一種描述硅PIN二極管反向恢復(fù)過程的二階有限元方法

翟 弋, 張滿紅， 宮婷婷

(華北電力大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，北京 102206)

0 引 言

PIN二極管作為一種重要的功率器件，既可以單獨(dú)被使用，也可以作為IGBT器件的一個(gè)元件被使用[1-2].它們通常在高注入水平下工作，其中具有運(yùn)動(dòng)邊界的雙極擴(kuò)散方程(ADE，ambipolar diffusion equation)可以用來模擬器件的穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)行為[3-4].現(xiàn)在研究人員已經(jīng)提出了幾種求解ADE的方法，如傅里葉展開法(FE)[5-6]、有限差分法(FD)[7-9]、有限元法(FEM)[10-11]和數(shù)值法[12].有限差分法和有限元法通常在SPICE模擬器中實(shí)現(xiàn)，而傅里葉展開法通常在MATLAB Simulink中實(shí)現(xiàn)[5].上述方法中，每種方法都有不同的近似值.

在已報(bào)道的文獻(xiàn)[9]中，已經(jīng)比較了描述硅PIN二極管反向恢復(fù)過程的有限元法和有限差分法.研究發(fā)現(xiàn)，在某些情況下，當(dāng)空間格點(diǎn)的位置和相鄰距離在迭代過程中被更新，通過邊界載流子密度的零值位置來確定未耗盡N-區(qū)域2個(gè)運(yùn)動(dòng)邊界的新坐標(biāo)時(shí)，應(yīng)用傳統(tǒng)的FD方法所得到的p(x,t)的數(shù)據(jù)是完全錯(cuò)誤的[7-8].為了解決這一問題，本文中，筆者提出了一種改進(jìn)的FD方法，即利用單步后退歐拉法求解ADE時(shí)，在一次迭代中固定空間離散點(diǎn).在每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)收斂后，基于新的邊界坐標(biāo)建立新的空間網(wǎng)格，并用3次樣條插值將p(x,t)從舊的空間網(wǎng)格轉(zhuǎn)移到新的空間網(wǎng)格.按照這種方法，從FE法和改進(jìn)的FD法中得到的具有相同參數(shù)集的p(x,t)數(shù)據(jù)與Silvaco Atlas模擬結(jié)果吻合良好[9].

通過Matlab仿真，筆者比較了用FE法和FEM法描述硅PIN二極管反向恢復(fù)過程的精度.在文獻(xiàn)[10-11]中，將求解ADE問題轉(zhuǎn)化為變分方程的極小化問題，可用FEM法求解.研究表明，為從變分函數(shù)中推導(dǎo)出ADE，空間求解區(qū)域的大小應(yīng)是固定的，并且應(yīng)用FEM基函數(shù)盡可能精確地估計(jì)?p/?t的值.為說明在FEM方法中改變空間求解區(qū)域的影響，將FEM法和FE基函數(shù)相結(jié)合，得到了一組新的載流子濃度方程，與原來的FE方程相比少了一項(xiàng)，實(shí)現(xiàn)了單一有限元.通過比較2組方程的解，檢驗(yàn)不同空間求解區(qū)域的影響.

對(duì)于FEM方法中的多重有限元實(shí)現(xiàn)，為使p(x,t)的FEM基函數(shù)展開連續(xù)且可微，筆者提出了一種二階有限元方法(SFEM)，并在描述硅PIN二極管反向恢復(fù)過程時(shí)將其性能與線性有限元法(LFEM)進(jìn)行了比較.

1 理論模型

1.1 雙極擴(kuò)散方程

圖1為PIN二極管和相應(yīng)摻雜分布的示意圖.N-區(qū)的寬度為W，從P+N-結(jié)(x=0)延伸到N-N+(x=W).在高注入條件下，載流子分布p(x,t)受以下ADE[9]控制：

圖1 反向恢復(fù)過程中PIN二極管摻雜水平和載流子分布示意圖

(1)

其中，Da=2DnDp/(Dn+Dp)表示雙極性擴(kuò)散系數(shù)，τhl表示大注入載流子壽命.xl表示P+N-結(jié)(表示為J1)耗盡區(qū)相對(duì)于x=0的厚度，并且正方向指向右側(cè).xr表示N-N+結(jié)耗盡區(qū)的厚度(表示為J2).(1)定義在未耗盡N-基區(qū)，范圍從x=xl到x=W-xr.

在x=xl和x=W-xr的邊界條件下，(1)可以寫成[9-10]

(2)

在(2)中，In為電子電流，Ip為空穴電流，Idisp為J1和J2結(jié)耗盡區(qū)的位移電流.A為器件面積，q為電子電荷.Dn和Dp分別為電子和空穴的擴(kuò)散系數(shù).當(dāng)xl>0時(shí)，忽略漂移擴(kuò)散電子流，當(dāng)xr>0時(shí)，忽略漂移擴(kuò)散空穴電流.在ADE方法中無法確定這些參數(shù).由于系統(tǒng)誤差和數(shù)值誤差，最終的載流子濃度分布p(x,t)并不完全符合(2).因此，在(3)中，xl和x=W-xr的2個(gè)新的空間偏導(dǎo)數(shù)也是根據(jù)三點(diǎn)FD近似計(jì)算出來的.在以下的討論中，將(2)中的?p/?x表示為?p/?x|I，將(3)中的?p/?x表示為?p/?x|FD.

(3)

PIN二極管兩端的總電壓為

VD=IDRD+VJ1+VJ2-Vd1-Vd2.

(4)

第1項(xiàng)是未耗盡N-區(qū)的歐姆壓降.VJ1和-Vd1分別是在正向偏壓和反向偏壓下J1結(jié)兩端的電壓.同樣，VJ2和-Vd2是J2結(jié)的相對(duì)應(yīng)電壓值.對(duì)于Vd1，可以采用常用的Vd1∝(xl)2近似，其中所有可運(yùn)動(dòng)空穴在耗盡區(qū)以飽和速度移動(dòng)，或者采用包含全空穴漂移速度—電場(chǎng)關(guān)系的模型.將第1種稱為x2相關(guān)模型，將第2種稱為全場(chǎng)模型.當(dāng)未耗盡N-區(qū)寬度較小且2個(gè)結(jié)耗盡區(qū)接近穿通時(shí)，第2種模型效果更好.對(duì)于Vd2，很難解析推導(dǎo)出包含全場(chǎng)效應(yīng)的表達(dá)式，因此只采用x2相關(guān)模型Vd2∝(xr)2，詳見文獻(xiàn)[9].

Silvaco Atlas TCAD和MATLAB仿真基于圖2所示的電路.其中，I1為電流源，I1=50 A，Vs為電壓源，Vs=200 V，L1為電感，R1為固定電阻，R1=1 mΩ，R2為可變電阻，其初始阻值為1 MΩ，以20 ns的時(shí)間常數(shù)按照指數(shù)衰減降低到1 mΩ.總電流ID的微分方程為

圖2 Silvaco Atlas TCAD器件混合仿真電路圖

I1R2(t)-(VD1+Vs)-(R1+RD(t)+R2(t))ID(t).

(5)

為了評(píng)估不同ADE求解方法中p(x,t)、ID及其分量的精度，用2種方法比較了N-區(qū)空間積分表面的載流子濃度.第1種方法中，在tλ時(shí)，N-區(qū)的空間積分表面載流子濃度可以表示為

(6)

為了提高上述積分的數(shù)值精度，利用3次樣條插值方法，使用均勻離散點(diǎn)p(xi，tλ)上的數(shù)值來計(jì)算函數(shù)p(x，tλ)，同時(shí)，根據(jù)載流子數(shù)守恒的連續(xù)性方程，可以得到以下方程：

(7)

其中Idisp表示J2結(jié)的位移電流.原則上，(6)和(7)中Nt應(yīng)該相同，但是，由于各種算法都會(huì)存在誤差，它們可能會(huì)有所不同.為了方便，將(6)中的Nt表示為Npt，將(7)中的Nt表示為NIt，2個(gè)量之間的差異反映了載流子濃度是如何保持守恒的.

所有方程均采用隱式歐拉(BE)方法求解，則(7)可以改寫為

(8)

1.2 有限元法

Buiatti等[8-9]使用以下函數(shù)建立FEM方法:

(9)

其中，第2行的表達(dá)式只針對(duì)一維情況.固定邊界xb和xe的Jn和Jp，讓p變?yōu)閜+δp，則可以得到δp的一階函數(shù)的變化，如下所示：

(10)

如果(p/D)?(δp)/?t這一項(xiàng)可以取0，則可以得到ADE和相應(yīng)的邊界條件.但是，上述變分函數(shù)不是關(guān)于時(shí)間的積分.在(9)中，?p/?t是前綴函數(shù)，不參與(10)中的變化，所以在(10)中不會(huì)出現(xiàn)(p/D)?(δp)?t這一項(xiàng).因此，p(x,t)和?p/?t的確定就形成了一個(gè)自洽問題.FEM法的精度還取決于如何從FEM基函數(shù)近似計(jì)算?p/?t.此外，上述FEM方法是在假設(shè)空間求解區(qū)域大小固定的情況下推導(dǎo)出來的，即xb和xe的值不變.

在線性有限元法、線性一維基函數(shù)和M有限元中，對(duì)函數(shù)Π最小化求解，得到如下常微分方程組：

(11)

其中[M],[G],[L]均為矩陣形式，

(12)

(13)

(14)

Δx是每個(gè)元素的寬度.M和[M]是2個(gè)不同的量,前者表示未耗盡N-區(qū)中空間點(diǎn)的個(gè)數(shù)，后者表示(12)中的矩陣.

1.3 基于FE方法的有限元FEM方法

利用類似SPICE的模擬仿真工具，Chibante等[10-11]已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了上述的FEM方法,模擬仿真過程中，將硅PIN二極管中未耗盡N-區(qū)離散成10多個(gè)塊，并將反向恢復(fù)過程的動(dòng)態(tài)變化轉(zhuǎn)化為小尺寸變化塊的時(shí)間演化.以下的討論中，使用FE方法來說明空間求解區(qū)域的大小變化對(duì)最終FEM結(jié)果精度的影響.

在FE方法中，用xb≡xl和xe≡W-xr表示N-區(qū)準(zhǔn)中性部分隨時(shí)間變化的左邊界(開始)和右邊界(結(jié)束).用空間坐標(biāo)x-xb的傅里葉級(jí)數(shù)表示隨時(shí)間變化的載流子濃度p(x,t)，其系數(shù)pk(t)隨時(shí)間坐標(biāo)t變化

(15)

(16)

在(15)中，傅里葉級(jí)數(shù)被截?cái)?，只保留M項(xiàng).同時(shí)，Da和τhl是常數(shù)，在這里不考慮它們的空間相關(guān)性.邊界條件是載流子濃度梯度?p/?x|xb和?p/?x|xe，以及2個(gè)邊界速度dx/dt|xb和dx/dt|xe.

已知pk(t)，實(shí)空間點(diǎn)x1=xb，x2=xb+Δx，…，xM=xe的p(x,t)值可由以下矩陣向量積求得，其中Δx=(xe-xb)/(M-1)，

(17)

傅里葉展開式系數(shù)pk(t)應(yīng)滿足以下微分方程：

(18)

文獻(xiàn)[9]已經(jīng)求解了這組載流子濃度方程，這2個(gè)邊界由反饋進(jìn)行控制.將FE方法與FEM方法相結(jié)合，研究了在FEM方法中空間求解區(qū)域大小變化的影響.將整個(gè)未耗盡N-區(qū)看作一個(gè)單一有限元，并假設(shè)

(19)

(20)

用(15)表示p(x,t)，(19)表示?p/?t，(20)表示δp(x,t)以及以下假設(shè)：

(21)

函數(shù)Π的最小化得到pk(t)的另外一個(gè)方程組.新的方程組與方程組(18)幾乎相同，但(18)的第2式中沒有以下項(xiàng)：

(22)

通過(21)，推導(dǎo)過程中仍然假設(shè)?p/?t是準(zhǔn)確的.因此，在有限元FEM實(shí)現(xiàn)中，(22)中的缺失項(xiàng)是由運(yùn)動(dòng)邊界xb和xe引起的空間求解區(qū)域的大小變化而引起的.如果邊界變化不是很快，那么最終的FEM載流子濃度方程仍然有很好的近似，是可用的.因此可以使用FE方法模擬分別包含和不包含(22)這一項(xiàng)的PIN二極管的反向恢復(fù)過程，以檢驗(yàn)在FEM方法實(shí)現(xiàn)中尺寸變化的空間求解區(qū)域?qū)ψ罱K結(jié)果的影響.將這種方法稱為FE-FEM方法，一種基于FE方法的FEM方法，這種FEM方法只有一個(gè)單一有限元.

1.4 二階有限元法

LFEM方法中，線性基函數(shù)的展開使得p(x,t)和?p/?t空間連續(xù)，但在空間節(jié)點(diǎn)處不可微，這將降低LFEM方法的精度.因此探討一種二階有限元方法(SFEM),通過比較Silvaco Atlas模擬仿真結(jié)果和FEM方法的計(jì)算結(jié)果，來評(píng)估FEM方法的精度.

在SFEM方法中，對(duì)于歸一化坐標(biāo)ξ∈[0，1]有4個(gè)基函數(shù)，如下所示：

(23)

可以將這4個(gè)形函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)改寫為

(24)

定義如下2個(gè)4×4矩陣[A1]和[B1]：

(25)

對(duì)于單個(gè)元素，x∈[x1，x2]，x2=x1+Δx，用4個(gè)形函數(shù)展開p(x,t)

(26)

在x1和x2處，p(x,t)對(duì)x的導(dǎo)數(shù)分別為α1/Δx和α2/Δx.函數(shù)Π對(duì)αi的最小化得到以下的有限元FEM方程:

(27)

將上述方程擴(kuò)展為由M個(gè)等距點(diǎn)[x1，x2，…，xM]組成的多個(gè)有限元，得到載流子濃度p(x,t)的展開式，如下所示：

(28)

其中所有形函數(shù)φi的參數(shù)都限制在[0,1].對(duì)于i=1，2，…，2M，αi的最終FEM方程為

(29)

從矩陣[A1]和[B1]可以導(dǎo)出矩陣[A2]和[B2].將(29)寫成2M×2M的矩陣形式

(30)

(31)

其中，α=[α1，α2，…，α2M]T，α1，α3，…，α2M-1給出了p(x,t)在空間點(diǎn)x1，x2，…，xM的值，α2/Δx，α4/Δx，…，α2M/Δx給出了?p(x,t)/?x在上述空間點(diǎn)的值.

Δx(tλ+1)=[W-xr(tλ+1)|s-xl(tλ+1)|s]/(M-1).

(32)

根據(jù)插值p(x,t)可以得到新的空間點(diǎn)集所對(duì)應(yīng)的p(x,t)值，然后開始下一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)的迭代.

除了3次樣條插值外，線性插值也是可能的.在時(shí)間tλ+1時(shí)刻，可以得到p(xi|λ，tλ+1)，并且能夠通過(33)得到近似的p(xi|λ+1，tλ+1).

(33)

(33)的第1個(gè)方程式給出了新坐標(biāo)中第i個(gè)空間點(diǎn)相對(duì)于舊坐標(biāo)的偏移量.在實(shí)際計(jì)算中，用適當(dāng)?shù)挠邢薏罘纸苼泶?33)第2個(gè)方程式中的偏導(dǎo)數(shù).與3次樣條插值相比，線性插值的計(jì)算速度更快.試驗(yàn)表明，對(duì)于較大的M，這2種插值方法產(chǎn)生的結(jié)果幾乎相同；對(duì)于較小的M值，如M=4，3次樣條插值的結(jié)果稍好一些.

1.5 仿真參數(shù)

正向偏壓穩(wěn)態(tài)下的初始載流子濃度為

(34)

對(duì)于Silvaco Atlas模擬仿真[14]，包括了默認(rèn)的載流子濃度相關(guān)遷移率模型conmob、默認(rèn)的平行電場(chǎng)相關(guān)遷移率模型fldmob和默認(rèn)的載流子濃度相關(guān)的SRH復(fù)合模型consrh以及默認(rèn)的高摻雜誘導(dǎo)帶隙窄化模型bgn.整個(gè)結(jié)構(gòu)采用了2組consrh壽命參數(shù)τn0和τp0(慢和快).τn和τp是3個(gè)區(qū)中每個(gè)區(qū)的實(shí)際SRH壽命參數(shù).在N-層中，ADE(1)中的參數(shù)τhl=τn+τp.考慮帶隙收縮效應(yīng)，根據(jù)文獻(xiàn)[3-4]的方程計(jì)算理論hp和hn參數(shù).所有的模擬仿真參數(shù)如表1所示.We和Nae分別是P+接觸層的寬度及其摻雜水平.Ws和Nds是N+接觸層的寬度及其摻雜水平.ΔEge是P+接觸層相對(duì)于N-層的帶隙收縮量，ΔEgs是N+接觸層相對(duì)于N-層的帶隙收縮量.

表1 模型仿真參數(shù)值

利用MATLAB計(jì)算基于ADE的反向恢復(fù)過程.為避免在數(shù)值計(jì)算中出現(xiàn)下溢或上溢現(xiàn)象，引入以下基本標(biāo)度：長(zhǎng)度l0=10-4cm=1 μm，時(shí)間t0=10-12s=1 ps，電壓V0=1 V，電荷q0= 10-12C=1 pC，其他參量可以很容易地推導(dǎo)出.在計(jì)算過程中，時(shí)間步長(zhǎng)從0.01 ps改為1 ps.

在之前的研究中已經(jīng)對(duì)采用FE，F(xiàn)D和Silvaco Atlas 3種方法描述硅PIN二極管的反向恢復(fù)過程作了比較.在慢變情況下，F(xiàn)E和FD法在x2相關(guān)和全場(chǎng)Vd1模型中的載流子濃度分布p(x,t)僅與Silvaco Atlas的載流子濃度分布近似一致，這是因?yàn)镻+N-結(jié)耗盡區(qū)的電子濃度很高，足以影響Silvaco Atlas模擬的耗盡寬度(xl)，但所有基于ADE的方法都忽略了這一點(diǎn)，從而給出了稍錯(cuò)誤的xl和xr值.在快變的情況下，前期FE法和FD法中的x2相關(guān)和全場(chǎng)Vd1模型的p(x,t)曲線與Silvaco Atlas模擬的p(x,t)曲線吻合較好；而在后期，只有FE法和FD法的全場(chǎng)Vd1模型的p(x,t)曲線與Silvaco Atlas模擬的p(x,t)曲線吻合較好.x2相關(guān)的Vd1模型導(dǎo)致在J1結(jié)和J2結(jié)2個(gè)耗盡區(qū)之間出現(xiàn)穿通現(xiàn)象.仍然使用2組參數(shù)來檢驗(yàn)FEM方法在描述硅PIN二極管反向恢復(fù)過程中的性能，只考慮全場(chǎng)Vd1模型.FD方法所得結(jié)果與FE方法所得結(jié)果相似，不作討論.

2 結(jié)果與討論

圖3a給出了采用全FE法和FE-FEM法的慢變和快變的I/V曲線，其中不包含式(22).未耗盡N-區(qū)的空間點(diǎn)總數(shù)為25.圖3b給出了全FE法和FE-FEM法對(duì)2個(gè)結(jié)耗盡寬度xl和xr的影響.可觀察到xr明顯增加，但幅度不大.結(jié)果表明，在FEM方法中，采用一個(gè)大小緩變的空間求解區(qū)域是一種很好的近似方法.

solid.FE; dot.FE-FEM; a.M=25時(shí)慢變和快變的反向恢復(fù)I/V曲線；b.J1結(jié)和J2結(jié)耗盡寬度xl和xr.

圖4和圖5中以FE法作為參考來檢驗(yàn)LFEM法和SFEM法的性能.首先比較了M=25時(shí)FE法、LFEM法和SFEM法的結(jié)果.圖4a,b分別給出了在FE法和LFEM法中，慢變和快變2種情況分別在x=xl，W-xr邊界處Δ(dp/dx)=?p/?x|I-?p/?x|FD的差異.SFEM方法中，在x=xl，W-xr邊界分別使用α2/Δx和α2M/Δx代替?p/?x|FD，在SFEM方法中，Δ(dp/dx)的幅值最小.FE法中，未耗盡N-區(qū)的邊界是通過經(jīng)驗(yàn)反饋控制的，p(xl,t)和p(W-xr，t)的值不大，通常也不接近于0.因此,?p/?x|FD只是恰好遵循了?p/?x|I的形狀，但這兩者有很大的區(qū)別.相比之下，由于采用了p(x,t)的連續(xù)可微的FEM基函數(shù)展開，SFEM方法中Δ(dp/dx)很小.LFEM法的性能介于FE法和SFEM法之間.FE方法中邊界載流子濃度的松散控制也會(huì)影響載流子守恒.圖5a，b分別給出了3種方法在M=25時(shí)ΔN=Npt-NIt的差異，ΔN在SFEM方法中同樣是最小的.FE法和FEM法的性能差異是由于未耗盡N-區(qū)邊界的反饋控制不能很好地保持載流子守恒造成的，而SFEM在這方面最好.

圖4 FE法、LFEM法和SFEM法中Δ(d p/d x)=? p/? x|I-? p/? x|FD的比較

圖5 FE法、LFEM法和SFEM法中ΔN=Npt-NIt的比較

通過改變空間點(diǎn)的數(shù)目來比較LFEM和SFEM方法的性能.圖6a,b分別比較了LFEM和SFEM方法中M=4，8，25時(shí)Δ(dp/dx)的差異，SFEM的性能比LFEM好.圖7中M=4，8，25時(shí)ΔN差異也有類似的趨勢(shì).可以看出，對(duì)于LFEM和SFEM，M=4的數(shù)據(jù)結(jié)果比M=8，25的數(shù)據(jù)結(jié)果差.

圖6 M=4,8,25時(shí),快變的Δ(d p/d x)=? p/? x|I-? p/? x|FD的比較

圖7 M=4，8，25時(shí),快變的ΔN=Npt-NIt的對(duì)比結(jié)果

圖8a,b，c分別給出了對(duì)于快變，M=4，8，25時(shí)，Silvaco Atlas(直線)、LFEM(空心符號(hào))和SFEM(實(shí)心符號(hào))的多個(gè)時(shí)間點(diǎn)的載流子分布p(x,t).由圖8a，在LFEM方法中觀察到p(x,t)有明顯的峰值過沖.當(dāng)M=4時(shí)，LFEM和SFEM方法中的xl與Silvaco Atlas模擬仿真數(shù)據(jù)不一致.圖8b中，LFEM和SFEM方法中M=8時(shí)對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)具有更好的p(x,t)曲線，但仍與Silvaco Atlas模擬仿真數(shù)據(jù)存在差異(曲線c，d，e).圖8c中，利用LFEM和SFEM方法得到的p(x,t)的數(shù)據(jù)在整個(gè)演化過程中與Silvaco Atlas模擬仿真的數(shù)據(jù)非常吻合，并且圖8c表明SFEM方法與LFEM方法相比性能更好.

a.initial; b.0.274 μs; c.0.282 μs; d.0.286 μs; e.0.297 μs; a.M=4; b.M=8; c.M=25.

從圖6～8的數(shù)據(jù)中可以得出結(jié)論，基于FEM基函數(shù)的較好的?p/?t近似，如采用SFEM方法或采用更多的空間點(diǎn)，可提高最終結(jié)果的精度.

LFEM方法和SFEM方法有另一個(gè)不同之處.SFEM方法中p(x,t)的基函數(shù)展開可以用于一次時(shí)間步長(zhǎng)迭代后外推新空間點(diǎn)網(wǎng)格上p(x,t)的值，而LFEM方法卻不能做到，這是因?yàn)楹笳咧皇沁B續(xù)而不可微的.由于使用了基函數(shù)式(23)，目前SFEM方法用于均勻的空間點(diǎn)網(wǎng)格，并可以擴(kuò)展到非均勻的空間點(diǎn)網(wǎng)格.

據(jù)文獻(xiàn)報(bào)道，集總電荷模型[15]和LFEM模型[10-11]已被成功地應(yīng)用于SPICE模擬工具，對(duì)具有不同空間求解區(qū)域的IGBT器件進(jìn)行建模.已經(jīng)測(cè)試了現(xiàn)有的二極管偏置參數(shù)，并且通過改變空間步長(zhǎng)來求解FEM方程[7-8],結(jié)果與Silvaco Atlas模擬結(jié)果不符[9]，據(jù)推測(cè)原因是由于模擬過程太快所致，如電阻R2的時(shí)間常數(shù)只有20 ns，后續(xù)應(yīng)對(duì)此做深入研究.

3 結(jié) 論

綜上所述，對(duì)有限元FEM方法的研究表明，為了能夠從變分函數(shù)中推導(dǎo)出ADE，空間求解區(qū)域的大小應(yīng)該是固定的，并且?p(x,t)/?t應(yīng)使用FEM基函數(shù)盡可能精確地逼近并自洽確定.將FE方法與FEM方法相結(jié)合，形成一種新的FEM方法(FE-FEM)，得到了一組新的載流子濃度方程，其與原來的FEM方法相比少了一項(xiàng)，這一項(xiàng)與未耗盡N-區(qū)的2個(gè)邊界的移動(dòng)有關(guān)，因此在空間大小變化的求解區(qū)域中采用FEM方法可能會(huì)引入誤差.通過比較FE法和FE-FEM法的計(jì)算結(jié)果分析了缺失項(xiàng)的影響,并在此基礎(chǔ)上提出了一種二階有限元法(SFEM)，該方法中p(x,t)的FEM基函數(shù)展開既連續(xù)又可微，將其與Silvaco Atlas模擬仿真、FE法和線性有限元法(LFEM)進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)，SFEM法優(yōu)于LFEM法.