應(yīng)用型本科背景下高等數(shù)學(xué)混合式教學(xué)改革研究
——以分段函數(shù)為例

盧丑麗，魯官有

(1.晉中信息學(xué)院數(shù)理教學(xué)部，山西太谷，030800；2.晉中信息學(xué)院大數(shù)據(jù)學(xué)院，山西太谷，030800)

一、引言

信息技術(shù)的快速發(fā)展，給高等教育改革帶來新的思路和方法。習(xí)近平總書記在全國高校思想政治工作會議上指出：“要運(yùn)用新媒體新技術(shù)使工作活起來，推動思想政治工作傳統(tǒng)優(yōu)勢同信息技術(shù)高度融合，增強(qiáng)時代感和吸引力?！盵1]自20世紀(jì)90年代以來，混合式教學(xué)發(fā)展為基于移動通信設(shè)備、網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)環(huán)境與課堂相結(jié)合的教學(xué)情境。SPOC(Small Private Online Course，譯為“小規(guī)模限制性在線課程”)混合式教學(xué)融合MOOC和傳統(tǒng)課堂教學(xué)實(shí)踐可實(shí)現(xiàn)線上線下混合式教學(xué)，近年來，這方面的研究較多。例如，針對互聯(lián)網(wǎng)背景、素質(zhì)教育導(dǎo)向、網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺運(yùn)用等，從不同角度對高等數(shù)學(xué)課程進(jìn)行混合式教學(xué)研究[2-5]，或結(jié)合英語課堂思政改革對混合式教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行了探究。[6]研究表明，創(chuàng)設(shè)“互聯(lián)網(wǎng)+教育”的新環(huán)境，開展混合式教學(xué)是課堂生態(tài)發(fā)展的必然趨勢。高等數(shù)學(xué)是大學(xué)一門抽象性、理論性較強(qiáng)的基礎(chǔ)課，不僅對專業(yè)基礎(chǔ)課教學(xué)的推進(jìn)有重要意義，而且受眾面廣，育人功能突出，對其他課程教學(xué)改革同樣具有重要的指導(dǎo)作用。自2020年開始，課題組利用超星學(xué)習(xí)通教學(xué)平臺，結(jié)合應(yīng)用型本科院校晉中信息學(xué)院學(xué)生的特點(diǎn)，對該校2020級、2021級學(xué)生進(jìn)行了高等數(shù)學(xué)課程的混合式教學(xué)實(shí)踐。教學(xué)中，教師立足課程實(shí)際和學(xué)情，積極探索新舉措、新方法，通過創(chuàng)新教學(xué)改革，形成了一些較好的教學(xué)效果和教學(xué)反饋。分段函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，已有研究者對分段函數(shù)的極限、微積分的解法、概率問題的應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)的研究。[7-8]而分段函數(shù)的教學(xué)策略及方法鮮少提及。對此，本文主要在高等數(shù)學(xué)混合式教學(xué)改革背景下，以分段函數(shù)為研究對象，研究其教學(xué)策略及案例教學(xué)的實(shí)施途徑。

二、分段函數(shù)在高等數(shù)學(xué)的地位

三、分段函數(shù)在混合式教學(xué)改革中的教學(xué)策略

分段函數(shù)深入高等數(shù)學(xué)中的每一個章節(jié)，主要包含以下三大模塊：“函數(shù)、極限部分”“一元微積分部分”“多元函數(shù)的分段問題”。分段函數(shù)教學(xué)內(nèi)容與后續(xù)課程緊密相關(guān)，基礎(chǔ)性和應(yīng)用性并存?；旌鲜浇虒W(xué)模式下，教學(xué)內(nèi)容的切割、傳統(tǒng)授課與新技術(shù)應(yīng)用的協(xié)調(diào)、傳統(tǒng)課堂教學(xué)手段的比例和適用度是課題組不斷研究、不斷實(shí)踐的內(nèi)容。課題組吸收傳統(tǒng)課堂教學(xué)優(yōu)勢，以課程教學(xué)內(nèi)容為根本，以分段函數(shù)內(nèi)容為基礎(chǔ)，融入多元文化和元素，積極反思和探索，構(gòu)建信息化思維，探究分段函數(shù)的教學(xué)新思路和新策略。

(一)把握概念，講好基礎(chǔ)

分段函數(shù)的計(jì)算雖然繁雜，但作為解決問題的關(guān)鍵，最基礎(chǔ)的是概念和定義。因此，概念的理解對學(xué)生的學(xué)習(xí)效果是至關(guān)重要的。在備課和講授過程中，教師一定要抓住基礎(chǔ)，講好要點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)。分段函數(shù)定義的本質(zhì)是在分界點(diǎn)左右兩側(cè)的解析式不同。在講解時，教師可以先讓學(xué)生從直觀的感性認(rèn)識出發(fā)，逐步上升到理性認(rèn)識，從“電商發(fā)貨區(qū)域包郵與不包郵的快遞問題”引入，引起學(xué)生對分段函數(shù)的認(rèn)識，理解分段函數(shù)的生活常態(tài)的表現(xiàn)。在判斷分段點(diǎn)的極限時，教師可以先畫出分段函數(shù)的圖象，讓學(xué)生體會曲線的特征，再引導(dǎo)學(xué)生觀察幾類熟悉的圖象，進(jìn)而向極限的概念靠攏，進(jìn)行思維再加工。經(jīng)過一番理解，學(xué)生可提煉出如下結(jié)論：先求分段點(diǎn)的左、右極限[8]，再判斷左右極限是否相等；若相等，則極限存在；否則，極限不存在。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生可進(jìn)一步思考“若函數(shù)在分段點(diǎn)的函數(shù)值和極限值相等，則函數(shù)在分界點(diǎn)連續(xù)；否則，不連續(xù)，即函數(shù)間斷”。

(二)逆向思維，促進(jìn)有效計(jì)算

(三)結(jié)合實(shí)際應(yīng)用，進(jìn)行案例教學(xué)

教師可以結(jié)合知識點(diǎn)穿插案例，讓學(xué)生通過對案例的分析、思考、應(yīng)用，體會用數(shù)學(xué)的妙處，理解案例蘊(yùn)含的原理。例如，結(jié)合實(shí)際創(chuàng)設(shè)實(shí)際案例，設(shè)計(jì)問題情境，利用分段函數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，更易培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，利于幫助學(xué)生理解知識點(diǎn)，進(jìn)而解決實(shí)際社會生活中的問題。參考各級各類數(shù)學(xué)建模競賽題庫，教師可以將案例教學(xué)、案例作業(yè)結(jié)合起來，引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)設(shè)自變量、因變量的函數(shù)關(guān)系，建立合理的數(shù)學(xué)模型，層層深入，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和研究問題的興趣和熱情，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)和解決問題的能力。例如，教師在分段函數(shù)教學(xué)中可以采用以下案例。

【案例一】智能手機(jī)成了人們學(xué)習(xí)和生活的必備，我們以個人手機(jī)資費(fèi)套餐為背景，借助多媒體、網(wǎng)絡(luò)、校園群等調(diào)查搜集本地相關(guān)網(wǎng)絡(luò)運(yùn)營商的話費(fèi)套餐、收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)資料，并解決以下問題：若每月通話需求為100分鐘，用哪個套餐比較優(yōu)惠？若運(yùn)營商計(jì)劃每周推出一天為活動日，贈送一定量的流量，活動日應(yīng)定在周幾？贈送流量為多少時客戶最多？在學(xué)習(xí)了概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)后，教師可以將此案例進(jìn)行延伸，引導(dǎo)學(xué)生調(diào)查、統(tǒng)計(jì)我校大數(shù)據(jù)學(xué)院不同學(xué)生的話費(fèi)套餐使用情況，利用概率知識估計(jì)我校學(xué)生的話費(fèi)使用情況，從運(yùn)營商角度推出校內(nèi)新套餐。

【案例二】我校人才培養(yǎng)方案中“完滿教育”模塊學(xué)分由藝術(shù)實(shí)踐、競技體育、志愿服務(wù)、社團(tuán)活動四個活動板塊構(gòu)成，每一板塊有最低學(xué)分限制。教師可以引導(dǎo)學(xué)生調(diào)查統(tǒng)計(jì)自己所在班級志愿服務(wù)活動欄目的學(xué)分構(gòu)成情況，以及在第一學(xué)期的學(xué)分獲得情況，建立數(shù)學(xué)模型，估計(jì)第二學(xué)期學(xué)分。

(四)融入信息技術(shù)，加強(qiáng)軟件應(yīng)用

程序如下：

import sys

import os

print(′請輸入自變量x的值：′)

x = float(input())

y = float(input())

if x ==0：

result = y

elif y ==0：

result = x

else：

result = x*y

print(′因變量f(x)的值為：′，result)

print(sys.version)

(五)注重學(xué)科融合，兼顧知識延拓

教師可以應(yīng)用為導(dǎo)向，結(jié)合專業(yè)應(yīng)用，思考教學(xué)對策。分段函數(shù)應(yīng)用廣泛，是后續(xù)學(xué)科概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、復(fù)變函數(shù)、運(yùn)籌學(xué)、數(shù)字信號處理等課程的必備工具和基礎(chǔ)。[7，9]但高等數(shù)學(xué)教材對分段函數(shù)后續(xù)應(yīng)用的編排有限，如多元分段函數(shù)的二重積分并未編排，對廣義積分的刻畫較簡略。這就要求數(shù)學(xué)教師與專業(yè)課教師一起研討，在備課時充分結(jié)合學(xué)科專業(yè)應(yīng)用，把握知識的整體性，對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行分析重構(gòu)，創(chuàng)設(shè)基礎(chǔ)課程群一體化教學(xué)內(nèi)容。例如，結(jié)合概率論中的分布函數(shù)、密度函數(shù)等進(jìn)行舉例和練習(xí)，將復(fù)變函數(shù)的初步知識滲透在無窮級數(shù)中。課程設(shè)計(jì)體現(xiàn)深度和廣度，做到多種方法結(jié)合以突破難點(diǎn)，多學(xué)科融合以開闊學(xué)習(xí)的視野，加深學(xué)生對知識的理解和應(yīng)用。

四、混合式教學(xué)模式下分段函數(shù)教學(xué)案例的實(shí)施途徑

基于超星學(xué)習(xí)通教學(xué)平臺構(gòu)建混合式教學(xué)模式，本文以中國農(nóng)業(yè)出版社出版的《高等數(shù)學(xué)》中第五章“定積分”中“分段函數(shù)的定積分”為例，結(jié)合學(xué)生實(shí)際和教學(xué)實(shí)踐，挖掘課程的亮點(diǎn)，從課前、課中、課后介紹本節(jié)課程教學(xué)的案例設(shè)計(jì)。

(一)課前自學(xué)階段

(二)課堂學(xué)習(xí)階段

(三)課后學(xué)習(xí)階段

五、結(jié)語

應(yīng)用型本科院校的人才培養(yǎng)應(yīng)堅(jiān)持理論和能力并重，結(jié)合我校實(shí)際和學(xué)情，課程團(tuán)隊(duì)對高等數(shù)學(xué)進(jìn)行混合式教學(xué)改革，在形式上突破傳統(tǒng)的“黑板演示+教師講解”形式，在教學(xué)內(nèi)容上注重針對性和應(yīng)用性，改進(jìn)了教學(xué)方法和策略，形成了一些較好的教學(xué)效果和教學(xué)反饋。以分段函數(shù)混合式教學(xué)為例的教學(xué)實(shí)踐表明，分段函數(shù)的課堂飽滿而充實(shí)，能夠增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)意愿，學(xué)生獲得感強(qiáng)，教學(xué)效果好。在后續(xù)教學(xué)實(shí)踐中，我們需要繼續(xù)圍繞應(yīng)用型本科育人定位，進(jìn)一步分析課程內(nèi)容，探索育人、教學(xué)、應(yīng)用相結(jié)合的創(chuàng)新教學(xué)模式，促使高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革更深入。