不同纖維長(zhǎng)度的混雜鋼纖維混凝土本構(gòu)模型

霍琳穎，畢繼紅，2，*，趙 云，王照耀

（1.天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津 300350；2.天津大學(xué)濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072）

鋼纖維混凝土（SFRC）在工程中的應(yīng)用越來(lái)越普遍，鋼纖維的加入能有效改善混凝土抗拉強(qiáng)度低、韌性差、易開裂等缺陷［1-2］.Park 等［3］發(fā)現(xiàn)，在單向受拉狀態(tài)下，SFRC 中的短鋼纖維主要在微裂紋時(shí)期發(fā)揮橋接作用，長(zhǎng)鋼纖維更多在宏觀裂紋階段起到增強(qiáng)作用.Zhou 等［4］通過(guò)比較不同鋼纖維配比下混雜鋼纖維混凝土（HySFRC）的強(qiáng)度，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)鋼纖維對(duì)殘余強(qiáng)度的貢獻(xiàn)明顯大于短鋼纖維.Chang等［5］通過(guò)四點(diǎn)彎曲試驗(yàn)，探究了混雜鋼纖維對(duì)HySFRC 開裂后力學(xué)性能的影響.Turk 等［6］研究了混雜鋼纖維對(duì)HySFRC 力學(xué)性能的影響，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)鋼纖維體積分?jǐn)?shù)為80%時(shí)HySFRC 具有最優(yōu)的抗彎性能.

許多學(xué)者基于熱動(dòng)力學(xué)理論和SFRC 的試驗(yàn)研究，為SFRC 建立了一系列本構(gòu)模型.李杰等［7］考慮損傷和塑性的耦合效應(yīng)，建立了損傷本構(gòu)模型.池寅等［8］基于塑性損傷模型，建立了鋼纖維混凝土的塑性損傷本構(gòu)模型.但目前為止，尚無(wú)針對(duì)HySFRC 建立的本構(gòu)模型.本文基于經(jīng)典的混凝土彌散開裂本構(gòu)模型，將混雜鋼纖維應(yīng)力作為附加應(yīng)力，從而建立了混雜鋼纖維混凝土的本構(gòu)模型.通過(guò)對(duì)混雜鋼纖維混凝土試驗(yàn)數(shù)據(jù)的數(shù)值模擬，驗(yàn)證了所建立本構(gòu)模型的正確性.

1 基體中的混雜鋼纖維

短鋼纖維的自身體積較小，在相同鋼纖維體積分?jǐn)?shù)的鋼纖維混凝土中，短鋼纖維在混凝土基體中的根數(shù)要明顯多于長(zhǎng)鋼纖維.短鋼纖維由于根數(shù)多的優(yōu)勢(shì)，對(duì)混凝土開裂前期的微觀裂縫起到明顯增強(qiáng)作用.長(zhǎng)鋼纖維基于長(zhǎng)度優(yōu)勢(shì)可持續(xù)為開裂后的混凝土提供增強(qiáng)作用，對(duì)混凝土殘余強(qiáng)度有明顯提高作用［9］.混雜鋼纖維的體積分?jǐn)?shù)Vf由2 種長(zhǎng)度的鋼纖維各自的體積分?jǐn)?shù)構(gòu)成，即：

式中：Vf-s、Vf-l分別為短、長(zhǎng)鋼纖維的體積分?jǐn)?shù).

混雜鋼纖維混凝土中，長(zhǎng)鋼纖維長(zhǎng)度和直徑分別為L(zhǎng)f-l、df-l；短鋼纖維長(zhǎng)度和直徑分別為L(zhǎng)f-s、df-s.為了便于理論推導(dǎo)計(jì)算混雜鋼纖維的增強(qiáng)作用和建立本構(gòu)模型，假設(shè)基體中長(zhǎng)鋼纖維長(zhǎng)度為短鋼纖維長(zhǎng)度的2 倍.另外，假設(shè)在混雜鋼纖維混凝土澆筑過(guò)程中，通過(guò)充分地?cái)嚢枵駬v，鋼纖維在混凝土基體中取向三維隨機(jī)、分布完全均勻［10］.且混凝土基體中摻入不同長(zhǎng)度鋼纖維不影響鋼纖維取向的三維隨機(jī)性［10-11］.混雜鋼纖維在混凝土基體中的取向系數(shù)如式（2）所示.

式中：ηθ為混雜鋼纖維在混凝土基體中的取向系數(shù)；θ為鋼纖維與開裂面法線方向的夾角；p(θ)為鋼纖維在基體中的概率分布密度函數(shù).

利用混雜鋼纖維取向系數(shù)，計(jì)算出長(zhǎng)、短鋼纖維在開裂面法線方向的投影值，即長(zhǎng)、短鋼纖維的有效長(zhǎng)度lf-l、lf-s：

2 混雜鋼纖維的有效根數(shù)及埋深長(zhǎng)度

混凝土開裂后，開裂面上的鋼纖維兩側(cè)同時(shí)受力，埋深較短一側(cè)因抗拉拔力更小而首先被拔出.較短一側(cè)的埋深被定義為鋼纖維有效埋深長(zhǎng)度.圖1 給出了混凝土單元中短鋼纖維的分布.由圖1 可見(jiàn)，短鋼纖維的埋深長(zhǎng)度在0～0.5lf-s之間平均分布，短鋼纖維的有效埋深長(zhǎng)度le-s按式（5）計(jì)算.

圖1 混凝土單元中短鋼纖維的分布Fig.1 Distribution of short steel fibers

為了計(jì)算2 種長(zhǎng)度鋼纖維的橋接作用，假設(shè)有限元模型單元的特征長(zhǎng)度Lc等于短鋼纖維有效埋深長(zhǎng)度le-s.如圖1 所示，短鋼纖維一定會(huì)穿過(guò)混凝土開裂面，且僅穿過(guò)1 個(gè)開裂面.因此，混凝土開裂面上短鋼纖維的有效根數(shù)Nf-s按式（6）計(jì)算.

式中：Ac、Af-s分別為混凝土單元和短鋼纖維的橫截面面積.

圖2 給出了混凝土單元中長(zhǎng)鋼纖維的分布.由圖2 可見(jiàn)，長(zhǎng)鋼纖維在混凝土基體中均勻分布，假設(shè)長(zhǎng)鋼纖維會(huì)同時(shí)穿過(guò)有限元模型中2 個(gè)開裂面.長(zhǎng)鋼纖維的最小埋深長(zhǎng)度為0，最大埋深長(zhǎng)度為0.5lf-l，長(zhǎng)鋼纖維的有效埋深長(zhǎng)度le-l按式（7）計(jì)算；長(zhǎng)鋼纖維的有效根數(shù)Nf-l按式（8）計(jì)算.

式中：Af-l為長(zhǎng)鋼纖維的橫截面面積.

3 混雜鋼纖維的增強(qiáng)作用

混雜鋼纖維在混凝土開裂面上的橋接作用相互獨(dú)立，利用混凝土開裂面上單根鋼纖維軸向應(yīng)力乘以鋼纖維根數(shù)，來(lái)分別計(jì)算2 種鋼纖維的增強(qiáng)作用，如式（9）、（10）所示.

式中：σmf-s、σmf-l分別為開裂面上短、長(zhǎng)鋼纖維的增強(qiáng)應(yīng)力；σf-s、σf-l分別為單根短、長(zhǎng)鋼纖維的軸向應(yīng)力.

3.1 單根鋼纖維的增強(qiáng)作用

采用黏結(jié)-滑移模型來(lái)模擬開裂面上單根鋼纖維的橋接作用，計(jì)算纖維黏結(jié)應(yīng)力與滑移位移間的關(guān)系，其包含纖維部分脫黏階段（裂縫寬度w不大于鋼纖維臨界滑移量smax）和完全脫黏階段（w＞smax）2部分［12-14］，如式（11）中所示.

式中：τf為鋼纖維與混凝土基體之間的剪切應(yīng)力；s為鋼纖維滑移量；μ、σN分別為鋼纖維與混凝土之間的摩擦系數(shù)和握裹應(yīng)力，基于蘇慶田等［15］和Tai 等［16］的試驗(yàn)研究，近似取值為μ=0.6，σN=12.8 MPa；τmax為鋼纖維拔出過(guò)程中的黏結(jié)強(qiáng)度.

由Sezen 等［17］進(jìn)行的鋼纖維拔出試驗(yàn)，τmax近似為基體抗拉強(qiáng)度f(wàn)fc-tu的2 倍.

對(duì)混凝土基體中的鋼纖維取為隔離體進(jìn)行受力分析，如式（13）所示.

式中：σf為鋼纖維的軸向應(yīng)力；df、le分別為鋼纖維的直徑和有效埋深長(zhǎng)度.

將式（11）、（12）代入式（13）中，建立纖維部分脫黏階段鋼纖維軸向應(yīng)力σf的計(jì)算式.

式中：Ef為鋼纖維的彈性模量.

對(duì)于鋼纖維完全脫黏后的滑移階段，鋼纖維與混凝土基體之間的摩擦作用提供剪應(yīng)力，用鋼纖維接觸長(zhǎng)度ld代替鋼纖維有效埋深長(zhǎng)度le，忽略鋼纖維在拔出過(guò)程中鋼纖維和混凝土的受拉變形，ld按式（15）計(jì)算.

建立鋼纖維完全脫黏階段（w＞smax）的鋼纖維軸向應(yīng)力計(jì)算式如下.

圖3 給出了混凝土開裂后混雜鋼纖維剪切應(yīng)力隨裂縫寬度的變化，其中smax-l、smax-s分別為長(zhǎng)、短鋼纖維的臨界滑移量.由圖3 可見(jiàn)：2 種鋼纖維在拔出過(guò)程中具有相同的黏結(jié)強(qiáng)度；短鋼纖維由于具有更短的埋深長(zhǎng)度，因而更早到達(dá)最大黏結(jié)應(yīng)力.

圖3 混雜鋼纖維剪切應(yīng)力隨裂縫寬度的變化Fig.3 Variation of shear stress of hybrid fibers with crack width

3.2 開裂面上混雜鋼纖維的增強(qiáng)作用

基于混雜鋼纖維與混凝土基體間的黏結(jié)狀態(tài)，將混雜鋼纖維增強(qiáng)作用分為3 個(gè)階段.

第1 階段，長(zhǎng)、短鋼纖維均處于部分拔出階段，即w≤smax-s，混雜鋼纖維增強(qiáng)作用隨著裂縫擴(kuò)展而增強(qiáng).將式（14）代入式（9）、（10），分別計(jì)算開裂面上短、長(zhǎng)鋼纖維增強(qiáng)應(yīng)力.

式中：σmf-s、σmf-l分別為HySFRC 中混凝土開裂后短、長(zhǎng)鋼纖維應(yīng)力.

第2 階段，長(zhǎng)鋼纖維仍處于部分脫黏階段，短鋼纖維完全脫黏、在混凝土孔中整體滑動(dòng)，即smax-s＜w＜smax-l.將式（14）分別代入式（9）、（10），得到開裂面上短、長(zhǎng)鋼纖維增強(qiáng)應(yīng)力.

第3 階段，長(zhǎng)、短鋼纖維均完全脫黏、在混凝土孔中滑動(dòng)，smax-l＜w.將式（14）代入式（9）、（10），可以得到第3 階段開裂面上短、長(zhǎng)鋼纖維的增強(qiáng)應(yīng)力.

4 混雜鋼纖維混凝土的本構(gòu)模型

混雜鋼纖維混凝土HySFRC 在單向受拉狀態(tài)下的增強(qiáng)應(yīng)力σfc分別由混凝土基體，短、長(zhǎng)鋼纖維增強(qiáng)應(yīng)力組成，如式（23）所示.

式中：σc為混凝土基體的增強(qiáng)應(yīng)力.

將式（17）、（18）代入式（23）中，得到HySFRC 軸向應(yīng)力與裂縫寬度的關(guān)系，基于混雜鋼纖維增強(qiáng)作用的3 個(gè)階段，在混凝土經(jīng)典彌散開裂本構(gòu)模型的基礎(chǔ)上，得出了HySFRC 的本構(gòu)模型.

第1 階段，HySFRC 的本構(gòu)模型如下：

第2 階段，HySFRC 的本構(gòu)模型如下：

第3 階段，HySFRC 的本構(gòu)模型如下：

5 本構(gòu)模型的試驗(yàn)驗(yàn)證及分析

基于Kim 等［18］進(jìn)行的HySFRC 四點(diǎn)彎曲試驗(yàn)，采用本文所建立的HySFRC 本構(gòu)模型，在有限元軟件Abaqus 中建立相應(yīng)的有限元模型.試件尺寸為100 mm×100 mm×400 mm，為了消除支座與試件之間應(yīng)力集中現(xiàn)象的影響，在模型中為鋼纖維混凝土試件與支撐、加載板之間分別建立接觸，實(shí)現(xiàn)試件與支撐、加載板之間的滑動(dòng)，如圖4所示，并在表1 中分別給出混雜鋼纖維混凝土試件中長(zhǎng)、短鋼纖維和混凝土基體的尺寸及力學(xué)性能.

表1 鋼纖維和混凝土基體的尺寸及力學(xué)性能Table 1 Dimensions and mechanical properties of steel fibers and concrete

圖4 四點(diǎn)彎曲試件的尺寸和有限元模型Fig.4 Finite element model of 4-point bending specimen

圖5 給出了混雜鋼纖維混凝土試件四點(diǎn)彎曲試驗(yàn)的荷載-位移曲線.由圖5 可見(jiàn)，混雜鋼纖維混凝土試件的數(shù)值模擬結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)整體吻合良好.說(shuō)明有限元模型有效地預(yù)測(cè)了混雜鋼纖維混凝土試件開裂后的力學(xué)響應(yīng)，試件在開裂后仍表現(xiàn)出良好的承載能力.

圖5 混雜鋼纖維混凝土試件四點(diǎn)彎曲試驗(yàn)的荷載-位移曲線Fig.5 Load-displacement curve of HySFRC specimen in four-point bending test

圖6 顯示了四點(diǎn)彎曲試驗(yàn)峰值荷載時(shí)刻混雜鋼纖維混凝土試件的軸向應(yīng)力分布.為了清晰顯示四點(diǎn)彎曲試驗(yàn)中混雜鋼纖維混凝土試件的變形，將有限元模型的變形放大系數(shù)均設(shè)為20 倍.由圖6 可知，混雜鋼纖維混凝土試件的壓應(yīng)力始終小于抗壓強(qiáng)度，說(shuō)明受壓狀態(tài)下的混雜鋼纖維混凝土處于彈性階段.

圖6 四點(diǎn)彎曲試驗(yàn)峰值荷載時(shí)刻混雜鋼纖維混凝土試件的軸向應(yīng)力分布Fig.6 Distribution of axial stress of HySFRC specimen at the peak load in four-point bending test

在混雜鋼纖維混凝土試件初次開裂時(shí)刻，在純彎段底部軸向應(yīng)力達(dá)到開裂強(qiáng)度，同時(shí)試件其他部分拉應(yīng)力較小.隨著裂縫擴(kuò)展，混雜鋼纖維混凝土試件拉應(yīng)力最大值的位置從底層開始向上移動(dòng)，中性軸明顯上移.當(dāng)載荷達(dá)到峰值時(shí)，純彎段大部分處于受拉開裂狀態(tài).在初裂時(shí)刻，試件塑性變形僅發(fā)生在彎曲段的底部.當(dāng)達(dá)到峰值載荷時(shí)，試件純彎部分幾乎都出現(xiàn)了明顯的塑性變形.

6 結(jié)論

（1）在混凝土開裂后，混雜鋼纖維的橋接作用被激活，利用黏結(jié)-滑移模型計(jì)算混雜鋼纖維對(duì)混凝土的增強(qiáng)作用，建立了混雜鋼纖維應(yīng)力與裂縫寬度的關(guān)系.由于短鋼纖維具有更短的埋深長(zhǎng)度，其剪切應(yīng)力比長(zhǎng)鋼纖維更早到達(dá)黏結(jié)強(qiáng)度.考慮混雜鋼纖維與混凝土基體之間的脫黏狀態(tài)，將混雜鋼纖維對(duì)混凝土的增強(qiáng)作用分為3 個(gè)階段.

（2）對(duì)應(yīng)鋼纖維增強(qiáng)作用的3 個(gè)階段，分別建立了混凝土開裂面上混雜鋼纖維增強(qiáng)應(yīng)力與裂縫寬度的關(guān)系.基于普通混凝土經(jīng)典彌散開裂本構(gòu)模型，考慮開裂面上混雜鋼纖維的橋接作用，建立了適用于混雜鋼纖維混凝土的本構(gòu)模型.

（3）將所建混雜鋼纖維混凝土本構(gòu)模型引入有限元軟件Abaqus 中，建立混雜鋼纖維混凝土四點(diǎn)彎曲試驗(yàn)有限元模型，并進(jìn)行數(shù)值模擬分析.通過(guò)比較數(shù)值模擬結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)，充分驗(yàn)證了所提出本構(gòu)模型的正確性.