量子力學(xué)力學(xué)量和表象理論“五步”計(jì)算方法的研究與應(yīng)用*

伊厚會

(濰坊科技學(xué)院智能制造學(xué)院 山東 濰坊 262700)

劉慧

(濱州學(xué)院理學(xué)院 山東 濱州 256603)

量子力學(xué)是研究微觀粒子運(yùn)動規(guī)律的理論[1～3]，是我國工科類專業(yè)中一門非常重要的基礎(chǔ)課程．通過對該課程的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生掌握量子力學(xué)的基本原理和方法，加深對微觀世界中物理現(xiàn)象和微觀粒子運(yùn)動規(guī)律的理解和認(rèn)識．量子力學(xué)涉及大量的公式推導(dǎo)和數(shù)學(xué)計(jì)算，課程教學(xué)對學(xué)生的數(shù)學(xué)、物理基礎(chǔ)、邏輯思維能力與空間想象能力等都提出了極高的要求．多數(shù)教學(xué)往往只注重基礎(chǔ)理論的講解和數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)而忽略知識的應(yīng)用和物理情境的構(gòu)建，導(dǎo)致學(xué)生感到量子力學(xué)知識深奧難懂，影響了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極主動性．特別是部分先修課程學(xué)習(xí)不深入，基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，容易對量子力學(xué)這門課學(xué)產(chǎn)生恐懼心理，嚴(yán)重影響了教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果的提升．

在量子力學(xué)教學(xué)中，注重知識間的聯(lián)系、思想方法的應(yīng)用和知識網(wǎng)絡(luò)的形成是非常必要的．力學(xué)量和表象理論是量子力學(xué)的重要內(nèi)容[4，5]，文章針對這兩部分內(nèi)容，提出了“五步”計(jì)算方法．通過應(yīng)用和舉例，解決了量子力學(xué)教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn)．“五步”計(jì)算方法除有助于學(xué)生解決一系列計(jì)算問題之外，還有助于學(xué)生概念的理解、內(nèi)容的掌握和知識體系的建立．文章重點(diǎn)介紹力學(xué)量和表象理論“五步”計(jì)算方法的內(nèi)容和應(yīng)用．

1 知識基礎(chǔ)

力學(xué)量和表象理論是量子力學(xué)的重要內(nèi)容，在學(xué)習(xí)這部分知識之前學(xué)生已初步掌握了量子力學(xué)的基本內(nèi)容．它們主要有：

(1)微觀粒子的運(yùn)動狀態(tài)用波函數(shù)Ψ(r,t)完全描述；

(2)|Ψ(r,t)|2表示在t時刻在r→r+dr中找到粒子的幾率；

(3)波函數(shù)的變化滿足薛定諤方程；

(4)量子力學(xué)中的力學(xué)量用厄米算符來表示；

(5)微觀體系的狀態(tài)用厄米算符的本征態(tài)(函數(shù))表示；

(6)坐標(biāo)、動量、角動量、能量算符本征方程的求解等．

2 力學(xué)量的計(jì)算

2.1 力學(xué)量的五步方法

在量子力學(xué)中用波函數(shù)Ψ(x,t)描寫微觀體系的狀態(tài)．當(dāng)微觀體系的狀態(tài)波函數(shù)Ψ(x,t)已知時，求力學(xué)量F，則按照“找、解、展、求、算”這5個步驟進(jìn)行．具體如下.

量子力學(xué)中，對應(yīng)的動能算符為

在經(jīng)典力學(xué)中，力學(xué)量角動量L=r×p，量子力學(xué)中，對應(yīng)的角動量算符為

對于簡并情況，通常也在本征子空間中取一組正交歸一基．也可用力學(xué)量完全集算符來確定一組正交歸一基．

(4)“求”指求展開系數(shù)cn

|cn|2是力學(xué)量F的概率分布，其物理意義是力學(xué)量F的取值為λn的概率．

2.2 力學(xué)量實(shí)例

例如課本[1]例題求氫原子基態(tài)時，電子動量的概率分布．本題的條件是氫原子處于基態(tài)，即狀態(tài)波函數(shù)

已知，需要求解的力學(xué)量是動量．對應(yīng)的“找、解、展、求、算”的5個步驟分別如下所示.

(1)找動量算符

(2)解動量算符的本征方程是

-ih?φp=pφp

動量算符的本征函數(shù)

(3)狀態(tài)波函數(shù)

按照動量算符的本征函數(shù)

展開

(4)求展開系數(shù)c(p,t)

(5)計(jì)算|c(p,t)|2，即電子動量的概率分布為

同樣如果已知狀態(tài)波函數(shù)，計(jì)算L2，Lz，H等力學(xué)量，則需要找這些力學(xué)量分別對應(yīng)算符，分別按照以上步驟求解計(jì)算即可．

2.3 力學(xué)量平均值的兩步方法

由于

力學(xué)量F平均值的另一求法是利用公式

計(jì)算．在求解力學(xué)量平均值時，“找、解、展、求、算”五步可以簡化并成“找、算”兩步．

利用上式計(jì)算力學(xué)量時，步驟簡單，公式簡潔，便于學(xué)生記憶，但僅限于計(jì)算力學(xué)量的平均值．當(dāng)利用“找、解、展、求、算”五步計(jì)算力學(xué)量時，除了可以求解力學(xué)量平均值之外，還可以得到力學(xué)量的概率分布．“五步”方法雖然步驟復(fù)雜，計(jì)算繁瑣，但是有助于深刻理解量子力學(xué)中的相關(guān)概念，幫助學(xué)生建立量子力學(xué)觀念和理論框架．

3 表象理論

3.1 表象理論的五步方法

在表象理論中，則按照“找、解、展、求、寫”五步進(jìn)行，前四步和求力學(xué)量的步驟相同，第五步直接把態(tài)和力學(xué)量寫成矩陣形式即可．下面以Q表象為例，討論態(tài)和力學(xué)量的具體形式.

(5)“寫”指波函數(shù)、算符在Q表象中寫成矩陣形式，分別為

3.2 表象理論五步實(shí)例

下面分別以坐標(biāo)表象、動量表象、能量表象為例，討論態(tài)和力學(xué)量的五步計(jì)算方法．

3.2.1 坐標(biāo)表象

式中x′為坐標(biāo)算符的本征值，δ(x-x′)為屬于本征值x′的本征函數(shù)．

(3)狀態(tài)波函數(shù)按坐標(biāo)算符的本征函數(shù)δ(x-x′)展開

(4)求系數(shù)ax′(t)和算符在坐標(biāo)表象的矩陣元

算符在坐標(biāo)表象的矩陣表示是δ函數(shù)形式．在行列對應(yīng)一致的前提下，則此δ函數(shù)前面的那部分就是此算符在坐標(biāo)表象的算符表示．

(5)寫出坐標(biāo)表象中的波函數(shù)

在本征值為連續(xù)譜的情況下，由于列矩陣的行不可數(shù)，往往用矩陣元來表示列矩陣，因此，任意態(tài)Ψ(x,t)在坐標(biāo)表象的表示就是Ψ(x′,t),就是任意態(tài)Ψ(x,t)本身．若某一態(tài)波函數(shù)是以坐標(biāo)為自變量,那么它就是在坐標(biāo)表象的表示,就是某一態(tài)以坐標(biāo)本征函數(shù)展開的系數(shù)．

3.2.2 動量表象

(1)找動量算符

(2)解動量算符的本征方程

p為動量算符的本征值

為屬于本征值p的本征函數(shù)．

(3)狀態(tài)波函數(shù)按動量算符的本征函數(shù)展開

(4)求系數(shù)c(p,t)和算符在動量表象的矩陣元

與坐標(biāo)表象一樣，算符在動量表象的矩陣表示也是δ函數(shù)形式．在行列對應(yīng)一致的前提下，則此δ函數(shù)前面的那部分就是此算符在動量表象的算符表示．

(5)寫出動量表象中的波函數(shù)

Ψ(x,t)是坐標(biāo)表象中的波函數(shù), 則c(p,t)就是在動量表象中表示的波函數(shù)．

3.2.3 能量表象

(1)找一維無限深勢阱的哈密頓算符

其中

為能量的本征值

為屬于本征值En的本征函數(shù)．

(4)求展開系數(shù)cn和算符在能量表象的矩陣元

(5)寫出能量表象中的波函數(shù)

4 結(jié)論

本文總結(jié)了量子力學(xué)力學(xué)量“找、解、展、求、算”和表象理論 “找、解、展、求、算、寫”的五步計(jì)算方法．教學(xué)實(shí)踐表明，“五步”計(jì)算方法使大量該類型題目的解題思路更加清晰明了．學(xué)生也較容易掌握量子力學(xué)的內(nèi)容，建立完整的知識體系．在教學(xué)過程中注重知識間的聯(lián)系和知識網(wǎng)絡(luò)的形成是非常必要的．只有對教學(xué)內(nèi)容深刻透徹理解，才能做到游刃有余、觸類旁通．