試題洞明皆學(xué)問“生”動溯源即文章
——2021年高考全國數(shù)學(xué)乙卷理科第12題解法探究及背景溯源

林鳳梅 福建省莆田第二中學(xué) 351131

蔡海濤 福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)研修部 350025

高考試題是命題專家團(tuán)隊(duì)的智慧結(jié)晶，具有規(guī)范性、權(quán)威性和科學(xué)性，認(rèn)真研究高考試題的重要性不言而喻.每一道高考試題往往都是一個(gè)精彩的世界，它除了考查學(xué)生的知識、能力、思想、素養(yǎng)，具有較強(qiáng)的選拔功能外，還對中學(xué)教學(xué)起到了積極的導(dǎo)向和促進(jìn)作用.通過研究近年的高考數(shù)學(xué)試題，細(xì)細(xì)地品味，不知不覺會感嘆高考試題演變的趨勢，會流連于試題所蘊(yùn)含的深刻背景，會癡迷在各種精妙的解法里，真是越品越有味，題題都精彩.

筆者研究近年高考試題，發(fā)現(xiàn)比較大小的問題頻頻出現(xiàn)，無疑是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)考向，如2021年高考全國乙卷理科第12題、2021年高考全國乙卷文科第12題、2021年新高考Ⅰ卷第7 題、2020年高考全國Ⅰ卷理科第12題、2020年高考全國Ⅱ卷理科第11題、2020年高考全國Ⅱ卷文科第12題、2020年高考全國Ⅲ卷理科第12題、2020年高考全國Ⅲ卷文科第10題、2019年高考全國Ⅰ卷理（文）科第3題、2019年高考全國Ⅱ卷理科第6題、2019年高考全國Ⅲ卷理科第11題、2019年高考全國Ⅲ卷文科第12題等.這類試題主要考查冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識等，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)綜合性和創(chuàng)新性.這類試題往往需要構(gòu)造一個(gè)與待證不等式相關(guān)的函數(shù)，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的單調(diào)性、最值來解決，學(xué)生解決該問題的難點(diǎn)主要在于如何構(gòu)造函數(shù).本文從一道2021年的高考題談起，研究這類問題的破解之道.

試題呈現(xiàn)

（2021 年高考全國乙卷理科第12題）設(shè)a=2ln1.01，b=ln1.02，c=則（ ）

A.a＜b＜c B.b＜c＜a

C.b＜a＜c D.c＜a＜b

分析：本題考查大小比較問題，這類問題利用近似估值計(jì)算往往無法解決，難度較大，難點(diǎn)是將各個(gè)式子的共同量用變量替換，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而比較大小.通過對數(shù)運(yùn)算和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的研究不難對a，b的大小做出判定，由a=2ln1.01=ln1.012=ln（1+0.01）2=ln（1+2×0.01+0.012）＞ln1.02=b，得b＜a，接下來只需比較c與a，b的大小即可.

解法分析

評析：解法3類似于解法2的思路，構(gòu)造函數(shù)f（x）=2ln（1+x），g（x）=ln（1+2x），h（x）=－1，比較三個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)值的大小得到f（x），g（x），h（x）的增長速度大小，可得c與a，b的大小關(guān)系.

背景溯源

本題的常規(guī)解法如上述三種解法，繼續(xù)探究會發(fā)現(xiàn)其背景深厚，內(nèi)涵豐富，別具匠心.

背景1：貝努利不等式.

利用貝努利不等式（1+x）α≥1+αx（α≥2，x＞－1），有（1+0.01）2＞1+2×0.01=1.02，所以a＞b.

背景2：泰勒展開式.

綜上，b＜c＜a.

背景3：常見不等式“l(fā)n（1+x）≤x（x≥0）”的加強(qiáng).

解后反思

1.同構(gòu)視角構(gòu)造函數(shù)

同構(gòu)式不等式是指除了變量不同，其余地方均相同的不等式［1］.在大小比較問題中，如何構(gòu)造函數(shù)是個(gè)難點(diǎn)，常用方法是先化同構(gòu)式.如以上三種解法都是先比較幾個(gè)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，往往選擇一個(gè)較簡單或是與其他有關(guān)聯(lián)的式子，用變量x替換后，再把其他式子也用x表示出來，進(jìn)而構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù).

同構(gòu)變形常用的方法有：相同變量放一邊；運(yùn)算形式變相同；指數(shù)、對數(shù)混合的一般統(tǒng)一化為以e為底的對數(shù).

2.歸納方法領(lǐng)悟思想

本題解決難點(diǎn)是不能將不同形式表示的量轉(zhuǎn)化為同一類型的表達(dá)形式，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造函數(shù)，解題困惑的原因在于無法合理應(yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化思想及函數(shù)與方程思想.這啟發(fā)教師應(yīng)將理性思維的培養(yǎng)貫穿教學(xué)過程，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模的過程教學(xué)，加強(qiáng)代數(shù)式合理變形的訓(xùn)練，關(guān)注一題多解，加強(qiáng)思想方法的滲透.

3.聯(lián)想類比揭示本質(zhì)

波利亞指出：“數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半，而更重要的是解題之后的回顧與反思.”不少學(xué)生解題后，校對好答案就“萬事大吉”，很少適度進(jìn)行聯(lián)想，包括部分教師教學(xué)時(shí)往往也是就題論題，淺嘗輒止，缺乏對題目的深層挖掘.特別是高考這樣經(jīng)典的試題，往往意蘊(yùn)深遠(yuǎn)，解題后嘗試多問“為什么”，適度進(jìn)行聯(lián)想、類比、深化，將會透過表象發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，長此以往積累解題經(jīng)驗(yàn)，以達(dá)到“做一題、通一類”的效果，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).