二年級學(xué)生用除法解決問題的典型錯誤與對策

□湯飛梅

除法是重要的四則運算之一。二年級學(xué)生學(xué)習(xí)表內(nèi)除法時，要體會除法運算的含義，并學(xué)習(xí)用除法運算解決簡單的實際問題。從教材編排來看，“除法的初步認識”分為兩個層次。一是通過“每份同樣多”的實例和活動情境，幫助學(xué)生建立“平均分”的概念。教材通過讓學(xué)生參與平均分的活動，認識平均分的兩種不同情況：等分和包含。二是在建立“平均分”概念的基礎(chǔ)上引出除法運算的含義。除法運算包括“等分除”和“包含除”兩種情況。然而，由于二年級學(xué)生初學(xué)除法運算的含義，他們在用除法解決實際問題時，經(jīng)常會出現(xiàn)“除法運算與其他運算混淆”“條件信息與問題混淆”“等分除與包含除混淆”等典型錯誤?？苫趯W(xué)生的這些錯誤，有針對性地提出相應(yīng)的對策。

【錯誤類型一】思維定式，造成除法運算與其他運算混淆

圖1是檢測練習(xí)中的一組題目，解決問題中既有乘法，又有除法與減法。學(xué)生在一年級學(xué)習(xí)了加法和減法，二年級上冊的學(xué)習(xí)內(nèi)容主要是乘法，二年級下冊的學(xué)習(xí)內(nèi)容主要是除法。在解決問題中情境的相似性容易讓學(xué)生產(chǎn)生思維定式，造成運算混亂。如圖1中，學(xué)生解決第（4）題時就用了除法運算。這說明其對除法含義理解不透徹，對四則運算意義沒能很好地進行辨析。

圖1

【對策】由點到面，梳理四則運算之間的意義關(guān)系

教材中“除法”是通過“直觀或操作—文字敘述—算式”的方式編排的。在實際教學(xué)中教師需要根據(jù)學(xué)情進行調(diào)整，讓學(xué)生在理解除法含義的基礎(chǔ)上，整體構(gòu)建加減乘除四則運算之間的聯(lián)系。如人教版教材二年級下冊《用2～6的乘法口訣求商》例1，“12個桃，每只小猴分3個，可以分給幾只小猴”。在教學(xué)時，很多學(xué)生已經(jīng)能直接列算式12÷3=4。因此，教師要從“關(guān)注運算結(jié)果”調(diào)整為“呵護運算過程”，讓學(xué)生用自己的方法來證明為什么是12÷3=4。當(dāng)學(xué)生的答案中出現(xiàn)多種方法（如圖2）后，要引導(dǎo)他們進行溝通與關(guān)聯(lián)，呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)化表達（如圖2），幫助學(xué)生構(gòu)建四則運算之間的意義關(guān)系。

圖2

加減乘除四則運算的意義本質(zhì)上就是“分”與“合”。加法運算和乘法運算是“合”的過程，加法是不同加數(shù)的“合”，乘法是相同加數(shù)的“合”；減法運算和除法運算是“分”的過程，減法是從總數(shù)中分出一部分求另一部分，除法是把總數(shù)分成若干相同的數(shù)。教師教學(xué)除法運算時，可以有意識地讓學(xué)生體會四則運算意義之間的關(guān)聯(lián)性，從而實現(xiàn)運算的一致性（如圖3）。如讓學(xué)生先用乘法解決問題，“每4個蘋果裝一盤，有這樣的三盤，一共有幾個蘋果”。然后將該題改編成除法應(yīng)用問題，“有12個蘋果，每4個裝一盤，可以裝幾盤”。再用同樣的“蘋果裝盤”情境，編寫一道“12-4”的問題，“現(xiàn)有12個蘋果，裝成兩盤，其中一盤有4個，另一盤有幾個”。讓學(xué)生在比較中體悟四則運算之間的關(guān)系，明白除法中的“每份數(shù)”與減法中的“部分數(shù)”不同。

圖3

【錯誤類型二】審題不清，造成條件信息與問題的混淆

二年級學(xué)生對數(shù)學(xué)信息收集、挖掘、選擇、加工的能力比較薄弱，在解決問題中對數(shù)學(xué)信息的辨析能力不強。如圖4所示的題目中，左邊的圖式是8個桃子平均分成2份，求每份是幾個，已知量是總數(shù)8和份數(shù)2。右邊的圖式中是8個桃子，每2個一份，求可以分成幾份，已知量是總數(shù)8和每份數(shù)2。題目中的錯誤源于學(xué)生不能根據(jù)圖式分析數(shù)量關(guān)系，搞不清題目中已知量是什么，未知量是什么，它們之間有怎樣的關(guān)系。

圖4

【對策】凸顯數(shù)量關(guān)系，從理解意義到提煉結(jié)構(gòu)

一、用透教材，突出數(shù)量關(guān)系

培養(yǎng)學(xué)生收集、辨析、選擇信息的能力不是一蹴而就的，需要教師有意識地培養(yǎng)。其中，讓學(xué)生聯(lián)想信息之間的關(guān)系就是一種很好的培養(yǎng)方法。如人教版教材二年級下冊《用2～6的乘法口訣求商》例2，教師可以挖掘教材中的學(xué)習(xí)材料，用好用透教材。根據(jù)例題圖式，教師提供三個數(shù)學(xué)信息：①每屜裝4個包子；②裝了6屜；③一共有24個包子。讓學(xué)生選擇兩個數(shù)學(xué)信息作為條件，另一個數(shù)學(xué)信息變成問題。教師可以啟發(fā)學(xué)生利用三個數(shù)學(xué)信息編寫簡單的數(shù)學(xué)問題，并列式計算。

（1）條件信息：每屜裝4個包子，裝了6屜。

問題：一共有幾個包子？

算式：6×4=24（個）。

（2）條件信息：一共有24個包子，裝了6屜。

問題：每屜裝幾個包子？

算式：24÷6=4（個）。

（3）條件信息：一共有24個包子，每屜裝4個包子。

問題：裝了幾屜？

算式：24÷4=6（個）。

上面三個數(shù)學(xué)問題都可以用乘法口訣四六二十四求出來。在溝通聯(lián)系中，學(xué)生體會條件信息與問題之間的關(guān)系，理解數(shù)量關(guān)系。

二、提煉結(jié)構(gòu)，分析數(shù)量關(guān)系

對二年級學(xué)生而言，把握隱含的“數(shù)量關(guān)系”有一定的難度。通常“數(shù)量關(guān)系”隱含在具體情境中，教師教學(xué)中要注重讓學(xué)生在具體情境中感悟、體驗“問題”結(jié)構(gòu)。教師可以呈現(xiàn)上述錯例，讓學(xué)生“辨一辨、析一析”，在辨析過程中提煉顯性結(jié)構(gòu)“已知量相除等于未知量”（如圖5）。在這個過程中，教師要指導(dǎo)學(xué)生分析已知數(shù)量之間、已知數(shù)量與未知數(shù)量之間的關(guān)系，再根據(jù)運算的意義來選擇算法。如圖4，教師可以圍繞圖式引導(dǎo)學(xué)生進行自我提問：“圖中告訴我們哪些條件，要我們求什么問題？”“條件和問題有怎樣的關(guān)系？”讓學(xué)生學(xué)會分析數(shù)量關(guān)系從而解決問題。

圖5

【錯誤類型三】理解偏差，造成等分除與包含除混淆

在圖6中，左邊一題“平均分成6份”，不是6個6個圈，而是要根據(jù)每份3顆來圈。右邊一題“平均分成4份”，也不是4個4個圈，而是根據(jù)每份有2個西瓜來圈。不能根據(jù)“數(shù)字的先后呈現(xiàn)順序”來判斷“圈的個數(shù)”。

圖6

【對策】立足關(guān)聯(lián)，重視數(shù)學(xué)模型建立

一、解讀除法含義的本質(zhì)模型

在小學(xué)的第一學(xué)段，對除法概念本質(zhì)的理解就是“平均分”。在“平均分”的教學(xué)中，既要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注平均分的過程和分的方法，也要關(guān)注平均分的結(jié)果——每份同樣多。平均分物有兩種情況：一種知道要分的總數(shù)和平均分的份數(shù)，求每份數(shù)是多少（等分除）；一種知道要分的總數(shù)和每份數(shù)，求平均分的份數(shù)（包含除）。等分除中，可借助幾何直觀，幫助學(xué)生體會“幾份”的含義，如6份，可以用6個盤子、6個圈等表示。包含除中，可通過對一個盤里有幾個、一個盒子里有幾個、一個圈中有幾個等的觀察，體會“每份數(shù)”的含義。在對比辨析中，學(xué)生體會到兩種不同情況的平均分活動。

二、實施數(shù)學(xué)化過程，構(gòu)建算式模型

建模是一個過程，算式建模會經(jīng)歷以下過程。先從現(xiàn)實情境到直觀模型，再從直觀模型到抽象的算式模型，最后又從抽象的算式模型回到現(xiàn)實情境中進行檢驗（如圖7）。這個過程既體現(xiàn)了從現(xiàn)實情境、直觀模型到算式模型的數(shù)學(xué)化，又可以用算式模型來解釋現(xiàn)實情境和直觀模型。在這種“有來有回”的過程中，學(xué)生通過現(xiàn)實情境和直觀模型理解除法的意義，同時也學(xué)會了用除法解決問題的能力。

圖7

三、利用思維導(dǎo)圖，豐富學(xué)生多元表征

由除法算式聯(lián)想到的表征方式越豐富，學(xué)生對知識的理解也就越深刻。如教師出示除法算式24÷4，讓學(xué)生聯(lián)想不同的表征方式。這幅思維導(dǎo)圖（如圖8）是學(xué)生用“算式”“圖式”“含義”和“解決問題”等方式表征“24÷4”的含義。在多元表征的基礎(chǔ)上，教師要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言來表達“總數(shù)、每份數(shù)、份數(shù)”之間的數(shù)量關(guān)系。在學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達的過程中，他們通過不斷地對比，利用“總數(shù)、每份數(shù)、份數(shù)”之間的數(shù)量關(guān)系厘清“等分除”和“包含除”兩種情況，從不同角度理解了“24÷4”的含義。

圖8

通過以上一些策略的實施，學(xué)生會更加關(guān)注平均分的過程和結(jié)果。在解決問題時，學(xué)生能從已知信息與要解決的問題入手，正確分析數(shù)量關(guān)系；能用數(shù)學(xué)語言表達等分除和包含除的含義。教師要幫助學(xué)生體會除法運算的含義，使其學(xué)會用除法運算解決簡單的實際問題。