一類Keller-Segel趨化模型解在高維空間RN(N≥3)的爆破問題

林奕武, 林培年， 程健燊

(廣東金融學(xué)院 金融數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 廣州 510521)

近幾十年來，拋物型方程和拋物型方程組解的爆破問題一直備受關(guān)注，很多學(xué)者開始進(jìn)行這方面研究并發(fā)表了相關(guān)論文.Tao等[1]考慮了有界凸區(qū)域Ω∈RN(N≥1)內(nèi)系數(shù)隨時(shí)間變化的反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)

的爆破現(xiàn)象,采用 Kaplan方法、子解和超解方式并結(jié)合改進(jìn)的微分不等式技術(shù)，求出了爆破時(shí)刻的上下界.Ding等[2]對有界凸區(qū)Ω∈RN(N≥2)內(nèi)的反應(yīng)擴(kuò)散方程

在Dirichlet邊界條件下的爆破現(xiàn)象進(jìn)行研究.Tang[3]研究有界凸區(qū)域Ω∈RN(N≥1)內(nèi)一類具有梯度非線性的反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)

的爆破問題.通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù),并利用Payne-Weinberger和Scott方法，得到爆破時(shí)間下界.Ding等[4]主要討論有界凸區(qū)Ω∈RN(N≥2)內(nèi)一類擬線性反應(yīng)擴(kuò)散問題

解的爆破現(xiàn)象.采用微分不等式技術(shù)并結(jié)合極大值原理，求出了爆破時(shí)間上下界.Ding等[5]主要討論了有界凸區(qū)Ω∈RN(N≥2)內(nèi)非線性反應(yīng)擴(kuò)散方程

在非局部邊界條件下的爆破現(xiàn)象.Shen等[6]對多孔介質(zhì)方程組

在有界凸區(qū)Ω∈RN(N≥2)解的爆破現(xiàn)象進(jìn)行探究.運(yùn)用Sobolev不等式并結(jié)合微分不等式方法對其求解得到爆破時(shí)間上界.Liu[7]對Robin邊界條件下非線性非局部多孔介質(zhì)方程

在有界凸區(qū)域Ω∈R3上的爆破問題進(jìn)行研究.利用H?lder不等式確定爆破發(fā)生時(shí)爆破時(shí)間的下界，并給出爆破不發(fā)生的條件.Liu等[8]在有界凸區(qū)Ω∈R3內(nèi)分別對Dirichlet邊界條件和齊次Neumann邊界條件下的非線性非局部多孔介質(zhì)方程

的爆破問題進(jìn)行探究.Payne等[9]對有界凸區(qū)Ω∈R3上的半線性問題

進(jìn)行探討.在構(gòu)造輔助函數(shù)的基礎(chǔ)上，結(jié)合微分不等式方法推導(dǎo)求出爆破時(shí)刻，同時(shí)基于比較原理提出了第2種方法.Payne等[10]將文獻(xiàn)[9]的成果推行到更普遍的拋物方程

ut=div(ρ(u)gradu)+f(u).

Payne等[11]對一類半線性熱方程在Neumann邊界條件下的初邊值問題進(jìn)行探討.克服了文獻(xiàn)[9]中齊次邊界條件為Dirichlet時(shí)Sobolev不等式的不足，推導(dǎo)得到爆破時(shí)間的一個(gè)下界和一個(gè)上界.Payne等[12]對有界凸區(qū)Ω∈RN(N≥2)內(nèi)半線性和非線性問題

的爆破現(xiàn)象進(jìn)行探究.確定了爆破發(fā)生時(shí)間的下界，而且給出了爆破準(zhǔn)則以及不產(chǎn)生爆破的一些限制主體.Payne等[13]對有界凸區(qū)域Ω∈RN(N≥2)內(nèi)一類半線性熱方程

在非線性邊界條件下的爆破現(xiàn)象進(jìn)行探討.Payne等[14]對有界凸區(qū)Ω∈RN(N≥2)中的初始邊界問題

進(jìn)行研討.Liu等[15]對一類具有梯度非線性的拋物方程

在非線性邊界的爆破現(xiàn)象進(jìn)行研討.李遠(yuǎn)飛[16]考慮在有界凸區(qū)域Ω∈R3的一個(gè)更加初邊值問題

求出了爆破產(chǎn)生時(shí)的下界.李遠(yuǎn)飛等[17]在Neumann邊界條件下對非線性拋物方程

的初邊值問題進(jìn)行研討.在恰當(dāng)假設(shè)基礎(chǔ)之下，得到了爆破發(fā)生時(shí)的爆破時(shí)間下界以及爆破不發(fā)生的前提條件.Chen等[18]對有界凸區(qū)Ω∈RN(N≥2)中一類非線性拋物問題

的爆破現(xiàn)象進(jìn)行探討.運(yùn)用微分不等式的方法求出爆破時(shí)刻的下界.Payne等[19]研究趨化模型

在Ω∈R3的爆破問題.求出爆破時(shí)間下界，并明確了保證不產(chǎn)生爆破的準(zhǔn)則.Payne等[20]推導(dǎo)得到更一般的拋物型方程組在爆破產(chǎn)生時(shí)的爆破時(shí)間下界.Li等[21]探討有界凸區(qū)域Ω∈RN(N=2,3)內(nèi)完全拋物型Keller-Segel方程組

在Neumann邊界條件下的初邊值問題.推導(dǎo)求出有限時(shí)間的爆破以及全局時(shí)間無界解.李遠(yuǎn)飛[22]對Robin邊界條件下有界凸區(qū)域Ω∈RN(N≥3)內(nèi)Keller-Segel拋物體系解的爆破問題進(jìn)行了研究，并獲得類似結(jié)果.

本文中，筆者對如下非線性Keller-Segel趨化模型進(jìn)行探討：

(1)

(2)

(3)

u=u0(x),v=v0(x)，在Ω·t=0上.

(4)

為了方便起見，假設(shè)

D(u)=us+1,S(u)=urs,r>0.

(5)

目前，對Keller-Segel趨化模型解的爆破現(xiàn)象的研究，人們更為關(guān)注簡化的拋物線模型和橢圓模型.由于擴(kuò)散和遷移2種機(jī)理的存在，具有非線性擴(kuò)散項(xiàng)的Keller-Segel模型表現(xiàn)出復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，處理難度加大.本文中，筆者主要討論具有擴(kuò)散項(xiàng)的高維空間拋物體系解的爆破問題.

采用構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，然后基于微分不等式方法并結(jié)合 Sobolev的嵌入定理，得出了在高維空間RN(N≥3)中方程(1)～(4)解的爆破時(shí)間下界.

引理1[18]對于任意正常數(shù)x1，x2，若0<α<1，有如下H?lder不等式：

為了得到所需結(jié)論，定義輔助函數(shù)φ=φ(t)如下：

(6)

定理1假定u=u(x,t)和v=v(x,t)是方程組(1)～(4)在有界星型區(qū)域Ω∈RN(N≥3)上的經(jīng)典非負(fù)解.那么在(6)中所定義的輔助函數(shù)φ(t)必滿足如下微分不等式

(7)

由(7)可得到爆破時(shí)間t*具有如下下界

(8)

其中A與α均是后面定義的正常數(shù),并且α滿足α<1.

定理1的證明將分為以下幾個(gè)引理來完成.

引理2(6)中定義的輔助函數(shù)φ(t)具有如下性質(zhì)

(9)

其中ε1是后面定義的正常數(shù).

證利用(1)～(5)以及散度定理，可得

(10)

(11)

其中ε1是后面定義的正常數(shù).

結(jié)合(10)和(11)，可以得到

使用等式

|?un|2(q+1)=|nun-1?u|2(q+1)，

可以得到

引理2得證.

(12)

證使用H?lder 不等式，得

(13)

選擇x1,x2和α使得

則有

利用引理1的結(jié)果，可得到

(14)

對于N≥3，具有如下Sobolev嵌入關(guān)系

因此，得到

(15)

其中c1是嵌入常數(shù).

將(14)和(15)進(jìn)行組合，得

利用Young不等式，可以得到

(16)

其中ε2是后面定義的正常數(shù).

結(jié)合(13)和(16)，可以得到

引理3得證.

引理4對于能量表達(dá)式φ(t)，有如下性質(zhì)

(17)

證結(jié)合引理2與引理3，得到

(18)

(19)

(20)

選擇ε1使得

(21)

同理，選擇足夠小的ε2，使得

同時(shí)，可以得到

結(jié)合(18)～(21)，可以得到

引理4得證.

引理5能量表達(dá)式φ(t)滿足如下不等式

(22)

同時(shí)，爆破時(shí)間t*有如下下界

(23)

證由(17)，可以得到

(24)

在(24)中使用不等式

am+bm≤(a+b)m,a,b>0,m>1,

得到

(25)

其中常數(shù)A定義為

(25)可以改寫為

(26)

不等式(26)從0到t的積分，得到

(27)

取極限為t→t*，得到

(28)

定理證明完畢.

本文中，筆者研究了高維空間RN(N≥3)上一類Keller-Segel趨化模型在齊次Neumann邊界條件下解的爆破問題.利用能量方法，運(yùn)用微分不等式技巧以及高維Soblev嵌入不等式，得到解的爆破時(shí)間下界.由于以往研究Keller-Segel趨化模型的爆破時(shí)間主要是估計(jì)爆破時(shí)間上界，因而解的下界估計(jì)更為困難.關(guān)于該模型解的爆破時(shí)間下界的研究大多是在低維空間，目前還未發(fā)現(xiàn)具有非線性擴(kuò)散項(xiàng)的Keller-Segel趨化模型解在高維空間RN(N≥3)上的爆破問題的研究，將以往的結(jié)果由低維空間推廣到了高維空間.后續(xù)的研究工作將進(jìn)一步推廣到Dirichlet邊界條件下，非線性邊界條件下以及具有變系數(shù)的Keller-Segel趨化模型解的爆破問題研究.由于非線性邊界條件的復(fù)雜性以及在變系數(shù)的拋物系統(tǒng)對參數(shù)設(shè)置的要求更加精妙，此類問題的研究將更具復(fù)雜性和難度.