整體視角下單元備課，助力學(xué)生學(xué)習(xí)力提升
——以“除數(shù)是兩位數(shù)除法”為例

首都師范大學(xué)附屬順義實(shí)驗(yàn)小學(xué) 任志梅 史 頌

《義務(wù)教育小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》中明確指出：“教學(xué)時(shí)要注意揭示知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系?！倍嗄陙?lái)我國(guó)一線數(shù)學(xué)教師熱衷于課時(shí)設(shè)計(jì)，較少在整體視角下進(jìn)行單元備課。這就導(dǎo)致教師更多關(guān)注孤立的知識(shí)點(diǎn)，忽視知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，缺乏對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)，滿足于一課時(shí)的活動(dòng)設(shè)計(jì)，忽略甚至局限了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，育人價(jià)值的滲透、核心素養(yǎng)的培養(yǎng)容易流于紙上談兵。

2017年，崔允漷教授在第十五屆上海國(guó)際課程論壇上做了題為《試論核心素養(yǎng)的課程發(fā)展意義》的報(bào)告，報(bào)告指出，指向核心素養(yǎng)的課程發(fā)展給我們帶來(lái)一個(gè)變化——只有當(dāng)我們?cè)谠O(shè)計(jì)一個(gè)單元的時(shí)候，才能看到價(jià)值觀念。

整體視角下的單元教學(xué)指從數(shù)學(xué)知識(shí)體系高度“結(jié)構(gòu)化”的特點(diǎn)和學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成、發(fā)展規(guī)律出發(fā)，對(duì)教材的表層結(jié)構(gòu)和深層結(jié)構(gòu)進(jìn)行提煉和組織，通過(guò)自主探究、自我提煉和反思逐步內(nèi)化為學(xué)生學(xué)習(xí)的方法結(jié)構(gòu)，成為新的學(xué)習(xí)工具，進(jìn)而更好地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科獨(dú)特的育人價(jià)值。

一、 整體把握教材結(jié)構(gòu)，找準(zhǔn)知識(shí)和能力的鏈接點(diǎn)

數(shù)學(xué)知識(shí)是有著內(nèi)在聯(lián)系的有機(jī)整體，在實(shí)際教學(xué)中，一些教師往往只關(guān)注一冊(cè)教材的內(nèi)容、一個(gè)例題的教學(xué)目標(biāo)，缺乏對(duì)教材內(nèi)容的整體架構(gòu)。于是教學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)只顧眼前不顧兩頭或找不準(zhǔn)起點(diǎn)和落腳點(diǎn)的現(xiàn)象，導(dǎo)致一個(gè)內(nèi)容或一類知識(shí)的教學(xué)缺乏層次性和銜接性。例如，小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)和小數(shù)的意義的解耦、教學(xué)重點(diǎn)是什么，兩次學(xué)習(xí)小數(shù)的聯(lián)系和區(qū)別是什么，這就要求老師們能整體把握教材。

整體把握教材并不是簡(jiǎn)單地把各冊(cè)或者各個(gè)章節(jié)的內(nèi)容匯集到一起，而是要看內(nèi)容有了哪些變化、哪些發(fā)展，最終幫助學(xué)生建立一個(gè)完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

案例：整體把握“除數(shù)是兩位數(shù)除法”

“除數(shù)是兩位數(shù)除法”被稱為整數(shù)四則運(yùn)算的“收官之作”，顧名思義，這是整數(shù)運(yùn)算教學(xué)的最后部分內(nèi)容，通過(guò)整數(shù)運(yùn)算的知識(shí)體系我們也能看到這一點(diǎn)。

圖1

（一）把握教材的整體結(jié)構(gòu)，找準(zhǔn)知識(shí)鏈接點(diǎn)

圖2

運(yùn)算教學(xué)依賴兩個(gè)重要內(nèi)容：運(yùn)算意義和數(shù)意義。

聚焦到“除數(shù)是兩位數(shù)除法”，對(duì)數(shù)的意義的學(xué)習(xí)，學(xué)生學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容之前，通過(guò)20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)、百以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)、萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)以及大數(shù)的認(rèn)識(shí)，建立了較為完整的數(shù)概念體系，對(duì)數(shù)位、計(jì)數(shù)單位、十進(jìn)制、位值等知識(shí)有了一個(gè)更全面的認(rèn)知理解。數(shù)概念的完整體系為除數(shù)是兩位數(shù)的學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

“除數(shù)是兩位數(shù)除法”是學(xué)生第四次學(xué)習(xí)整數(shù)除法，在二上學(xué)習(xí)表內(nèi)除法、二下學(xué)習(xí)有余數(shù)的除法時(shí)，利用口訣求商，初步掌握了豎式結(jié)構(gòu)。三上學(xué)習(xí)除數(shù)是一位數(shù)的除法，主要突破兩層豎式結(jié)構(gòu)，理解除法豎式的算理。至此學(xué)生已經(jīng)掌握了豎式除法的基本方法，如從高位除起，除的過(guò)程中要看被除數(shù)的前一位或前兩位；除到哪一位，商就寫到哪一位；余數(shù)必須比除數(shù)小。但是學(xué)生接觸的除法都可以利用口訣求商，而當(dāng)除數(shù)變?yōu)閮晌粩?shù)時(shí)，乘法口訣已經(jīng)無(wú)法再施展了，對(duì)于學(xué)生而言這樣的進(jìn)階學(xué)習(xí)跨度比較大，得到商的過(guò)程也比較復(fù)雜，常常不但需要試商，還需要調(diào)商。

（二）挖掘教材中承載的育人價(jià)值，找準(zhǔn)能力鏈接點(diǎn)

通過(guò)對(duì)比除數(shù)是一位數(shù)除法和除數(shù)是兩位數(shù)除法在能力目標(biāo)體系中關(guān)于知識(shí)內(nèi)容應(yīng)該培養(yǎng)的能力以及相應(yīng)的水平可以清晰地看到：除數(shù)是一位數(shù)除法在知識(shí)上要求掌握一位數(shù)除多位數(shù)的筆算方法，會(huì)用乘法驗(yàn)算除法，在此過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、推理能力以及發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力。而除數(shù)是兩位數(shù)除法除了讓學(xué)生會(huì)算以外，還要能通過(guò)自主探究算理和算法對(duì)運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)?？梢钥吹街R(shí)上的要求提高了，相對(duì)應(yīng)的能力方面的要求也大大提高。尤其是增加的分析解決問(wèn)題的能力、評(píng)價(jià)反思的能力以及創(chuàng)新能力，均要求學(xué)生遇到新問(wèn)題時(shí)能獨(dú)立思考，并且能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決。這也正是除法收官于此的主要原因，正是因?yàn)榫邆淞诉@些能力，在除數(shù)是兩位數(shù)除法中積累的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)算理和算法的深刻理解，對(duì)試商、調(diào)商方法的掌握，完全可以通過(guò)類比遷移到除數(shù)是三位數(shù)甚至更多位數(shù)的學(xué)習(xí)，另外整數(shù)除法的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)也可以遷移到小數(shù)除法。

所以，這一單元雖然是小學(xué)階段整數(shù)四則運(yùn)算的收官，卻更需要在教學(xué)中重視學(xué)生的能力培養(yǎng)。

對(duì)同一主題的教學(xué)內(nèi)容，教師可以對(duì)小學(xué)階段的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行系統(tǒng)梳理，了解數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的順序以及在不同學(xué)段、不同年級(jí)的分布情況。只有這樣，教師才能了解所教內(nèi)容是在怎樣的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，為后續(xù)所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容做了怎樣的準(zhǔn)備，做到瞻前顧后。

表1 “除數(shù)是一位數(shù)除法”和“除數(shù)是兩位數(shù)除法”能力目標(biāo)體系

二、 精準(zhǔn)把脈認(rèn)知結(jié)構(gòu)，突破學(xué)生難點(diǎn)

“單元教學(xué)”是立足具體學(xué)情，對(duì)一個(gè)（或幾個(gè)）單元教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行規(guī)劃，整體性、結(jié)構(gòu)性、系統(tǒng)性地安排后展開(kāi)的教學(xué)，而這些取舍規(guī)劃的前提一定是立足具體的學(xué)情。奧蘇伯爾也認(rèn)為，影響學(xué)習(xí)的最重要的因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么。由此可見(jiàn)學(xué)情分析的重要性。學(xué)情分析并不僅僅包括教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)情況的簡(jiǎn)單分析，還包括對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)需要、認(rèn)知發(fā)展水平與風(fēng)格、內(nèi)心想法等的分析。

[案例]：“除數(shù)是兩位數(shù)除法”學(xué)情調(diào)研

核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的教學(xué)，需要對(duì)學(xué)情進(jìn)行合理分析。學(xué)情分析可以從已有的認(rèn)知和學(xué)習(xí)過(guò)程中會(huì)遇到的難題兩方面展開(kāi)。

“除數(shù)是兩位數(shù)除法”設(shè)計(jì)的前測(cè)題目分為兩個(gè)：一個(gè)是有情境的除數(shù)是兩位數(shù)除法問(wèn)題，目的是考查學(xué)生面對(duì)新問(wèn)題時(shí)能否運(yùn)用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解決；另一個(gè)是去情境化問(wèn)題，用豎式計(jì)算924÷6、964÷18，目的是一方面了解學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)，另一方面考查學(xué)生能否將除數(shù)是一位數(shù)除法的算理進(jìn)行遷移解決新問(wèn)題。

前測(cè)1：把336元平均分給14個(gè)小朋友，每人得到多少元？

圖3

通過(guò)前測(cè)，學(xué)生有遷移舊知識(shí)解決問(wèn)題的意識(shí)，絕大部分都是利用拆分進(jìn)行計(jì)算，這是學(xué)生將除數(shù)是一位數(shù)除法和整數(shù)乘法的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行了遷移。但絕大部分學(xué)生對(duì)究竟是拆除數(shù)還是拆被除數(shù)不清晰。這是整數(shù)乘法對(duì)學(xué)生造成的負(fù)遷移，因?yàn)檎麛?shù)乘法計(jì)算時(shí)拆哪個(gè)因數(shù)都可以，所以究竟拆誰(shuí)進(jìn)行計(jì)算是學(xué)生的一個(gè)困難點(diǎn)。

前測(cè)2：用豎式計(jì)算924÷6、964÷18。

42名學(xué)生答題情況如下：

表2

學(xué)生主要答案如下：

圖4

通過(guò)前測(cè)結(jié)果可以看到，42名學(xué)生中95.24%對(duì)除數(shù)是一位數(shù)除法掌握扎實(shí)，能熟練地講出除數(shù)是一位數(shù)筆算除法的算理。學(xué)生的前期基礎(chǔ)非常扎實(shí)。

而面對(duì)除數(shù)是兩位數(shù)時(shí)，乘法口訣無(wú)法再施展了，學(xué)生有遷移除數(shù)是一位數(shù)筆算除法解決問(wèn)題的意識(shí)。但是45.24%的學(xué)生表示并沒(méi)有快速找到初商的方法，嘗試的過(guò)程很慢，有的甚至需要嘗試很多次才能得到，學(xué)生的困難主要集中在如何確定商的位置以及商的大小如何快速地確定。試商的方法是將除數(shù)看成整十?dāng)?shù)，利用乘法口訣得到初商。這就是學(xué)生需要突破的困難點(diǎn)。讓學(xué)生經(jīng)歷得到初商由慢到快的過(guò)程，才能更好地積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，能力才得以發(fā)展。

三、立足單元結(jié)構(gòu)備課，設(shè)計(jì)挑戰(zhàn)任務(wù)

小學(xué)數(shù)學(xué)教材由一個(gè)個(gè)相對(duì)獨(dú)立的單元構(gòu)成，同一單元中的新知識(shí)又是按照一定的邏輯順序編寫，從而可以在單元學(xué)習(xí)的過(guò)程中讓學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。但學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)。所以挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)的核心內(nèi)涵需要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平，已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、思維方式對(duì)教材進(jìn)行充實(shí)和調(diào)整，適當(dāng)整合相關(guān)內(nèi)容，從而使教材展現(xiàn)出生機(jī)與活力。

[案例]：“除數(shù)是兩位數(shù)除法”單元設(shè)計(jì)思路

“除數(shù)是兩位數(shù)除法” 共包含7個(gè)例題：

例1：兩位數(shù)除以兩位數(shù)，商是一位數(shù)的口算除法

例2：三位數(shù)除以整十?dāng)?shù)的筆算除法

例3：兩位數(shù)除以兩位數(shù)，可以直接試商的筆算除法

例4：三位數(shù)除以兩位數(shù)，商是一位數(shù)，需要試商的筆算除法

例5：三位數(shù)除以兩位數(shù)，商是一位數(shù)，需要試商并調(diào)商的筆算除法

例6：三位數(shù)除以兩位數(shù)，商是兩位數(shù)，并安排驗(yàn)算的筆算除法

例7：三位數(shù)除以兩位數(shù)的估算

教材編排的順序是先講口算，這對(duì)于學(xué)生而言并不困難，因?yàn)榭梢越柚谠E求商。例2講解的是除數(shù)是整十?dāng)?shù)的筆算除法，這對(duì)于學(xué)生而言并不是很困難，因?yàn)槿匀豢梢岳每谠E進(jìn)行求商。我們都知道當(dāng)除數(shù)是一般兩位數(shù)時(shí)，需要將除數(shù)用“四舍五入”法估成整十?dāng)?shù)進(jìn)行求商，于是例2的講解就為后續(xù)學(xué)習(xí)試商做了鋪墊。例3、例4、例5、例6五個(gè)例題的學(xué)習(xí)主要是圍繞當(dāng)被除數(shù)是兩位數(shù)或者三位數(shù)，除數(shù)是兩位數(shù)時(shí)，學(xué)生利用筆算除法求商、試商、調(diào)商進(jìn)行的，其實(shí)不管被除數(shù)、商是幾位數(shù)，學(xué)生試商、調(diào)商的方法都是一樣的，可以遷移進(jìn)行學(xué)習(xí)。其實(shí)通過(guò)試得到商對(duì)學(xué)生而言并不難，難的是為什么要將除數(shù)估成整十?dāng)?shù)，只要弄清楚這一點(diǎn)，無(wú)論將來(lái)除數(shù)變成幾位數(shù)，學(xué)生都可以調(diào)用之前除數(shù)是兩位數(shù)除法的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行解決。

教材的安排將學(xué)生的難點(diǎn)用7個(gè)例題進(jìn)行分散，循序漸進(jìn)逐一擊破。而依據(jù)前面對(duì)學(xué)生的分析，學(xué)生最困難的地方就是要將除數(shù)是一般兩位數(shù)的問(wèn)題納入能利用乘法口訣的問(wèn)題中來(lái)，而這個(gè)過(guò)程一定要慢下腳步，讓學(xué)生親自經(jīng)歷猜想、嘗試、推理等一系列的活動(dòng)，才可能積累起解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，真正具備解決除數(shù)是多位數(shù)的能力。

基于以上分析，本單元共設(shè)計(jì)三節(jié)核心課，每一節(jié)課上都給學(xué)生富有挑戰(zhàn)性的任務(wù)，在這樣的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的能力。

第一課時(shí)：多種方法解決除數(shù)是兩位數(shù)除法，讓學(xué)生利用分與合的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行拆分解決，轉(zhuǎn)化為學(xué)過(guò)的知識(shí)。同時(shí)利用直觀學(xué)具進(jìn)行自主研究，理解拆分被除數(shù)而不能拆分除數(shù)的道理。

【挑戰(zhàn)性任務(wù)】利用點(diǎn)子圖研究：被除數(shù)和除數(shù)究竟該拆誰(shuí)呢？

【設(shè)計(jì)意圖】此環(huán)節(jié)讓學(xué)生自主計(jì)算336÷14，讓學(xué)生充分經(jīng)歷算法多樣化的過(guò)程，體會(huì)分與合思想在計(jì)算中的應(yīng)用。同時(shí)點(diǎn)子圖清楚明白地解釋拆除數(shù)不可行、拆被除數(shù)可行的道理，讓學(xué)生真正理解了其中的道理，做到知其然更知其所以然。

圖5

第二課時(shí)是在第一課時(shí)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)除數(shù)是兩位數(shù)除法的筆算。學(xué)生在第一課時(shí)已經(jīng)明確不能將除數(shù)進(jìn)行拆分的道理，那如何確定商的大小以及位置就是本節(jié)課的重點(diǎn)。學(xué)生會(huì)經(jīng)歷想辦法得到商到快速得到的商的過(guò)程，這種由慢到快的轉(zhuǎn)變便是將除數(shù)估成整十?dāng)?shù)試商的道理。

【挑戰(zhàn)性任務(wù)】如何確定商是幾？有沒(méi)有快速得到商的方法呢？

【設(shè)計(jì)意圖】利用舊知解決商是幾的問(wèn)題，學(xué)生自己感覺(jué)這樣計(jì)算太慢，太麻煩，為尋求簡(jiǎn)單的做法激發(fā)探究的興趣。學(xué)生經(jīng)歷將除數(shù)看成接近的整十?dāng)?shù)試商的過(guò)程，突破學(xué)生難點(diǎn)，對(duì)接兒童利用口訣求商的經(jīng)驗(yàn)。

第三課時(shí)在前兩課時(shí)的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生經(jīng)歷調(diào)商的過(guò)程，明確商往大調(diào)還是往小調(diào)的道理。

【挑戰(zhàn)性任務(wù)】判斷商偏大還是偏小，如何進(jìn)行調(diào)整？

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生在自主嘗試解決問(wèn)題的過(guò)程中，理解初商偏大或偏小的原因，掌握調(diào)商的方法。

當(dāng)然三個(gè)課時(shí)對(duì)這個(gè)單元來(lái)講是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，節(jié)省出來(lái)的課時(shí)可以加入適當(dāng)?shù)木毩?xí)課以及關(guān)于整數(shù)計(jì)算的復(fù)習(xí)課，幫助學(xué)生建立完整的、系統(tǒng)的知識(shí)體系。

葉圣陶先生指出：“教材只是一個(gè)例子?！痹谡w視角下進(jìn)行單元備課時(shí)，教師要整體把握教材，把脈學(xué)情，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行創(chuàng)造性實(shí)踐，才能真正將數(shù)學(xué)的教與學(xué)落實(shí)到培養(yǎng)學(xué)生素養(yǎng)上來(lái)。