基于廣義延拓逼近法的QZSS 衛(wèi)星鐘差內(nèi)插精度分析

寇瑞雄，楊樹文

(1.蘭州交通大學(xué) 測繪與地理信息學(xué)院,蘭州 730070；2.地理國情監(jiān)測技術(shù)應(yīng)用國家地方聯(lián)合工程研究中心,蘭州 730070；3.甘肅省地理國情監(jiān)測工程實(shí)驗(yàn)室,蘭州 730070；4.蘭州交通大學(xué) 交通運(yùn)輸學(xué)院,蘭州 730070)

0 引言

隨著衛(wèi)星導(dǎo)航技術(shù)的發(fā)展，全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(GNSS)已經(jīng)向全球提供定位、導(dǎo)航和授時(shí)(PNT)服務(wù)，區(qū)域?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)也在建設(shè)中，如日本的準(zhǔn)天頂衛(wèi)星系統(tǒng)(QZSS)和印度的區(qū)域?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(IRNSS).QZSS 系統(tǒng)是由日本宇宙航空研發(fā)機(jī)構(gòu)主導(dǎo)建設(shè)的一個(gè)GPS 增強(qiáng)系統(tǒng)，將于2023 年建成空間部分，由7 顆衛(wèi)星組成并能夠獨(dú)立運(yùn)行的區(qū)域?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)[1-2].QZSS 衛(wèi)星的覆蓋范圍包括亞洲東部、太平洋西部和大洋洲等區(qū)域.多系統(tǒng)融合定位是GNSS 定位發(fā)展的重要方向，已有學(xué)者將QZSS 與GPS、北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(BDS)分別結(jié)合，驗(yàn)證了多種融合方式下QZSS在亞太地區(qū)的導(dǎo)航定位精度.結(jié)果表明：區(qū)域衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)能提高該地區(qū)的GPS 導(dǎo)航定位精度，對BDS在中國境內(nèi)的定位精度也有所提升[3-4].

根據(jù)衛(wèi)星導(dǎo)航定位原理，導(dǎo)航衛(wèi)星搭載的原子鐘性能在PNT 服務(wù)中起著關(guān)鍵作用，但衛(wèi)星原子鐘提供的時(shí)間與標(biāo)準(zhǔn)時(shí)存在差值，且該值隨著時(shí)間變化而變化.如1 ns 的衛(wèi)星時(shí)鐘誤差能引起約0.3 m 的距離測量誤差，所以在衛(wèi)星數(shù)據(jù)處理中鐘差的精度極為重要.在進(jìn)行衛(wèi)星定位時(shí)，接收機(jī)的采樣率一般為30 s和15 s，在高頻采樣時(shí)采樣率甚至能達(dá)到1 s，但一般發(fā)布的衛(wèi)星鐘差采樣間隔為5 min，所以對鐘差數(shù)據(jù)加密才能滿足各種測量需求.

目前針對導(dǎo)航衛(wèi)星鐘差加密較為常用的方法有Lagrange 插值法和切比雪夫多項(xiàng)式擬合法等，如文獻(xiàn)[5]使用Lagrange 插值法加密GPS 衛(wèi)星鐘差，文獻(xiàn)[6]利用切比雪夫多項(xiàng)式擬合GPS 衛(wèi)星鐘差和坐標(biāo)，實(shí)現(xiàn)對GPS 衛(wèi)星鐘差和坐標(biāo)加密.雖然上述兩種方法在GNSS 數(shù)據(jù)加密中應(yīng)用比較廣泛，結(jié)果也能達(dá)到較高精度.但是，Lagrange 插值法隨著插值階數(shù)增加會產(chǎn)生“龍格現(xiàn)象”，切比雪夫多項(xiàng)式擬合法在擬合結(jié)果中可能會丟失部分已知數(shù)據(jù)的問題.

廣義延拓逼近法是將時(shí)序數(shù)據(jù)按一定時(shí)間間隔分為若干個(gè)獨(dú)立的單元域，再用單元域兩邊的節(jié)點(diǎn)信息將單元域拓展為延拓域.在每一個(gè)延拓域內(nèi)擬合，在單元域內(nèi)插值，得到能同時(shí)滿足兩個(gè)條件的逼近函數(shù)，這樣既使逼近函數(shù)在每個(gè)延拓域內(nèi)最佳擬合，又在相鄰單元域間有良好的協(xié)調(diào)性，把插值法和擬合法有機(jī)地結(jié)合在一起，很好地解決了以上問題[7].廣義延拓逼近法在GPS 和BDS 鐘差數(shù)據(jù)處理中具有良好效果[8-9]，但不同系統(tǒng)不同類型的衛(wèi)星鐘差適應(yīng)的插值擬合方法的參數(shù)取值不完全一致.因此，本文嘗試使用利用廣義延拓逼近法對QZSS 鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行插值處理并分析結(jié)果精度.

1 衛(wèi)星鐘差加密方法

1.1 Lagrange 插值法

Lagrange 插值法是數(shù)據(jù)處理中較為常用的插值方法，該方法是在QZSS 衛(wèi)星鐘差n+1 個(gè)插值點(diǎn)x0,x1,···,xn處存在插值多項(xiàng)式Ln(x)，使得：

因此，需構(gòu)造一個(gè)n次插值多項(xiàng)式

最后得出拉格朗日多項(xiàng)式參數(shù)，計(jì)算擬合區(qū)間內(nèi)多需時(shí)刻的QZSS 衛(wèi)星鐘差.

1.2 切比雪夫擬合法

切比雪夫擬合法已在GPS 和GLONASS 等衛(wèi)星坐標(biāo)擬合中應(yīng)用[10-11].在 [t0,t0+Δt] 時(shí)間間隔內(nèi)使用n階切比雪夫擬合法對QZSS 衛(wèi)星鐘差進(jìn)行擬合時(shí)，首先將t∈[t0,t0+Δt] 處理成 τ∈[-1,1] 的形式，即：

式中：t0為初始時(shí)刻；Δt為擬合區(qū)間長度.因而QZSS衛(wèi)星鐘差E可表示為

式中：n為切比雪夫多項(xiàng)式階數(shù)；Ci為多項(xiàng)式系數(shù)；Ti(τ)用下式遞推得到，即：

通過求解切比雪夫多項(xiàng)式系數(shù)C=(TTT)-1TTE，最后計(jì)算擬合區(qū)間內(nèi)任意時(shí)刻的衛(wèi)星鐘差.

1.3 廣義延拓逼近法

我國學(xué)者施滸立基于插值法和擬合法的優(yōu)點(diǎn)提出了廣義延拓逼近法[7]，該方法的數(shù)學(xué)模型如下.

已給函數(shù)u:Rn→R，在區(qū)域Ω上的數(shù)據(jù){(uj,xj)|uj=u(xj),xj∈Ω,j=1,2,···,n}，若在Ω區(qū)域構(gòu)造u函數(shù)的近似函數(shù)U:Ω→R滿足U(xj)=uj(j=1,2,···,n).使用分段逼近的思想，將 Ω 區(qū)域分為獨(dú)立的含r個(gè)節(jié)點(diǎn)的m個(gè)單元域Ωe(e=1,2,···,m) ；接著把單元域 Ωe延拓到含有s個(gè)節(jié)點(diǎn)的延拓域 Ωe′，且滿足r＜s.利用包含節(jié)點(diǎn)信息較多的延拓域 Ωe′節(jié)點(diǎn)，構(gòu)造出 Ωe內(nèi)逼近函數(shù)

式中：t為逼近函數(shù)項(xiàng)數(shù)；aj為所求系數(shù)；gj為上的基函數(shù).基于延拓域上的節(jié)點(diǎn)信息，對Ue(x) 實(shí)行最佳平方逼近，如式(2)所示：

同時(shí)，Ue(x) 亦需滿足 Ωe上的插值條件：

整合式(7)～(9)為

根據(jù)式(10)解出待求參數(shù)aj，確定單元域 Ωe上的插值函數(shù).按照此過程處理其他單元域，最后得到全區(qū)域的逼近函數(shù).

上述三種方法的描述均為非滑動式的計(jì)算過程，為了提高插值或擬合精度，在原有非滑動式基礎(chǔ)上不斷變化插值或擬合區(qū)間，使待插值點(diǎn)一直保持在給定插值區(qū)間的中間區(qū)域，以此來減小插值誤差[12].本文在以下數(shù)據(jù)處理過程中，為了提高結(jié)果精度均使用滑動式的三種方法，即滑動式Lagrange 插值法、滑動式切比雪夫擬合法和滑動式廣義延拓逼近法，鑒于表達(dá)繁瑣，不再重復(fù)提滑動式.

2 算例分析

目前對GPS 和BDS 等衛(wèi)星鐘差的插值方法研究很多，但對QZSS 衛(wèi)星鐘差的研究較少.本文使用7 天的QZSS 所有衛(wèi)星的鐘差數(shù)據(jù)，分別利用Lagrange插值法、切比雪夫擬合法和廣義延拓逼近法將歷元間隔5 min 的QZSS 鐘差數(shù)據(jù)加密到30 s，并用30 s歷元間隔的精密鐘差作為真值進(jìn)行比較，采用最大絕對誤差(Max)、算數(shù)平均值(Mean)和均方差(Std)為評價(jià)指標(biāo)，首先討論同一衛(wèi)星不同方法的參數(shù)或參數(shù)組合的最優(yōu)取值，再對比不同衛(wèi)星最優(yōu)參數(shù)取值，最終實(shí)現(xiàn)對QZSS 鐘差的高精度插值處理.

2.1 不同方法最優(yōu)參數(shù)

在4 顆QZSS 衛(wèi)星中隨機(jī)抽取1 顆衛(wèi)星的鐘差數(shù)據(jù)，分別使用Lagrange 插值法、切比雪夫擬合法和廣義延拓逼近法進(jìn)行加密處理.通過統(tǒng)計(jì)7 天鐘差數(shù)據(jù)的誤差得到表1～3 的結(jié)果，分析表1 可得Lagrange插值法的插值誤差隨著插值階數(shù)增大出現(xiàn)先減小后增大的情況，在13 階時(shí)Mean 和Std 均達(dá)到最小，分別為0.013 6 ns 和0.061 6 ns；表2 為切比雪夫擬合法擬合精度隨擬合階數(shù)的變化情況，16～19 階擬合Mean 均為0.01 ns，19 階的Max 為2.035 ns，Std 是0.052 ns，擬合效果達(dá)到最好；表3 是廣義延拓逼近法參數(shù)取值不同組合下的誤差變化情況，擬合精度隨著r、t、s參數(shù)組合變化而變化，根據(jù)實(shí)驗(yàn)精度和效率，r、t、s最大分別取到5、11、12，參數(shù)組合共660 種可能.當(dāng)r、t、s分別取3、9、11 時(shí)，在所有參數(shù)組合中的Std 最小，Max 也僅為0.702 876 ns.

表1 Lagrange 插值法誤差統(tǒng)計(jì) ns

表2 切比雪夫擬合法誤差統(tǒng)計(jì) ns

表3 廣義延拓逼近法誤差統(tǒng)計(jì) ns

綜合分析表1～3 可得：1)三種方法在取到其最優(yōu)參數(shù)(組)時(shí)，廣義延拓逼近法的精度均高于其他兩種方法；2)Lagrange 插值法和切比雪夫擬合法的處理精度隨著擬合階數(shù)變化而變化較大，而廣義延拓逼近法參數(shù)組小范圍變化時(shí)，誤差變化幅度不大，一般不會產(chǎn)生突變，說明廣義延拓逼近法在QZSS 鐘差數(shù)據(jù)加密中較為穩(wěn)定；3)廣義延拓逼近法r取值較小且t和s取值較為接近時(shí)誤差較小.

2.2 不同衛(wèi)星的參數(shù)取值對比

為確定不同衛(wèi)星不同方法最優(yōu)參數(shù)(組)的取值，同時(shí)為了探究三種方法在所有衛(wèi)星鐘差的普適性，本文選取了QZSS 所有衛(wèi)星的7 天的鐘差數(shù)據(jù)，分別利用Lagrange 插值法、切比雪夫擬合法和廣義延拓逼近法進(jìn)行加密處理，選出如表4 所示的所有衛(wèi)星不同方法的最優(yōu)參數(shù)(組)取值.比較三種方法的加密結(jié)果的精度，其Max、Mean 和Std 結(jié)果如圖1～3 所示.

表4 三種方法參數(shù)(組)最優(yōu)取值

由表4 可知，不同衛(wèi)星同一方法最優(yōu)參數(shù)(組)取值不完全一樣，如Lagrange 插值法最優(yōu)擬合階數(shù)在9～13 變化，切比雪夫擬合法最優(yōu)階數(shù)約在18，廣義延拓逼近法的大部分衛(wèi)星r取2、t取7 或9、s取11 和12，說明不同衛(wèi)星擬合或插值效果達(dá)到最好時(shí)所取參數(shù)(組)不同.

圖1 中，所有衛(wèi)星的Lagrange 插值法的Max 大于3 ns、切比雪夫擬合法的均大于2 ns，廣義延拓逼近法的Max 都小于0.7 ns，整體上廣義延拓逼近法明顯優(yōu)于其他兩種方法.圖2 中Lagrange 插值法和切比雪夫擬合法的Mean 均大于0.004 ns，廣義延拓逼近法的Mean 最小為0.003 ns，QZSS-1 衛(wèi)星的誤差大于其他三個(gè)星的誤差.圖3 是三種方法最優(yōu)參數(shù)下的Std 對比圖，廣義延拓逼近法的Std 均小于0.02 ns，其他兩種方法的Std 均大于0.05 ns.總之，針對不同衛(wèi)星的鐘差加密，上述三種方法中廣義延拓逼近法的效果最好最穩(wěn)定.

圖1 三種方法最優(yōu)參數(shù)下的Max 對比

圖2 三種方法最優(yōu)參數(shù)下的Mean 對比

圖3 三種方法最優(yōu)參數(shù)下的Std 對比

2.3 參數(shù)組最優(yōu)取值的應(yīng)用

為了進(jìn)一步驗(yàn)證廣義延拓逼近法不同衛(wèi)星參數(shù)組最優(yōu)取值的實(shí)用性，隨機(jī)挑選3 天(2021-05-31、2022-02-28 和2022-03-07)的QZSS 鐘差數(shù)據(jù).統(tǒng)計(jì)4 顆衛(wèi)星在各自參數(shù)組最優(yōu)取值時(shí)的擬合誤差，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表5 所示.

表5 參數(shù)組最優(yōu)取值應(yīng)用驗(yàn)證 ns

由表5 可知，當(dāng)QZSS 4 顆衛(wèi)星參數(shù)組取值最優(yōu)時(shí)，3 天內(nèi)4 顆星的擬合最大Max 均小于0.5 ns，Mean最大為0.005 097 ns，Std 均不大于0.03 ns，能夠滿足QZSS 衛(wèi)星鐘差加密需求.

3 結(jié)論

本文利用Lagrange 插值法、切比雪夫擬合法和廣義延拓逼近法三種方法的滑動式模式，對7 天QZSS所有衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行加密處理，通過對比分析不同參數(shù)(組)的所有衛(wèi)星的誤差，得到以下結(jié)論：

1)三種方法對QZSS 衛(wèi)星鐘差加密過程中的誤差隨參數(shù)(組)取值的變化而變化.

2) QZSS 不同衛(wèi)星廣義延拓逼近法r、t、s的最優(yōu)取值不完全一致，當(dāng)r、t、s取最優(yōu)組合時(shí)，所有衛(wèi)星的Mean 均小于0.01 ns，Std 也都小于0.02 ns，完全滿足精度要求.

3)所有衛(wèi)星的誤差統(tǒng)計(jì)顯示，Lagrange 插值法插值誤差最大，切比雪夫擬合法次之，廣義延拓逼近法誤差最小且穩(wěn)定，明顯優(yōu)于前面兩個(gè)方法，完全適合QZSS 衛(wèi)星鐘差高精度加密處理.