某型鉆桿幾何縮比及模態(tài)參數(shù)相似性分析*

廖勝軍 于增輝 侯洪為 王 蕙 國朝健 萬 琦 郭 宇

(1.中海油田服務(wù)股份有限公司 2.國防科技大學(xué)空天科學(xué)學(xué)院)

0 引 言

鉆桿是石油鉆探的核心裝備之一。鉆桿工作時(shí)承受著相當(dāng)復(fù)雜的外載荷和多樣的邊界約束，其動力學(xué)響應(yīng)復(fù)雜多變，特別是當(dāng)鉆探系統(tǒng)的動力學(xué)特性匹配不佳時(shí)，容易導(dǎo)致鉆探系統(tǒng)產(chǎn)生強(qiáng)烈共振，進(jìn)而引發(fā)鉆桿產(chǎn)生裂紋、失效甚至斷裂等后果。為確保鉆桿工作的安全性，減少故障發(fā)生，降低試井和鉆井成本，不少專家和學(xué)者從不同的角度對鉆桿等鉆井設(shè)備的動力學(xué)特性進(jìn)行了研究[1-11]。為了解決石油鉆桿等鉆井大型設(shè)備動力學(xué)方面的問題，試驗(yàn)測試是最為直接的手段。而對于大型鉆桿的試驗(yàn)測試，特別是動力學(xué)試驗(yàn)，由于試驗(yàn)臺的推力與空間限制，原鉆桿試驗(yàn)往往比較困難。而通過數(shù)值仿真與縮比試驗(yàn)件試驗(yàn)相結(jié)合的方法，獲取鉆桿系統(tǒng)動力學(xué)特性是一種很好的選擇。隨著計(jì)算機(jī)硬件技術(shù)與數(shù)值仿真軟件功能的發(fā)展，這種數(shù)值仿真軟件輔以高性能的計(jì)算機(jī)數(shù)值仿真方法，將傳統(tǒng)的“實(shí)物試驗(yàn)-改進(jìn)實(shí)物-再試驗(yàn)”的試湊式研發(fā)模式，向“數(shù)值仿真-改進(jìn)模型-數(shù)值仿真-實(shí)物驗(yàn)證”的虛擬樣機(jī)與實(shí)物驗(yàn)證的虛實(shí)結(jié)合研發(fā)模式轉(zhuǎn)變。

然而，數(shù)值仿真與縮比試驗(yàn)件試驗(yàn)相結(jié)合的方法，關(guān)鍵是需要明確數(shù)值仿真計(jì)算的收斂性，以及原尺寸結(jié)構(gòu)件與縮比試驗(yàn)件之間的參數(shù)相似性。目前，已有文獻(xiàn)對鉆桿數(shù)值仿真中如何確定滿足收斂要求的單元劃分，以及大型鉆桿試驗(yàn)中原鉆桿與縮比鉆桿的參數(shù)相似性問題的研究尚不充分，也未見探討鉆桿有限元仿真模型收斂性及單元劃分應(yīng)當(dāng)遵循的原則，以及縮比鉆桿動力學(xué)相似性研究等方面的報(bào)道。

鑒于此，筆者通過模態(tài)分析基本理論[12-13]和數(shù)字仿真技術(shù)[14-15]，采用數(shù)值仿真與縮比試驗(yàn)件試驗(yàn)相結(jié)合的方法進(jìn)行研究。首先，以某大型鉆桿為研究對象，將原鉆桿持續(xù)增加有限元單元劃分規(guī)模，探討有限元單元劃分規(guī)模與結(jié)果收斂性之間的關(guān)系，由此確定合適的滿足收斂性要求的有限元單元劃分規(guī)模；其次，由滿足收斂性要求的單元劃分規(guī)模對鉆桿進(jìn)行建模、仿真，研究原鉆桿與不同幾何縮比鉆桿之間的模態(tài)參數(shù)相似性，為縮比試驗(yàn)件的縮比比例與試驗(yàn)臺的選擇提供依據(jù)；最后，通過縮比25%的鉆桿試驗(yàn)件試驗(yàn)，將數(shù)值仿真結(jié)果與縮比試驗(yàn)件試驗(yàn)測量值對比，獲取數(shù)值仿真的精度，由此可確定該型鉆桿的原尺寸與縮比試驗(yàn)件之間的模態(tài)參數(shù)相似性。這種數(shù)值樣機(jī)仿真與少量模擬試驗(yàn)件物理樣機(jī)試驗(yàn)相結(jié)合的方法，不僅可以大大節(jié)約經(jīng)費(fèi)，而且顯著縮短試驗(yàn)周期，也可為鉆桿的研發(fā)提供技術(shù)支撐。

1 基本原理

將鉆桿幾何縮比用n表示，即n等于縮比結(jié)構(gòu)件尺寸除以實(shí)體結(jié)構(gòu)件尺寸，并且原鉆桿與縮比鉆桿的結(jié)構(gòu)與材料相同。

1.1 固有頻率相似性

對于多自由度振動系統(tǒng)，其頻率方程為[12-13]：

K-ω2M=0

(1)

式中：ω為系統(tǒng)的固有頻率；K、M分別為系統(tǒng)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣。

不失一般性，以單自由度為例研究固有頻率的相似性。則單自由度系統(tǒng)的固有頻率為：

(2)

式中：k、m分別為系統(tǒng)的剛度(N/m)和質(zhì)量(kg)，大小分別取決于部件的結(jié)構(gòu)尺寸和材料屬性。

縮比結(jié)構(gòu)參數(shù)的下標(biāo)用t表示，原尺寸結(jié)構(gòu)參數(shù)的下標(biāo)用o表示，如kt、mt分別表示縮比結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量，ko、mo分別表示原件的剛度和質(zhì)量，則有：

ko=kt/n

(3)

mo=mt/n3

(4)

將式(3)、式(4)代入式(2)可得：

(5)

式中：ωt、ωo分別為縮比結(jié)構(gòu)與原件的固有頻率，s-1。

式(5)表明，縮比結(jié)構(gòu)的固有頻率是原件尺寸結(jié)構(gòu)的1/n。由于固有頻率大小僅與結(jié)構(gòu)與材料有關(guān)，與載荷無關(guān)，故式(5)適用于任何載荷，包括拉壓載荷、彎矩載荷、扭矩載荷、壓力載荷和溫度載荷等。

式(5)描述了縮比結(jié)構(gòu)固有頻率與原件固有頻率的關(guān)系，從而可以依據(jù)縮比結(jié)構(gòu)試驗(yàn)獲得的固有頻率而得到原件的固有頻率，該式適用于任何復(fù)雜結(jié)構(gòu)或設(shè)備。

1.2 振型相似性

為了研究原結(jié)構(gòu)與縮比結(jié)構(gòu)的振型相似性，設(shè)兩結(jié)構(gòu)強(qiáng)度相同(等強(qiáng)度假設(shè))。以懸臂梁為例，設(shè)梁橫截面積為A，拉壓載荷為F，材料彈性模量為E，懸臂處為X軸坐標(biāo)原點(diǎn)。在梁軸中心線上選取p個(gè)點(diǎn)，即x1，x2，x3，…，xp，梁各點(diǎn)位移d(xi)依據(jù)材料力學(xué)可以表示為[16]：

(6)

縮比梁與原尺寸梁的位移關(guān)系為：

(i=1，2，3，…，p)

(7)

縮比梁各點(diǎn)的位移向量wt、原尺寸梁各點(diǎn)的位移向量wo分別表示為：

(8)

(9)

由式(7)與式(8)、式(9)可得：

wt=nwo

(10)

如果選取任意一位移不為0的點(diǎn)作為參考點(diǎn)(原尺寸梁和縮比梁均取同一個(gè)位置作為參考點(diǎn))，譬如點(diǎn)x2，可對式(10)進(jìn)行變換：

(11)

(12)

可見式(11)和式(12)右邊分別是縮比梁與原尺寸梁的振型，分別用ut和uo表示。由式(8)～式(12)得：

ut=uo

(13)

式(13)表明，在縮比梁與原尺寸梁的振型參考點(diǎn)選取同一個(gè)位置時(shí)，縮比梁振型與原尺寸梁振型相同，與幾何縮比n無關(guān)。

2 某型鉆桿模態(tài)分析

為研究鉆桿的模態(tài)，本文以某大型鉆桿為研究對象。該鉆桿的幾何模型如圖1所示。鉆桿模型上端面直徑為114.8 mm，下端面直徑為159.0 mm，整個(gè)模型長度為3 092.0 mm。該型鉆桿的長徑比為17.4∶1。

鉆桿為15-15HS MAX材料，彈性模量為191.0 GPa，泊松比為0.29，密度為7 750 kg/m3，質(zhì)量為407.4 kg。

圖1 某鉆桿幾何模型Fig.1 Geometric model of a drill pipe

2.1 模型精度分析

有限元仿真模型的收斂是獲取準(zhǔn)確結(jié)果的前提。采用MSC.PATRAN建立整個(gè)有限元模型，采用MSC.NASTRAN進(jìn)行模態(tài)分析。為提高仿真計(jì)算精度，主要采用六面體單元(代號HEX8)，在多孔相交、槽孔相關(guān)等結(jié)構(gòu)復(fù)雜處采用楔形體單元(代號WEDGE6)和四面體單元(代號TET4)，以精確反映原結(jié)構(gòu)三維形狀。當(dāng)然，單元規(guī)模越大，仿真結(jié)果越精確，當(dāng)單元規(guī)模達(dá)到一定程度后，過大的單元規(guī)模將消耗計(jì)算資源。當(dāng)單元數(shù)量達(dá)到合適的規(guī)模后，仿真結(jié)果相當(dāng)接近真值，已經(jīng)滿足相對誤差小于5%的精度要求。因此，單元劃分規(guī)模不是越大越好，需要尋找一個(gè)滿足收斂要求效費(fèi)比高的單元劃分規(guī)模，確定單元劃分時(shí)控制邊長的區(qū)間，即單元最大邊長、最小邊長與結(jié)構(gòu)最長尺寸之比例，為類似結(jié)構(gòu)的單元劃分規(guī)模提供參考。

通過持續(xù)增加單元劃分規(guī)模(每次增加約25.0%的單元數(shù)量)，得到鉆桿有限元仿真模型，以及對應(yīng)縮比25.0%、縮比12.5%的有限元仿真模型，如圖2所示。

圖2 原鉆桿、縮比25.0%和縮比12.5%鉆桿的有限元仿真模型Fig.2 Finite element simulation model of original size,25.0% and 12.5% scaled drill pipes

1階固有頻率是結(jié)構(gòu)的重要動力學(xué)特性參數(shù)之一[17]，本文以1階固有頻率的結(jié)果來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷氖諗啃浴Ｔ@桿結(jié)構(gòu)單元劃分規(guī)模與仿真結(jié)果收斂性的關(guān)系如圖3所示。圖3中分別劃分了253 142、325 586、413 842、503 210、641 986和793 684個(gè)單元的仿真模型，在研究單元劃分規(guī)模與精度的關(guān)系時(shí)，為確保計(jì)算精度不變，各縮比模型單元尺寸的相對尺度不變。通常以結(jié)果相對誤差e小于5.0%作為收斂準(zhǔn)則。為了獲得更高的仿真精度，取相對誤差e為1.8%的劃分規(guī)模，即單元劃分?jǐn)?shù)為641 986個(gè)，節(jié)點(diǎn)數(shù)472 705個(gè)時(shí)，單元劃分規(guī)模的性價(jià)比較高。

圖3 不同單元劃分規(guī)模與仿真收斂性的關(guān)系圖Fig.3 Relationship between different element division scale and simulation convergence

為了描述單元劃分規(guī)模，以單元邊長與結(jié)構(gòu)尺寸之比來反映縮比和單元尺寸共同作用的結(jié)果。仿真計(jì)算表明，該劃分規(guī)模中最大的單元邊約為鉆桿長度方向的1/500，于幾何突變處適當(dāng)加密單元，最小單元邊長不超過鉆桿長度方向的1/5 000，即獲取效費(fèi)比較高的單元劃分規(guī)模?；诖藛卧獎澐?，分別對原鉆桿、縮比25.0%和縮比12.5%的鉆桿在自由邊界、固支約束、自由-固支約束3種約束下，進(jìn)行模態(tài)參數(shù)相似性仿真分析。

2.2 自由邊界模態(tài)分析

綜合考慮原鉆桿質(zhì)量、尺寸與試驗(yàn)機(jī)推力、臺面尺寸，故選擇原鉆桿、縮比25.0%和縮比12.5%鉆桿的結(jié)構(gòu)進(jìn)行比較，各模型的材料性能參數(shù)一致。

2.2.1 自由邊界時(shí)的固有頻率

自由邊界時(shí)，通過仿真分析，原鉆桿、縮比25.0%和縮比12.5%鉆桿的自由邊界前10個(gè)固有頻率如表1所示。

表1 原鉆桿、縮比25.0%和縮比12.5%鉆桿自由邊界固有頻率Table 1 Natural frequency of original size,25.0% and 12.5% scaled drill pipes at free boundary

2.2.2 自由邊界時(shí)的振型

原鉆桿、縮比25.0%和縮比12.5%鉆桿在自由邊界時(shí)的1階振型如圖4所示。

圖4 原鉆桿、縮比25.0%和縮比12.5%鉆桿在自由邊界時(shí)的1階振型Fig.4 First-order vibration mode of original size,25.0% and 12.5% scaled drill pipes at free boundary

分析結(jié)果表明，原鉆桿、縮比25.0%和縮比12.5%鉆桿振型相同。為更好地描述振型之間的關(guān)系，可通過任意兩點(diǎn)幅值比與多對應(yīng)點(diǎn)幅值分布規(guī)律來描述。分別在原鉆桿、縮比25.0%鉆桿和縮比12.5%鉆桿的對應(yīng)部位，任意選取a和b 2個(gè)節(jié)點(diǎn)，則前5階振型對應(yīng)2個(gè)節(jié)點(diǎn)位移幅值之比如表2所示。從表2可見，同結(jié)構(gòu)同階次的a和b這2節(jié)點(diǎn)振型幅值之比相等，表明原鉆桿、縮比25.0%鉆桿和縮比12.5%鉆桿的振型唯一且相同。

為進(jìn)一步研究振型的相關(guān)性，在原鉆桿、縮比25.0%鉆桿和縮比12.5%鉆桿上，對應(yīng)選擇1階振型幅值單調(diào)遞減的任意16個(gè)節(jié)點(diǎn)，對應(yīng)位置處幅值的變化規(guī)律如圖5所示。圖5曲線表明，同一結(jié)構(gòu)上各點(diǎn)幅值呈線性關(guān)系，不同結(jié)構(gòu)上對應(yīng)點(diǎn)的幅值比值相同，說明1階振型相同。同樣可得，原鉆桿、縮比25.0%鉆桿和縮比12.5%鉆桿對應(yīng)各階頻率的振型也相同。

表2 自由邊界時(shí)前5階振型對應(yīng)2個(gè)節(jié)點(diǎn)位移幅值之比Table 2 Displacement amplitude ratio of 2 nodes corresponding to first 5-order vibration modes at free boundary

圖5 不同結(jié)構(gòu)上各點(diǎn)1階振型幅值分布Fig.5 First-order vibration mode amplitude distribution of each point on different structures

2.3 固支約束模態(tài)分析

2.3.1 固支約束時(shí)的固有頻率

鉆桿在地下鉆探過程中，頂端和外部機(jī)構(gòu)相連，簡化為6自由度固支邊界條件。假設(shè)鉆桿鉆頭處(頂端)和巖石接觸、擠壓，約束接觸頂端為固支約束。

固支約束時(shí)，通過仿真分析，原鉆桿、縮比25.0%和縮比12.5%鉆桿的自由邊界前10個(gè)固有頻率如表3所示。

表3 原鉆桿、縮比25.0%和縮比12.5%鉆桿固支約束時(shí)的固有頻率Table 3 Natural frequency of original size,25.0% and 12.5% scaled drill pipes under fixed support constraint

2.3.2 固支約束時(shí)的振型

原鉆桿、縮比25.0%和縮比12.5%鉆桿在固支約束時(shí)的第1階振型如圖6所示。

圖6 原鉆桿、縮比25.0%和縮比12.5%鉆桿在固支約束時(shí)的1階振型Fig.6 First-order vibration mode of original size,25.0% and 12.5% scaled drill pipes under fixed support constraint

由分析可知，盡管3個(gè)圖振型振幅大小不同，但它們振型相同。

2.4 自由-固支約束模態(tài)分析

2.4.1 自由-固支約束時(shí)的固有頻率

鉆桿前端鉆頭作業(yè)時(shí)，不斷和巖石接觸、擠壓和分離，因此，頂端自由、底部固支是一種比較常見的工作狀態(tài)。在自由-固支約束時(shí)，原鉆桿、縮比25.0%和縮比12.5%鉆桿的前10個(gè)固有頻率如表4所示。

表4 原鉆桿、縮比25.0%和縮比12.5%鉆桿頂端自由-底端固支時(shí)的固有頻率Table 4 Natural frequency of original size,25.0% and 12.5% scaled drill pipes under top free - bottom fixed conditions

2.4.2 自由-固支約束時(shí)的振型

由計(jì)算結(jié)果可知，原鉆桿、縮比25.0%和縮比12.5%鉆桿的1階振型如圖7所示。由圖7可知，盡管3個(gè)圖振型振幅不同，但它們振型相同。

圖7 原鉆桿、縮比25.0%和縮比12.5%鉆桿在自由-固支約束時(shí)的1階振型Fig.7 First-order vibration mode of original size,25.0% and 12.5% scaled drill pipes under free-fixed support constraint

3 試驗(yàn)測試與工程應(yīng)用

3.1 試驗(yàn)測試

為檢驗(yàn)仿真分析的正確性，結(jié)合DC-3200-36型試驗(yàn)振動臺(主要性能參數(shù)：額定正弦推力32 kN，頻率范圍2～3 000 Hz，最大載荷300 kN，最大加速度100g(m/s2)，臺面尺寸?400 mm)特性與該型鉆桿的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，綜合考慮試驗(yàn)機(jī)推力、臺面尺寸，以及縮比鉆桿結(jié)構(gòu)與加工工藝實(shí)現(xiàn)，最合適的縮比比例為縮比為25.0%。制作了縮比為25.0%鉆桿試驗(yàn)件，如圖8所示?？s比試驗(yàn)件長度773 mm，質(zhì)量6.5 kg。采用懸臂夾具，進(jìn)行了一端固支、一端自由的掃頻試驗(yàn)，提取前3階試驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果對比，如表5所示。由表5可以看出，縮比25.0%的試驗(yàn)件前3階的頻率，其實(shí)測值與仿真值相比較，相對誤差不超過3.8%，表明仿真結(jié)果精度較高。

圖8 縮比25.0%鉆桿試驗(yàn)件Fig.8 25.0% scaled drill pipe test piece

表5 縮比25.0%鉆桿試驗(yàn)與仿真計(jì)算頻率比較Table 5 Comparison of frequencies obtained from 25.0% scaled drill pipe test and simulation calculation

3.2 工程應(yīng)用

對于大型鉆桿的試驗(yàn)測試，特別是動力學(xué)試驗(yàn)，由于試驗(yàn)設(shè)備的推力與空間限制，原鉆桿試驗(yàn)往往比較困難，也沒有必要，縮比試驗(yàn)件試驗(yàn)是一種很好的選擇。通過數(shù)值仿真與縮比25.0%鉆桿試驗(yàn)測試檢驗(yàn)相結(jié)合的方法，與原尺寸鉆桿試驗(yàn)測試相比較，具有2個(gè)優(yōu)勢：一是將試驗(yàn)件質(zhì)量從407.4 kg減少到6.5 kg，極大地節(jié)省了材料，同時(shí)，縮比試驗(yàn)件的夾具制造也節(jié)省了大量材料；二是空間尺寸縮小，對試驗(yàn)臺的臺面空間尺寸要求也大為縮減，降低了對試驗(yàn)設(shè)備的要求，方便了試驗(yàn)操作，加快了試驗(yàn)進(jìn)度，節(jié)省了試驗(yàn)經(jīng)費(fèi)。并且較為精確地獲得了該型鉆桿模態(tài)參數(shù)，其中自由邊界時(shí)的1階頻率為72.875 Hz。固支約束時(shí)的1階頻率為84.265 Hz，自由-固支約束時(shí)的1階頻率為11.370 Hz。這些動力學(xué)性能參數(shù)主要有3個(gè)方面作用，一是指導(dǎo)鉆桿設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)可適當(dāng)提高其響應(yīng)頻率，回避外載荷頻率；二是通過模態(tài)振型可以確定鉆桿設(shè)計(jì)中剛度最小的方位，為剛強(qiáng)度設(shè)計(jì)提供支撐；三是實(shí)際作業(yè)中，給司鉆提供發(fā)生共振評判的量化參考。如圖9所示為該型鉆桿安全作業(yè)情景。

圖9 原鉆桿作業(yè)情景Fig.9 Operation scenario of original size drill pipe

該鉆桿作業(yè)過程中均沒有位于這些頻率的載荷存在。因此，可以判定不會有共振產(chǎn)生，實(shí)際作業(yè)也證實(shí)該型鉆桿使用正常。

4 結(jié) 論

采用數(shù)值仿真與縮比試驗(yàn)件試驗(yàn)相結(jié)合的方法，對某型長徑比為17.4∶1的石油鉆桿進(jìn)行了模態(tài)分析，并通過縮比25.0%鉆桿試驗(yàn)測試檢驗(yàn)仿真分析的精度，所得主要結(jié)論如下：

(1)通過數(shù)值仿真分析，類似該型結(jié)構(gòu)的鉆桿，確保計(jì)算收斂、效費(fèi)比較高的單元劃分原則是,單元最長邊小于鉆桿長度的1/500，單元最短邊大于鉆桿長度的1/5 000，此時(shí)的模型精度為1.8%。獲得了效費(fèi)比高的單元劃分規(guī)模與劃分原則，可為鉆桿模態(tài)數(shù)值仿真分析提供參考與借鑒。

(2)采用數(shù)值仿真方法探討了原鉆桿、縮比25.0%和縮比12.5%鉆桿在自由邊界、兩端固支與自由-固支約束時(shí)的模態(tài)頻率以及對應(yīng)振型。研究結(jié)果表明，縮比鉆桿模態(tài)頻率正比于縮比比例，確定了幾何縮比與模態(tài)參數(shù)相似性的關(guān)系，為鉆桿縮比比例的選擇提供了理論支撐。

(3)綜合考慮試驗(yàn)振動臺能力與該型鉆桿的結(jié)構(gòu)尺寸，確定最佳縮比為25.0%。采用縮比為25.0%鉆桿試驗(yàn)與數(shù)值仿真的模態(tài)頻率進(jìn)行對比，結(jié)果相對誤差小于3.8%，檢驗(yàn)了鉆桿數(shù)值仿真的精度，為數(shù)值仿真方法在鉆桿模態(tài)分析的工程應(yīng)用提供了可行性保障。