、彎矩IM，計算結(jié)果見表5。

表5 截面沖擊系數(shù)

通過SPSS分別對基于均勻設(shè)計法得到的數(shù)據(jù)表進(jìn)行逐步回歸分析，結(jié)果見表6。

分析表6可知，模型1中，取邊跨跨中、中跨跨中兩截面處的最大撓度IM 為因變量，Sig 小于0.05，此時受A、E兩因素的影響較顯著，相關(guān)系數(shù)R為0.847，相關(guān)性良好，可得撓度IM回歸方程為：

表6 系數(shù)分析表

同理，模型2中，取邊跨跨中、中跨跨中兩截面處的最大彎矩IM 為因變量，Sig 小于0.05，此時受A、D 兩因素的影響較顯著，相關(guān)系數(shù)R為0.832，相關(guān)性良好，可得彎矩IM回歸方程為：

6 結(jié)語

①利用ANSYS 軟件建立三跨連續(xù)梁橋模型，得到橋梁正則化模態(tài)方程，采用Largange推導(dǎo)五軸拖掛車動力平衡方程，依據(jù)車橋間的位移協(xié)調(diào)和相互力關(guān)系，并加入諧波疊加法模擬的橋面不平度，利用自編車橋耦合程序求解橋梁動力沖擊系數(shù)。

②選取橋面不平度、車重、行車速度、阻尼比、車輛懸架剛度、車輛懸架阻尼作為主要考慮因素，為降低試驗次數(shù)，引入均勻設(shè)計法，利用SPSS逐步回歸得到撓度IM和彎矩IM的回歸方程。

③撓度IM 和彎矩IM 的回歸模型Sig 均小于0.05，相關(guān)系數(shù)分別為0.847、0.832，表明擬合公式良好，橋面不平度因素影響最大，因此，建議在相關(guān)橋梁IM 的制定中應(yīng)考慮此因素。