高質(zhì)量數(shù)學(xué)課堂教學(xué)創(chuàng)新模式探究
——“思維導(dǎo)學(xué)”在平面解析幾何中的教學(xué)實(shí)踐

清華大學(xué)附屬中學(xué)永豐學(xué)校 劉洪亮 石 瑩

國(guó)內(nèi)外教學(xué)改革始終把學(xué)生發(fā)展置于中心地位，旨在建構(gòu)以學(xué)習(xí)中心的課堂，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)力，提升學(xué)習(xí)效果，促進(jìn)每一個(gè)學(xué)生的健康全面成長(zhǎng)?！蛾P(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見》要求落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，強(qiáng)化學(xué)校教育主陣地作用，切實(shí)提升學(xué)校育人水平，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展、健康成長(zhǎng)。教育部門要指導(dǎo)學(xué)校健全教學(xué)管理規(guī)程，研究高質(zhì)量課堂教學(xué)模式，實(shí)現(xiàn)“減負(fù)”，優(yōu)化教學(xué)方式，提高課堂教學(xué)效益。

一、選題緣由

“思維導(dǎo)學(xué)”課堂變革實(shí)踐研究目的指向減負(fù)提質(zhì)，強(qiáng)調(diào)以學(xué)習(xí)為中心的教學(xué)創(chuàng)造，根據(jù)思維形成、發(fā)展規(guī)律，以“以學(xué)為本”為基本原則，以自主、合作、探究為基本途徑，以目標(biāo)導(dǎo)航、路徑導(dǎo)引、問題導(dǎo)向?yàn)楹诵囊?，以整體學(xué)習(xí)、關(guān)聯(lián)學(xué)習(xí)、創(chuàng)造學(xué)習(xí)、對(duì)話學(xué)習(xí)、選擇學(xué)習(xí)為主要方式，是一種促進(jìn)學(xué)生思維力、學(xué)習(xí)力全面提升的課堂教學(xué)方式，注重學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

我校地處北京市海淀區(qū)北部城鄉(xiāng)接合處，多數(shù)學(xué)生存在偏科情況，往往瘸腿科目是數(shù)學(xué)。很多學(xué)生思維活躍，但過于發(fā)散，不愿動(dòng)手，容易滿足于一知半解，普遍現(xiàn)象是學(xué)生“不想學(xué)”“不會(huì)學(xué)”、“不愛學(xué)”，數(shù)學(xué)教師普遍反映課堂創(chuàng)新思維的培養(yǎng)、知識(shí)邏輯的建立、知識(shí)遷移和應(yīng)用能力的培養(yǎng)難以落地。

針對(duì)以上情況，為提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量，對(duì)“思維導(dǎo)學(xué)”教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐探究：為解決學(xué)生“不想學(xué)”以及數(shù)學(xué)課堂創(chuàng)新思維力培養(yǎng)難以落地的實(shí)際，探究創(chuàng)造學(xué)習(xí)在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的有效策略；為解決“不會(huì)學(xué)”以及數(shù)學(xué)課堂知識(shí)邏輯混亂的實(shí)際，探究整體學(xué)習(xí)在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的有效策略；為解決學(xué)生“不愛學(xué)”以及知識(shí)遷移和應(yīng)用能力培養(yǎng)難以落地的實(shí)際，探究關(guān)聯(lián)學(xué)習(xí)在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的有效策略。以整體學(xué)習(xí)、關(guān)聯(lián)學(xué)習(xí)、創(chuàng)造學(xué)習(xí)三種方式創(chuàng)新課堂教學(xué)模式，激發(fā)學(xué)生潛能，教師退隱為“導(dǎo)演”，把活躍在舞臺(tái)上的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生去創(chuàng)造，去真正的學(xué)習(xí)，明白學(xué)習(xí)的意義和價(jià)值。

二、三個(gè)核心要素

下面以“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”為例，闡述“思維導(dǎo)學(xué)”教學(xué)模式的三個(gè)核心要素：目標(biāo)導(dǎo)航、路徑導(dǎo)引、問題導(dǎo)學(xué)。

（一）三層目標(biāo)，學(xué)習(xí)的“指南針”

每一課時(shí)結(jié)合新課程標(biāo)準(zhǔn)的素養(yǎng)水平劃分和布盧姆目標(biāo)分類學(xué)，設(shè)計(jì)三層學(xué)習(xí)目標(biāo)，每個(gè)目標(biāo)具體、明確、可測(cè)，有明顯梯度。采用激勵(lì)性的肯定句“我能，我會(huì)”，采用導(dǎo)向性明確的“說出、求解、證明”等行為動(dòng)詞，讓學(xué)生明確哪些目標(biāo)可以通過自主學(xué)習(xí)完成、哪些目標(biāo)需要合作學(xué)習(xí)完成、哪些目標(biāo)需要在教師指導(dǎo)下通過探究學(xué)習(xí)完成。

“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”三層學(xué)習(xí)目標(biāo)如下：

表1 “橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”三層學(xué)習(xí)目標(biāo)

（二）實(shí)現(xiàn)路徑，清晰的“學(xué)習(xí)地圖”

“實(shí)現(xiàn)路徑”對(duì)學(xué)習(xí)目標(biāo)的達(dá)成非常重要，為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供了路徑指引，指引學(xué)生按圖索驥達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)，可以形象地稱為“學(xué)習(xí)地圖”（見表2）。

表2 學(xué)習(xí)地圖

（三）關(guān)鍵問題，主動(dòng)探索的“發(fā)動(dòng)機(jī)”

問題是思維的起點(diǎn)，是學(xué)生主動(dòng)探索的動(dòng)力。關(guān)鍵問題要與目標(biāo)對(duì)應(yīng)，引導(dǎo)學(xué)生逐步深入研究，將自主合作探究落到實(shí)處；例題練習(xí)設(shè)計(jì)與目標(biāo)逐一對(duì)應(yīng)，克服課堂訓(xùn)練和課后作業(yè)的隨意性、盲目性，并最終達(dá)到讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的目標(biāo)。

課前思考：(1)圓的定義是什么？圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式怎樣？如何推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？

關(guān)鍵問題：?jiǎn)栴}1.從剛才的活動(dòng)探究中你得到了什么結(jié)論？能否用文字語(yǔ)言表述？(基礎(chǔ)性目標(biāo)1)

(哪些在變，哪些不變？你能類比圓的定義給出橢圓的定義嗎？)

問題2.在定義中定長(zhǎng)有無限制條件？

問題3.如何求解橢圓的方程？(拓展性目標(biāo)1)

(怎樣才能將幾何條件解析化？)

問題4.給出方程后如何化簡(jiǎn)？(拓展性目標(biāo)2)

(有沒有簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)方法？類比圓的方程，能否把方程變得更簡(jiǎn)潔？)

問題5.化簡(jiǎn)方程以后又能發(fā)現(xiàn)什么特點(diǎn)？你是否明白了方程里面每一個(gè)字母的含義？(基礎(chǔ)性目標(biāo)2)

例1.判斷下列動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是否為橢圓。(基礎(chǔ)性目標(biāo)1)

(1)到F1(-1，0)，F(xiàn)2(1，0)的 距離之和為4的點(diǎn)M的軌跡；

(2)到F1(-1，0)，F(xiàn)2(1，0)的 距離之和為2的點(diǎn)M的軌跡；

(3)到F1(-1，0)，F(xiàn)2(1，0)的 距離之和為1的點(diǎn)M的軌跡。

例2.判斷下列方程是否為橢圓，若是，請(qǐng)說出橢圓的焦點(diǎn)在什么軸上，并說出焦點(diǎn)坐標(biāo)、焦距。(基礎(chǔ)性目標(biāo)2)

例3.求適合下列條件的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。(拓展性目標(biāo)3)

(1)兩 焦 點(diǎn) 坐 標(biāo) 為F1(-1，0)、F2(1，0)，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離之和為4；

(2)兩 焦 點(diǎn) 坐 標(biāo) 為F1(0，-1)、F2(0，1)，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離之和為4；

(3)兩 焦 點(diǎn) 坐 標(biāo) 為F1(0，-1)、F2(0，1)，并且經(jīng)過點(diǎn)P(2，0)。

備用問題：

問題6.根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和軌跡，你能說出橢圓的幾何特征嗎？(挑戰(zhàn)性目標(biāo)1)

問題7.橢圓上的點(diǎn)P到左右焦點(diǎn)的距離與什么變量有關(guān)？(挑戰(zhàn)性目標(biāo)2)

三、三種學(xué)習(xí)方式

下面以“圓錐曲線與方程”單元起始課、“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”“圓錐曲線與方程”單元復(fù)習(xí)課為例，闡述思維導(dǎo)學(xué)教學(xué)模式的三種學(xué)習(xí)方式：創(chuàng)造學(xué)習(xí)、整體學(xué)習(xí)、關(guān)聯(lián)學(xué)習(xí)。

（一）創(chuàng)造學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力

創(chuàng)造學(xué)習(xí)包括基于知識(shí)“發(fā)現(xiàn)”、改題編題、學(xué)科思想等方式，把學(xué)習(xí)過程變成創(chuàng)造過程。創(chuàng)造學(xué)習(xí)可以實(shí)現(xiàn)課堂上的“以少勝多”，真正實(shí)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的權(quán)利，有利于學(xué)生打開思維，創(chuàng)造屬于自己的認(rèn)知，增強(qiáng)對(duì)學(xué)科思想的感知和理解，進(jìn)而提高學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。

“圓錐曲線與方程”單元復(fù)習(xí)課設(shè)計(jì)主要內(nèi)容如下：

關(guān)鍵問題：

若再加進(jìn)來一條直線1，直線1放哪兒？我們可以研究哪些數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？再加入一個(gè)點(diǎn)呢？

圖1

圖2

逆向思維、整體構(gòu)建，引導(dǎo)學(xué)生從方程思想、軌跡方程兩個(gè)角度去構(gòu)造，有利于學(xué)生主動(dòng)提取橢圓的幾何性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，整體認(rèn)識(shí)橢圓的定義、方程、性質(zhì)。學(xué)生自己加入直線，有利于整體把握直線在特殊位置時(shí)的問題情境，情境為幾何問題，解決方法為代數(shù)方法，不斷體會(huì)解析幾何中用代數(shù)方法解決幾何問題的本質(zhì)，從命題者角度理解直線和橢圓的位置關(guān)系可以研究的相關(guān)問題，整體認(rèn)識(shí)直線和橢圓。

（二）整體學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生系統(tǒng)思維能力

整體學(xué)習(xí)包括基于知識(shí)單元（章節(jié)）、概念體系、現(xiàn)象理解的三種方式。章節(jié)起始課應(yīng)建立單元(章節(jié)、模塊)知識(shí)的框架，引導(dǎo)學(xué)生了解概念演變?yōu)楦拍铙w系的思路，從全方位認(rèn)識(shí)事物發(fā)展的規(guī)律入手，引導(dǎo)學(xué)生把有關(guān)的零碎知識(shí)構(gòu)建成一個(gè)相對(duì)完整的“知識(shí)樹”，把零散的知識(shí)結(jié)構(gòu)化，培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)思維。

“圓錐曲線與方程”單元起始課設(shè)計(jì)主要內(nèi)容如下。

課堂活動(dòng)：

1.把細(xì)繩的兩端都固定在圖板的同一點(diǎn)處；套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，這時(shí)筆尖（動(dòng)點(diǎn)）畫出的軌跡是什么？

2.如果把細(xì)繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點(diǎn)處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，畫出的軌跡是什么？

3.取一條拉鏈，打開它的一部分，在一邊減掉一段，然后把兩頭分別固定在兩點(diǎn)處，隨著拉鏈逐漸拉開或者閉攏，拉鏈頭所經(jīng)過的點(diǎn)畫出的軌跡是什么？

課堂活動(dòng)2：請(qǐng)快速閱讀課本完成知識(shí)清單的梳理：橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程。

關(guān)鍵問題：

問題1.為什么這些曲線叫作圓錐曲線？

用一個(gè)平面去截一個(gè)圓錐面，當(dāng)平面與圓錐面所成的角不同時(shí)，截線存在什么情況？

問題2.幾何為什么要代數(shù)化？幾何如何代數(shù)化？圓的標(biāo)準(zhǔn)方程如何求解？你能總結(jié)求解方程的步驟嗎？

問題3.如何理解曲線的方程和方程的曲線？

（三）關(guān)聯(lián)學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的綜合思維能力

關(guān)聯(lián)學(xué)習(xí)包括基于概念間、學(xué)科間以及知識(shí)與社會(huì)、生活、科技之間關(guān)系的學(xué)習(xí)方式。這種學(xué)習(xí)方式有利于幫助學(xué)生建立同學(xué)科乃至不同學(xué)科概念之間以及知識(shí)與社會(huì)、生活、科技之間的關(guān)系，進(jìn)一步提升對(duì)學(xué)習(xí)意義和價(jià)值的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題的綜合思維能力。

“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”關(guān)聯(lián)學(xué)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)主要內(nèi)容如下。

課前思考：

1.二次函數(shù)的圖象是什么樣子？

2.已知直線l：y=-1，點(diǎn)F(0，1)，動(dòng)點(diǎn)M(x，y)到F的距離與它到直線l的距離相等，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，你知道它是什么軌跡嗎？(關(guān)聯(lián)二次函數(shù))

關(guān)鍵問題：

問題1.二次函數(shù)的圖象是拋物線，你知道它是滿足什么條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡嗎？

問題2.如果，滿足條件的點(diǎn)的軌跡是拋物線嗎？

問題3.求解軌跡方程的步驟是什么？請(qǐng)你根據(jù)拋物線的定義推導(dǎo)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。例1：如下圖，一拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂?shù)剿娴木嚯x為2m時(shí)，水面寬度為4m，那么水位下降1m后，求水面的寬度。(關(guān)聯(lián)生活)

四、感悟與思考

“雙減”政策的出臺(tái)，需要每一位從事教育工作的教師參與其中，創(chuàng)新課堂教學(xué)模式，實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量課堂教學(xué)?！八季S導(dǎo)學(xué)”優(yōu)勢(shì)之一，為有利于提升學(xué)生的學(xué)習(xí)力。以學(xué)生全面發(fā)展為中心，設(shè)計(jì)三層學(xué)習(xí)目標(biāo)、實(shí)現(xiàn)路徑、關(guān)鍵問題，引導(dǎo)學(xué)生逐步深入自主、合作探究。三層學(xué)習(xí)目標(biāo)引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立探究學(xué)習(xí)，拉齊基礎(chǔ)、了解重點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)路徑指引學(xué)生“按圖索驥”，關(guān)鍵問題和例題練習(xí)與學(xué)習(xí)目標(biāo)相對(duì)應(yīng)，學(xué)生對(duì)照目標(biāo)檢測(cè)目標(biāo)達(dá)成度，有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力，提高學(xué)習(xí)成就感，以成就感提升學(xué)習(xí)力?！八季S導(dǎo)學(xué)”優(yōu)勢(shì)之二，為有利于提升學(xué)生的思維力。以發(fā)展學(xué)生思維為目的，通過創(chuàng)造學(xué)習(xí)、整體學(xué)習(xí)、關(guān)聯(lián)學(xué)習(xí)三種學(xué)習(xí)方式創(chuàng)新課堂教學(xué)模式，解決學(xué)生“不想學(xué)”、“不會(huì)學(xué)”“不愛學(xué)”的問題，激活學(xué)生創(chuàng)造力，激發(fā)學(xué)生潛能，打開學(xué)生思維，課堂上實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新思維的培養(yǎng)、知識(shí)邏輯的建立、知識(shí)遷移和應(yīng)用能力的培養(yǎng)，從而全面提升思維力。