基于MATLAB的“四心法”橢圓畫(huà)法及其偏差分析

閆培澤

（濮陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電與汽車(chē)工程學(xué)院，河南 濮陽(yáng) 457000）

橢圓是工程上及生活中一種常見(jiàn)的圖形，《機(jī)械制圖》教材中講解的常用橢圓畫(huà)法有兩種：同心圓法和“四心圓”法。很顯然，同心圓法從理論上就確定了它畫(huà)法的嚴(yán)謹(jǐn)性，在畫(huà)圖無(wú)誤差的情況下，畫(huà)出的就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)橢圓。但凡事都有兩面性，實(shí)際操作起來(lái)，因?yàn)樾枰椟c(diǎn)并平滑連接，這種方法就顯得比較繁瑣。方便快捷的“四心法”畫(huà)橢圓的方法就應(yīng)運(yùn)而生了。工程上更多的是“四心法”畫(huà)圖，快速高效，四段圓弧光滑連接，圖形飽滿(mǎn)[1]59。

一、“四心法”簡(jiǎn)介

（一）“四心法”畫(huà)近似橢圓步驟

已知：長(zhǎng)軸AB，短軸CD，作圖（如圖1）。

圖1 “四心法”橢圓畫(huà)法步驟

a.連接AC，畫(huà)弧使OE=OA、CF=CE，求出點(diǎn)E、F；

b.作線(xiàn)段AF的垂直平分線(xiàn)，垂足記為H，交軸線(xiàn)于1、2兩點(diǎn)；對(duì)稱(chēng)求出3、4兩點(diǎn)；

c.分別用1、2、3、4點(diǎn)當(dāng)圓心，把四條連心線(xiàn)作為分界線(xiàn)，過(guò)四點(diǎn)A、B、C、D分別作四段圓弧[2]26。

（二）“四心法”畫(huà)橢圓的理論依據(jù)

這種橢圓畫(huà)法的本質(zhì)就是四段圓弧順次連接組成一個(gè)橢圓的類(lèi)似型，因此這是一種近似畫(huà)法，以圖1所示AC段橢圓弧為例，從圓弧連接的角度來(lái)看，它就是半徑為1A和半徑為2C的兩段圓弧在直線(xiàn)12上內(nèi)切連接而成。

在△A1H和△2HC中，A1對(duì)H1的差值應(yīng)該等于2C對(duì)2H的差值。

為了敘述方便可以設(shè)∠HA1=∠H2C=α，AC=c，AO=a，OC=b。

（1）式顯然等于（2）式，從理論上保證了兩段圓弧在直線(xiàn)12上是相切的。而且是內(nèi)切，圓心距等于線(xiàn)段12的長(zhǎng)。

這就從理論上保證了在第二象限中圓弧是光滑過(guò)渡連接的，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性在其他象限也具有同樣的情景。

二、“四心法”橢圓相對(duì)于理論橢圓的偏差

（一）定性分析

如圖2所示，“四心法”畫(huà)橢圓是用四段圓弧拼成了一個(gè)近似橢圓，這種繪圖方法理論上保證了四段圓弧的光滑聯(lián)接，但必然與理論橢圓存在偏差。左右兩端外側(cè)為近似橢圓，內(nèi)側(cè)為理論橢圓，靠近短軸的地方偏差小、靠近長(zhǎng)軸的地方偏差大[3]33[4]10。

圖2 近似橢圓與理論橢圓的對(duì)比

怎樣定量地探索近似橢圓與理論橢圓的偏差值呢？

（二）定量分析

對(duì)于短長(zhǎng)軸比例相同的橢圓族來(lái)說(shuō)，如果長(zhǎng)軸長(zhǎng)，則作圖的誤差就大，從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)，我們可以反其道而行之，固定橢圓的長(zhǎng)軸，研究長(zhǎng)短軸比例多大時(shí)，橢圓誤差最大[5]101。

為了方便對(duì)“四心法”畫(huà)橢圓的方法進(jìn)行偏差定量分析，同時(shí)也為了更具代表性，根據(jù)橢圓對(duì)稱(chēng)性的特點(diǎn)，僅取第二象限進(jìn)行研究，這里對(duì)“四心法”畫(huà)橢圓偏差進(jìn)行評(píng)價(jià)的目的，并不是真正要求得到具體偏差值，僅僅是在給定長(zhǎng)軸長(zhǎng)度的橢圓族中，短長(zhǎng)軸比例為何值時(shí)作圖偏差取最大、最小值。

根據(jù)定性分析，只取靠近長(zhǎng)軸的部分作為評(píng)價(jià)對(duì)象，如圖3所示，即只研究Ab段圓弧與實(shí)際橢圓弧對(duì)應(yīng)部分的偏差，為了客觀地評(píng)價(jià)作圖偏差，過(guò)點(diǎn)1作一條直線(xiàn)，讓該直線(xiàn)的斜率大于直線(xiàn)1b的斜率，小于0，與橢圓弧和圓弧Ab分別交于m、n。將線(xiàn)段mn的距離作為評(píng)價(jià)對(duì)象。

圖3 近似橢圓偏差分析

優(yōu)化分析。下面用優(yōu)化方法來(lái)求解最大、最小作圖誤差：

1.確定評(píng)價(jià)對(duì)象——偏差大小的設(shè)計(jì)變量

短長(zhǎng)軸比例系數(shù)設(shè)定為λ，直線(xiàn)1n的斜率設(shè)定為k。

則設(shè)計(jì)變量為：

2.確定目標(biāo)函數(shù)

為了求得mn之間距離的表達(dá)式，設(shè)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為a（根據(jù)前面假設(shè)，a＞0且為定值）。根據(jù)圖3坐標(biāo)系及圖1四心法畫(huà)橢圓的步驟?？傻脵E圓弧的方程：

直線(xiàn)1b的方程為：

下面來(lái)求p（焦距），即圖3中的O1：

經(jīng)過(guò)推導(dǎo)可確定誤差最小時(shí)的目標(biāo)函數(shù)為：

誤差最大時(shí)的目標(biāo)函數(shù)為：

3.確定所求誤差大小的約束方程

由短長(zhǎng)軸比例系數(shù)λ（也就是x1）大于0而小于1得：

（三）MATLAB優(yōu)化求值

MATLAB優(yōu)化工具箱。MATLAB軟件是美國(guó)的MathWorks公司開(kāi)發(fā)的一款商業(yè)化數(shù)學(xué)軟件。MATLAB中的優(yōu)化工具箱，可以求解線(xiàn)性規(guī)劃、非線(xiàn)性規(guī)劃和多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題。使用MATLAB強(qiáng)大的計(jì)算及數(shù)據(jù)處理功能，可以快速確定理論橢圓與近似橢圓偏差的極值點(diǎn)，并求出極值，極大地減輕人的勞動(dòng)，方法、結(jié)果明晰，工具箱中的二次規(guī)劃函數(shù)能很好地解決二次曲線(xiàn)偏差距離計(jì)算問(wèn)題[6]353，為以后數(shù)控加工中在不超差的情況下采用近似畫(huà)法代替理論畫(huà)法提供技術(shù)支撐。

優(yōu)化求值。為了使計(jì)算更簡(jiǎn)單一些，可以設(shè)長(zhǎng)軸為單位長(zhǎng)度1，求出最大偏差值（如圖4），根據(jù)參數(shù)化定義，求不同長(zhǎng)軸時(shí)偏差軸時(shí)，只需放大相應(yīng)倍數(shù)。

圖4 橢圓偏差最大位置

編程求解：

＞＞x=sym（'x'）;

y=sym（'y'）;

x1=sym（'x1'）;

x2=sym（'x2'）;

y1=sym（'y1'）;

y2=sym（'y2'）;

ezplot（y.^2/（4-2*3^0.5）+3*x.^2/4==1/4，[-1，0，0，1]）;holdon%繪制橢圓

ezplot（（x+3^0.5/6）^2+y.^2==1/12，[-1，0，0，1]）;hol don%繪制圓形

[x，y]=solve（y^2/（4-2*3^0.5）+3*x^2/4==1/4，（x+3^0.5/6）^2+y^2==1/12，x，y）%求交點(diǎn)

x=double（x）;%對(duì)sym數(shù)組轉(zhuǎn)換為double型

y=double（y）;%對(duì)sym數(shù)組轉(zhuǎn)換為double型

K1=y（2）/（x（2）+sqrt（3）/6）;%斜率

K2=0;%斜率

KN=K1：0.1：K2;%調(diào)整間距，控制采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)和運(yùn)行實(shí)踐

n=length（KN）

fori=1：n

k=KN（i）

[xs1，ys1]=solve（y1.^2/（4-2*3^0.5）+3*x1.^2/4==1/4，y1==k*（x1+3^0.5/6），x1，y1）;%橢圓與直線(xiàn)交點(diǎn)

[xs2，ys2]=solve（（x2+3^0.5/6）^2+y2.^2==1/12，y2==k*（x2+3^0.5/6），x2，y2）;%圓與直線(xiàn)交點(diǎn)

l（i）=sqrt（（xs1（2）-xs2（2））^2+（ys1（2）-ys2（2））^2）%求直線(xiàn)與橢圓及圓形交點(diǎn)的距離

end

LMAX=max（l）;

h=KN（find（l==LMAX））;

x3=-1：0.01：1

y3=h*（x3+3^0.5/6）

plot（x3，y3）;

axis（[-0.6，-0.3，0，0.3]）;

hold on

從表1、表2中的結(jié)果可以看出，當(dāng)λ接近1時(shí)，即短長(zhǎng)軸長(zhǎng)度接近時(shí)，作圖誤差較小，為1時(shí)誤差為0；當(dāng)λ在0.24附近時(shí)，誤差最大。