讓深度學(xué)習(xí)走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂
——以“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)為例

陸王華

江蘇省南通中學(xué) 226001

深度學(xué)習(xí)是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)熱詞，它建立在學(xué)生深層次理解的基礎(chǔ)上，其既強(qiáng)調(diào)教師的引導(dǎo)作用，又關(guān)注學(xué)生的主體參與，讓學(xué)生通過體驗(yàn)和深入思考掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，幫助學(xué)生形成積極的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，培養(yǎng)學(xué)生正確的學(xué)習(xí)觀和價(jià)值觀.筆者以 “橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”一課為例，淺談自己對(duì)深度學(xué)習(xí)的理解與實(shí)踐，僅供參考！

教學(xué)過程

1.探究性導(dǎo)學(xué)單

課前教師結(jié)合教材內(nèi)容和學(xué)生學(xué)情設(shè)計(jì)了導(dǎo)學(xué)單，以便學(xué)生在明確的問題的引導(dǎo)下進(jìn)行有效預(yù)習(xí).

導(dǎo)學(xué)單的內(nèi)容如下：

（1）回顧探究圓的標(biāo)準(zhǔn)方程這一節(jié)內(nèi)容，說一說圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)步驟.圓上的點(diǎn)與方程滿足什么條件后，才說明這個(gè)方程是圓的方程呢？

（2）你認(rèn)為可以如何研究橢圓？特別地，已知一個(gè)橢圓上的點(diǎn)M以及焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2滿足0（a，c為實(shí)數(shù)），試著求出它的方程.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過舊知回顧獲得新知的探究方法，并將新知內(nèi)容納入原有的認(rèn)知體系中，逐漸完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).另外，在預(yù)習(xí)內(nèi)容中，借助實(shí)例讓學(xué)生經(jīng)歷自主探究方程的過程，這樣不僅可為課堂教學(xué)提供教學(xué)素材，而且有利于引發(fā)深度學(xué)習(xí).

2.研究性教學(xué)活動(dòng)

學(xué)生獨(dú)立完成課前導(dǎo)學(xué)單內(nèi)容，教師結(jié)合學(xué)生反饋制作成課件，以便通過有效交流讓學(xué)生獲得深刻的理解.

環(huán)節(jié)1：為什么這樣算？

師：觀察圖1，你認(rèn)為這樣化簡(jiǎn)好不好？（教師用PPT展示學(xué)生的化簡(jiǎn)過程，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析、思考等過程找到問題的癥結(jié)）

圖1

生1：該過程涉及的字母太多，很難計(jì)算.

師：你認(rèn)為出現(xiàn)以上問題的根本原因是什么？

生1：設(shè)得過于復(fù)雜，沒有認(rèn)識(shí)到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是對(duì)稱的，可直接設(shè)F1（－c，0），F(xiàn)2（c，0）.

師：很好，合理建系往往可以達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的效果.在解決問題時(shí)不要急于求成，應(yīng)該注意觀察、認(rèn)真分析.

師：觀察圖2，誰(shuí)來說一說這步想要做什么？為什么要抹去部分等式呢？（教師繼續(xù)展示學(xué)生的化簡(jiǎn)過程）

圖2

生2：這步想通過兩邊平方去掉根式，可能發(fā)現(xiàn)直接平方比較復(fù)雜，所以放棄了.

師：觀察圖3，這樣做的目的是什么？你認(rèn)可這一做法嗎？（教師繼續(xù)出示圖3）

圖3

生3：圖3最終的目的也是為了去掉根式，但在平方前先移項(xiàng)了，這樣等式的左右各有一個(gè)根式，平方后左側(cè)根式可以直接消除，然后整理，再移項(xiàng)，再平方，通過兩次平方實(shí)現(xiàn)了化簡(jiǎn).

師：說得非常好，這一運(yùn)算過程與教材不謀而合，可見大家有著超強(qiáng)的分析和運(yùn)算能力.

師：在檢閱大家的預(yù)習(xí)成果時(shí)，發(fā)現(xiàn)有的同學(xué)是這樣算的.（教師出示圖4）

圖4

師：對(duì)于以上過程該如何理解呢？（教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生觀察、交流）

師：現(xiàn)在請(qǐng)當(dāng)事人說一說，當(dāng)時(shí)你是怎么想的呢？

生4：通過觀察發(fā)現(xiàn)，無論是直接平方，還是移項(xiàng)后平方，都需要兩次平方才能去除根式，于是我就想試一試通過構(gòu)造對(duì)稱結(jié)構(gòu)的方式去抵消根式，然后我就將2a進(jìn)行了拆分，再平方就出現(xiàn)了根式相減的現(xiàn)象，聯(lián)想到開始的兩根式之和，利用加減相消表達(dá)出了一個(gè)根式.

師：能想到利用對(duì)稱創(chuàng)造相消項(xiàng)，非常有創(chuàng)意.

師：觀察圖2后部分學(xué)生預(yù)測(cè)直接平方計(jì)算比較煩瑣，所以更改了運(yùn)算策略.但也有部分學(xué)生直面挑戰(zhàn)，給出了這樣的運(yùn)算過程.（教師展示圖5，并預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生觀察）

圖5

師：請(qǐng)利用以上方法化簡(jiǎn)的同學(xué)說一說，當(dāng)時(shí)你是怎么想的呢？

生5：起初也沒有多想，直接就平方了，但是在整理時(shí)發(fā)現(xiàn)運(yùn)算過程比較復(fù)雜，也想過通過先移項(xiàng)再平方的思路求解，不過我又想到即使通過移項(xiàng)還是需要兩次平方，所以我就嘗試將這個(gè)過程進(jìn)行到底.仔細(xì)觀察式子的結(jié)構(gòu)特征發(fā)現(xiàn)，若將根號(hào)下的式子進(jìn)行變形可以構(gòu)成平方差公式，這也是一種對(duì)稱.就這樣一邊做，一邊觀察，后來聯(lián)想到了換元，于是得到了以上運(yùn)算過程.

師：非常好，看似無心插柳，卻離不開知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和方法的支撐，可見大家有著扎實(shí)的基本功.

設(shè)計(jì)意圖：為了改變師講生聽的低效教學(xué)模式，教師沒有直接展示課本運(yùn)算過程，而是根據(jù)預(yù)習(xí)單提取一些典型案例，這樣有效拉近了學(xué)生與課堂的距離，調(diào)動(dòng)學(xué)生參與的熱情.同時(shí)，通過觀察、分析、交流，喚起了學(xué)生的深思，既讓學(xué)生明晰了算理，又掌握了運(yùn)算方法，有效提高了學(xué)生分析和解決問題的能力.

環(huán)節(jié)2：什么是曲線方程？

師：在導(dǎo)學(xué)單上有學(xué)生給出了這樣一個(gè)運(yùn)算過程，你知道這段文字要表達(dá)的是什么嗎？（教師出示圖6）

圖6

生6：驗(yàn)證方程的解為橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo).

師：哦！得到橢圓方程經(jīng)歷了復(fù)雜的計(jì)算，一定要驗(yàn)證嗎？

生6：需要，從剛剛求解過程可以看出橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的解，但并沒有說明方程的解是橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，所以需要進(jìn)一步驗(yàn)證.

設(shè)計(jì)意圖：在導(dǎo)學(xué)單上，教師已經(jīng)明確要求學(xué)生對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，不過效果并不明顯，大多數(shù)學(xué)生將精力放在研究“橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的解”上，忽視了對(duì)“方程的解是曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)”的驗(yàn)證，可見他們對(duì)曲線方程的理解不夠深刻.教師展示學(xué)生的成果，其目的是引起學(xué)生注意.不過，由于教材對(duì)驗(yàn)證過程沒有太高的要求，所以教師也沒有繼續(xù)開展探究，而是點(diǎn)到為止，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，培養(yǎng)其正確的數(shù)學(xué)觀即可.

環(huán)節(jié)3：如何求曲線方程？

師：對(duì)于最后一個(gè)問題，有同學(xué)給出了圖7所示的解答過程，這樣的做法對(duì)嗎？求曲線方程的步驟是什么呢？

圖7

生7：圖7的解答步驟存在問題，這里面沒有顯示建系的過程.求曲線方程的第一步是建系，沒有坐標(biāo)系又何來點(diǎn)的坐標(biāo)呢？

師：說得很好，誰(shuí)來總結(jié)歸納一下，求曲線方程要有哪幾個(gè)步驟呢？

生8：分為5步：①建系設(shè)點(diǎn)；②尋找條件；③列出方程；④化簡(jiǎn)；⑤證明.

師：說得很好，語(yǔ)言簡(jiǎn)潔精煉.對(duì)于以上問題，你們認(rèn)為如何建系運(yùn)算更簡(jiǎn)潔呢？

生9：構(gòu)建對(duì)稱圖形，這樣式子中會(huì)出現(xiàn)對(duì)稱結(jié)構(gòu)，更易于化簡(jiǎn).基于以上分析，解題時(shí)可以F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)所在直線為橫軸，以線段F1F2的中垂線為縱軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

師：還可以怎樣建系？得到的對(duì)應(yīng)的方程又是什么呢？

設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生在原有基礎(chǔ)上繼續(xù)探究，學(xué)生找到了不同的建系方法，有的學(xué)生認(rèn)為可以其中的一個(gè)焦點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建系，雖然通過該方法能列出方程，但是因?yàn)檫\(yùn)算煩瑣并沒有得到結(jié)果；有的學(xué)生利用中垂線構(gòu)造對(duì)稱形式，但把焦點(diǎn)放在了縱軸，使得化簡(jiǎn)時(shí)犯難了.為了幫助學(xué)生掌握問題的本質(zhì)，教師放慢了腳步，通過引導(dǎo)和啟發(fā)讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的規(guī)律.

師：現(xiàn)在誰(shuí)來說一說，你是如何建系的呢？（教師點(diǎn)名讓學(xué)生回答）

生10：我的建系思路與生9相同，也是用中垂線構(gòu)造對(duì)稱形式，但我將焦點(diǎn)放在了縱軸.

師：你化簡(jiǎn)的方程是什么？

生10：過程有些復(fù)雜，目前我還沒有化簡(jiǎn)出來.

生11：這個(gè)不需要化簡(jiǎn)，可以直接寫出方程.（生11搶答道）

師：為什么呢？

生11：兩種建系方法的唯一區(qū)別就是x軸與y軸進(jìn)行了互換，這樣在化簡(jiǎn)時(shí)無非就是將x換成了y，y換成了x，因此不需要再化簡(jiǎn)，只要將x和y互換即可.

師：非常完美的表述，這樣由幾何圖形中的對(duì)稱聯(lián)想到了代數(shù)中的對(duì)稱，可見同學(xué)們已經(jīng)掌握解析幾何問題的解決方法了.

設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)導(dǎo)學(xué)單發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)生給出的解題過程并不規(guī)范，缺失建系的過程.由此教師刻意展示不規(guī)范的解題過程，讓學(xué)生在糾錯(cuò)的過程中進(jìn)行深度思考，通過對(duì)不同建系方法的探究，不僅深化了他們對(duì)知識(shí)的理解，而且有效地發(fā)展了新課，得到了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的另外一種情況.

教學(xué)思考

本節(jié)課的重點(diǎn)為推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，推導(dǎo)過程中教師以學(xué)生的算法為主線，發(fā)現(xiàn)了不同的解法，并通過對(duì)不同解法的分析，讓學(xué)生在理解他人解題思路的過程中深刻地理解知識(shí)，優(yōu)化算法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

在本節(jié)課教學(xué)中，教師以學(xué)生的自主探究為主線，為深度學(xué)習(xí)提供了前提.要知道，機(jī)械模仿、死記硬背難以誘發(fā)學(xué)生深度思考，不利于深度學(xué)習(xí)達(dá)成.在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)從學(xué)生實(shí)際學(xué)情出發(fā)，依據(jù)教學(xué)內(nèi)容科學(xué)合理地創(chuàng)設(shè)問題，從而讓學(xué)生在問題的啟發(fā)和引導(dǎo)下去思考、去探索、去交流，以此讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)研究方法，理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，從而使“學(xué)”變得既有深度又有意義.

總之，在教學(xué)實(shí)踐中，教師切勿因追求“速度”而大包大攬，那樣不利于學(xué)生學(xué)習(xí)能力提升，會(huì)影響學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展.在教學(xué)中，教師要學(xué)會(huì)放慢節(jié)奏，為學(xué)生提供機(jī)會(huì)去發(fā)現(xiàn)、去探索、去創(chuàng)造，以此豐富學(xué)生的認(rèn)知，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì).