半無窮柱體上穩(wěn)態(tài)Brinkman流體對給定函數(shù)的連續(xù)依賴性

陳雪姣, 李遠(yuǎn)飛, 侯春娟

(廣州華商學(xué)院 數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 511300)

0 引 言

本文中，筆者研究了半無限長柱體中流體通過多孔介質(zhì)定常流動的雙擴散對流問題.假設(shè)流體滿足Brinkman定律，它描述了速度對溫度和溶質(zhì)濃度的依賴關(guān)系.令(vi，p，T，C)表示速度、壓力、溫度和濃度，所研究的穩(wěn)態(tài)Brinkman方程組可以寫為[1]

-Δvi+vi=-p,i+giT+hiC，

(1)

vi,i=0，

(2)

viT,i=ΔT，

(3)

viC,i=ΔC+σΔT，

(4)

其中σ是大于0的常數(shù)，Δ是拉普拉斯算子，gi和hi是大于0的有界函數(shù)，不失一般性，假設(shè)

gigi≤1，hihi≤1.

假設(shè)Darcy流體通過一個半無窮的柱體，其中柱體的母線平行于x3坐標(biāo)軸.令D表示柱體的有限端，并假設(shè)D是坐標(biāo)平面x1Ox2上的有界凸區(qū)域，?D×{x3>0}表示R的側(cè)面，即

R={(x1，x2，x3)|(x1，x2)∈D，x3>0}.

本文也使用以下記號

Rz={(x1，x2，x3)|(x1，x2)∈D，x3≥z>0}，

Dz={(x1，x2，x3)|(x1，x2)∈D，x3=z>0}.

方程組(1)～(4)的邊界條件可以寫為

vini=0，T=C=0，在 ?D×{x3>0}上，

(5)

v3=F1(x1，x2)，T=F2(x1，x2)，C=F3(x1，x2)，在D×{x3=0}上，

(6)

vi，C，T，?T，?C=o(1)，p=O(1)，對x1，x2一致的，當(dāng)x3→∞時，

(7)

其中F1，F(xiàn)2和F3是大于0的已知函數(shù).

則ui,Σ,ε,π滿足方程組

(8)

ui,i=0，在R上，

(9)

(10)

(11)

uini=0，Σ=ε=0，在?D×{x3>0}上，

(12)

u3=Σ=ε=0，在D×{x3=0}上，

(13)

ui，?ui，ε，Σ，?Σ，?ε=o(1)，π=O(1)，對x1，x2一致的，當(dāng)x3→∞時.

(14)

1 準(zhǔn)備工作

首先，給出常用的已知微分不等式.

引理1[15]設(shè)w是D上的充分光滑的函數(shù)，w|?D=0，則

其中λ1是問題

ψ,αα+λψ=0，在D上，ψ=0，在?D上的第1特征值.

引理2[18]設(shè)w∈C1(Rz)，w|?D=0，w→0(x3→∞)，則

其中k1是大于0的常數(shù).

ψα,α=w在D上，ψα=0，在 ?D上，以及一個大于0的常數(shù)k2滿足

(15)

其次，結(jié)合文獻(xiàn)[2]中(4.27)和(4.29)，可得引理4.

其中m1,m2是大于0的常數(shù).

結(jié)合文獻(xiàn)[2]中(5.16)和(5.17)，可得引理5.

結(jié)合引理5和文獻(xiàn)[2]中的(5.6)和(5.7)，可得引理6.

其中m5，m6是大于0的常數(shù)，并且與邊界條件Fi(i=1，2，3)相關(guān).

2 重要引理

建立能量函數(shù)

(16)

其中δ1,δ2是待定的大于0的常數(shù).對(16)微分，可得

(17)

利用散度定理以及方程組(8)～(14)，可得

(18)

接下來，推導(dǎo)每一個Ai(i=1，2，…，15)的上界,并把結(jié)果寫成引理7～9.

其次，作者對翻譯過程原創(chuàng)性地進(jìn)行了回溯性研究。書中對詩歌翻譯的體驗性進(jìn)行了描述，將詩歌翻譯與詩歌創(chuàng)作相提并論，認(rèn)為詩歌翻譯不是靜態(tài)地復(fù)制原詩，而是一種詩學(xué)挪用和創(chuàng)造，是譯者詩學(xué)能力和詩學(xué)愛好的展示。書中既有形而上的考察，也有形而下的舉例，涵括了詩歌翻譯中對本體的認(rèn)識、對原作的解讀、譯作中的語言表達(dá)等階段，無論是在原創(chuàng)性上還是系統(tǒng)性上都值得稱道。

引理7設(shè)ui是方程(8),(10)～(14)的解，則有

證利用(8)，(10)～(14)和散度定理，可得

根據(jù)引理3可知，存在向量函數(shù)ψα滿足

ψα,α=u3,在D內(nèi)，ψα=0，在 ?D上.

所以

B11+B12+B13+B14+B15.

(19)

(20)

(21)

類似地，有

(22)

(23)

(24)

把(20)～(24)代入(19)并結(jié)合(17)，即可完成引理7的證明.

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

類似地，可得

(30)

(31)

注意到m3,m4與邊界條件Fi(i=1，2，3)相關(guān)，取適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件以及適當(dāng)?shù)摩?,δ2使得

(32)

再結(jié)合(16)和(25)～(31)即可完成引理8的證明.

A4+A6+A7+A8+A10+A11+A13+A15≤m7[-f′(z)],

其中

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

結(jié)合(17)和(33)～(39)即可完成引理9的證明.

3 主要結(jié)果

結(jié)合引理7～9以及(18)，可以得到定理1.

(40)

注1 若在(40)中取z=0，可得

(41)

具體地，方程組(7)～(14)的解滿足

或者

其中a1,a2,a3,m2,m5和m6是大于0的常數(shù).

證(40)可以表示為

(42)

如果a1=m2，對(42)從0到z積分，可得

(43)

如果a1≠m2，對(42)從0到z積分，可得

(44)

接下來本文估計F(0)的上界，由注1可知只需要推導(dǎo)-F′(0)的上界.為此，在(17)和(18)中取z=0并利用邊界條件(12)～(14)，可得

(45)

或者

(46)

與(25)～(31)類似，可得

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

在條件(32)之下，把(47)～(54)代入(46)并結(jié)合(45)，可得

由(41)可知

(55)

把(55)代入到(43)和(44)，可得

如果a1=m2，有

(56)

如果a1≠m2，有

(57)

由(56)和(57)并結(jié)合(16)即可完成定理2的證明.