利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的最值問(wèn)題

北京市陳經(jīng)綸中學(xué) 陳 旭

一、教學(xué)背景

（一）課程標(biāo)準(zhǔn)要求

《義務(wù)教育普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版2020年修訂）》指出：高中生數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本，落實(shí)“立德樹(shù)人”根本任務(wù)，培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。高中數(shù)學(xué)課程面向全體學(xué)生，實(shí)現(xiàn)：人人都獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。高中生數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)。提倡獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使其養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展。

（二）教學(xué)內(nèi)容分析

函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的最基本的概念，是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具。在高中階段，函數(shù)不僅貫穿高中數(shù)學(xué)課程的始終，而且是學(xué)習(xí)方程、不等式、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容的工具與基礎(chǔ)。

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值和最值，也是解決優(yōu)化問(wèn)題的一種通法。教材中給出了對(duì)具體函數(shù)單調(diào)性的求解范例，對(duì)含參函數(shù)的論述較少（教科書(shū)第104頁(yè)練習(xí)題19題）。通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)學(xué)生可以進(jìn)一步理解掌握利用導(dǎo)數(shù)研究含有參數(shù)的函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)最值的確定。因?yàn)閰?shù)的出現(xiàn)使得很多確定的因素變成了不確定，解決問(wèn)題時(shí)往往需要分類討論，明確分類的依據(jù)、分類點(diǎn)的確定、討論順序的清晰等對(duì)學(xué)生思維提出了較高的要求，同時(shí)問(wèn)題的解決也使學(xué)生思維能力得到充分的鍛煉和提升，同時(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等學(xué)科素養(yǎng)得以提升。

（三）學(xué)習(xí)任務(wù)分析（見(jiàn)圖1）

圖1 學(xué)習(xí)任務(wù)分析

（四）具體學(xué)情分析

在必修第一冊(cè)中，教科書(shū)給出了函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)最值的定義，并運(yùn)用定義研究了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的單調(diào)性和最值，學(xué)生對(duì)函數(shù)的單調(diào)性和最值有一定的了解。

在這節(jié)課之前，學(xué)生也能借助導(dǎo)數(shù)研究確定函數(shù)，并能確定函數(shù)在定區(qū)間上的最值，對(duì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)已有初步的認(rèn)識(shí)和嘗試。對(duì)于含參函數(shù)的研究，在前面單調(diào)性的研究中，學(xué)生有過(guò)接觸，因?yàn)閰?shù)的不確定性必然會(huì)帶來(lái)分類討論，分類討論需要清晰有序的思維，對(duì)學(xué)生能力要求較高，學(xué)生有一定的基礎(chǔ)，但還不夠嫻熟，對(duì)分類的點(diǎn)和清晰有序的描述還存在很大困難。

樹(shù)立函數(shù)思想、構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值、利用函數(shù)最值解決問(wèn)題也是在本節(jié)課的問(wèn)題解決中學(xué)生突破難點(diǎn)需要學(xué)習(xí)和積累的重要的思想和方法。

二、教學(xué)目標(biāo)

（一）教學(xué)目標(biāo)

1.利用導(dǎo)數(shù)研究含參的函數(shù)單調(diào)性，并能確定函數(shù)在定區(qū)間上的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究確定函數(shù)在動(dòng)區(qū)間上的最值。能根據(jù)問(wèn)題情境恰當(dāng)?shù)亟⒑瘮?shù)關(guān)系，并利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，充分體會(huì)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用。

2.通過(guò)對(duì)參數(shù)的討論，進(jìn)一步明確分類的依據(jù)、討論的順序，體會(huì)分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，在問(wèn)題解決中感受邏輯推理的有序性、嚴(yán)謹(jǐn)性，從而發(fā)展提升思維能力。

3.通過(guò)自主探究、小組合作、全班交流的形式，逐步解決問(wèn)題，樹(shù)立學(xué)生團(tuán)隊(duì)協(xié)作意識(shí)，提升學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力，在相互交流合作中，解決問(wèn)題，激發(fā)思維，提升能力，發(fā)展素養(yǎng)。

（二）教學(xué)重難點(diǎn)及教學(xué)策略

1.重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的性質(zhì)從而確定函數(shù)的最值。

教學(xué)策略： 函數(shù)的最值往往根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和定義域區(qū)間決定，本節(jié)課精選兩道例題——含參函數(shù)在定區(qū)間上的最值、確定函數(shù)在動(dòng)區(qū)間上的最值，從兩個(gè)不同角度讓學(xué)生通過(guò)對(duì)參數(shù)的討論理解函數(shù)最值確定的本質(zhì)，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的方法。

2.難點(diǎn)：對(duì)含參問(wèn)題的分類討論，以及構(gòu)造函數(shù)解決問(wèn)題的思想方法。

教學(xué)策略： 通過(guò)自主思考、小組合作、全班討論的方式不斷突破難點(diǎn)，最終讓學(xué)生明確決定函數(shù)最值的因素、導(dǎo)數(shù)的作用、分類討論中分類的依據(jù)、討論點(diǎn)的確定、討論順序的清晰，突破難點(diǎn)，鍛煉思維，提升素養(yǎng)。

三、教學(xué)評(píng)價(jià)

（一）核心知識(shí)評(píng)價(jià)

能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)和變化規(guī)律，理解函數(shù)的極值和最值，會(huì)求閉區(qū)間上的函數(shù)的最值。

（二）思想方法評(píng)價(jià)

能根據(jù)具體問(wèn)題的背景構(gòu)造函數(shù)，能將問(wèn)題恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，確定函數(shù)的最值解決問(wèn)題；在用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)(特別是含參函數(shù))的性質(zhì)過(guò)程中，能正確進(jìn)行分類討論解決問(wèn)題。

（三）關(guān)鍵能力評(píng)價(jià)

能利用導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)單調(diào)性、極值、最值等性質(zhì)進(jìn)行分析、判斷或求解；能準(zhǔn)確使用導(dǎo)數(shù)有關(guān)術(shù)語(yǔ)和數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)，解決與函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題。

（四)課堂表現(xiàn)評(píng)價(jià)

表1 課堂表現(xiàn)評(píng)價(jià)

四、教學(xué)過(guò)程安排

表2 教學(xué)過(guò)程

(續(xù)表2）

(續(xù)表2）

五、教學(xué)反思

（一）精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考和探究，理解知識(shí)本質(zhì)，突破問(wèn)題難點(diǎn)

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)最有力的工具，我們常常利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而確定函數(shù)的極值、最值，進(jìn)一步解決更多的問(wèn)題。參數(shù)的出現(xiàn)使許多因素變成不確定，而只有對(duì)問(wèn)題本質(zhì)真正理解才能讓我們知道每一步需要什么，字母參數(shù)可能取什么值，在不同取值情況下結(jié)果如何……含參函數(shù)問(wèn)題的討論一向是許多學(xué)生發(fā)怵的地方：為什么討論？在哪兒討論？怎么討論？本節(jié)課精心設(shè)計(jì)了兩個(gè)問(wèn)題：一個(gè)是確定含參函數(shù)在定區(qū)間上最值問(wèn)題，一個(gè)是確定確定函數(shù)在動(dòng)區(qū)間上的最值問(wèn)題。兩個(gè)問(wèn)題的解決的共同點(diǎn)就是：主體思路都是通過(guò)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)極值和定義域區(qū)間端點(diǎn)值大小的比較確定函數(shù)的最值。不同點(diǎn)則是：第一個(gè)問(wèn)題由于函數(shù)含參，導(dǎo)函數(shù)也是不確定的，導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)也是不確定的，導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的大小也是不確定的，函數(shù)在定義域區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值也是不確定的，不確定就要討論，所以此題更凸顯分類討論思想發(fā)法的本質(zhì)，意在幫助學(xué)生通過(guò)此題進(jìn)一步明確分類討論的依據(jù)，討論點(diǎn)的分類特點(diǎn)，討論順序的清晰有序。而第二個(gè)問(wèn)題由于函數(shù)是確定的，所以導(dǎo)函數(shù)是確定的，但導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)還是無(wú)法直接確定，在比較定義域區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)值的大小時(shí)也出現(xiàn)了無(wú)法比較的情況，但此題無(wú)法通過(guò)對(duì)參數(shù)的討論而解決，而是需要重新構(gòu)造函數(shù)再研究，意在進(jìn)一步幫學(xué)生樹(shù)立函數(shù)思想，掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的方法。這也凸顯了看似同樣的困難卻是不同的解決方式。所以方法的應(yīng)用、問(wèn)題的解決還是要引領(lǐng)學(xué)生看透問(wèn)題的本質(zhì)。

（二）注重探究、對(duì)比、提煉，促進(jìn)學(xué)生深度思維，提升分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力

本節(jié)課給出的兩個(gè)問(wèn)題都是探究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，但仔細(xì)比較，第一個(gè)是含有參數(shù)的不確定的函數(shù)在確定的閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，第二個(gè)則是確定的函數(shù)在不確定的閉區(qū)間上的最值問(wèn)題。同時(shí)確定函數(shù)最值，解決問(wèn)題的整體思路是一致的，研究函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，確定函數(shù)的單調(diào)性，比較極值和定義域區(qū)間端點(diǎn)值的大小，確定函數(shù)的最值。在整個(gè)問(wèn)題解決過(guò)程中學(xué)生遇到了兩次困難，也看到了兩個(gè)問(wèn)題不同的處理方式。

首先是兩個(gè)問(wèn)題在確定導(dǎo)函數(shù)符號(hào)時(shí)都出現(xiàn)了無(wú)法判斷的情況，此時(shí)對(duì)比會(huì)發(fā)現(xiàn)第一個(gè)問(wèn)題是由于參數(shù)的不確定，帶來(lái)了導(dǎo)函數(shù)的不確定，導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的不確定，分類討論即可解決；第二個(gè)問(wèn)題中函數(shù)是確定的，與參數(shù)無(wú)關(guān)，無(wú)須分類討論，所以采取了更為新穎的方法——重新構(gòu)造函數(shù)再研究，利用導(dǎo)函數(shù)的增減性確定其符號(hào)，兩個(gè)問(wèn)題處理的方式截然不同。

其次是在比較端點(diǎn)值大小的時(shí)候，兩道題由于函數(shù)不確定和區(qū)間不確定，都出現(xiàn)了端點(diǎn)值大小不確定的情況。第一個(gè)問(wèn)題的突破，只需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論比較即可，第二個(gè)問(wèn)題的解決則無(wú)法討論參數(shù)，而是采用了作差法，再次構(gòu)造函數(shù)再研究，利用新函數(shù)的單調(diào)性和最值確定了大小關(guān)系。類似的問(wèn)題、類似的困難，截然不同的處理方式，在思維的障礙處看到不同的處理方式，學(xué)生有種豁然開(kāi)朗的釋然和欣喜。

解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不可或缺的部分，有時(shí)我們的課堂上例題不必多，但要精。同時(shí)要引領(lǐng)學(xué)生解題后反思、對(duì)比、提煉，在相同的地方看到本質(zhì)，學(xué)會(huì)通法，在不同的地方看到思維的靈活、解法的多樣，我想是對(duì)學(xué)生能力的提升最好的助力。

（三）加強(qiáng)合作交流，注重動(dòng)手實(shí)踐，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)必須有自己獨(dú)立的思考，但學(xué)生思維的打開(kāi)、能力的提升還需要更多的合作與交流。在解決本節(jié)課的兩個(gè)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生都遇到了困難：第一個(gè)問(wèn)題有些同學(xué)討論不清，走著走著就亂了，小組的合作中，在同伴的幫扶下捋順?biāo)悸纷叱隼Ь?；第二個(gè)問(wèn)題中導(dǎo)數(shù)是確定的卻無(wú)法判斷其符號(hào)，有的同學(xué)通過(guò)特殊值試到了函數(shù)的零點(diǎn)，但說(shuō)明兩邊的符號(hào)不嚴(yán)謹(jǐn)，全班交流時(shí)很多學(xué)生提出了疑問(wèn)，在思辨的視角下學(xué)生找到了更好的方法。

通過(guò)小組合作交流可以進(jìn)一步開(kāi)拓學(xué)生的思維，通過(guò)全班的反饋和提煉，也更有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)問(wèn)題的本質(zhì)，讓問(wèn)題有方法突破，讓思維更加嚴(yán)謹(jǐn)，讓表達(dá)更加有序而清晰。所以建立適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)共同體，課堂上更多地為學(xué)生創(chuàng)設(shè)機(jī)會(huì)，讓學(xué)生多想、多說(shuō)、多練，讓學(xué)生在思維更多的碰撞中開(kāi)拓視野、樹(shù)立自信、增長(zhǎng)能力是非常重要的。