感悟推理思想 發(fā)展數(shù)學(xué)思維
——以“商的變化規(guī)律”為例談推理思想教學(xué)

□李培芳

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：“會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界是學(xué)生的核心素養(yǎng)之一，在小學(xué)階段，學(xué)生數(shù)學(xué)的思維主要表現(xiàn)為運(yùn)算能力和推理意識。”教師應(yīng)當(dāng)將發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力和推理意識貫穿于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的全過程，使其融入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個領(lǐng)域，以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。綜觀小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)中充溢著推理思想，包含著大量演繹推理和歸納推理的過程，是學(xué)生學(xué)習(xí)推理方法、積累推理經(jīng)驗(yàn)、發(fā)展推理意識、感悟推理思想的重要載體。本文管中窺豹，以“商的變化規(guī)律”為例，闡明在數(shù)學(xué)運(yùn)算中，如何引領(lǐng)學(xué)生感悟推理思想，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

一、經(jīng)歷從特殊到特殊的推理過程，感悟類比推理思想

類比推理是從特殊到特殊的推理，其思維模式是由此類到彼類的聯(lián)想。這種聯(lián)想不僅需要知識的積累，而且要具有豐富的想象。想象與聯(lián)想的思維方式是類比的方法，即如果兩類事物具有許多相同的性質(zhì)，就可以通過一類事物具有的性質(zhì)聯(lián)想另一類事物也具有相同的性質(zhì)。

引領(lǐng)學(xué)生感悟類比推理的思想，前提是要為學(xué)生創(chuàng)造類比推理的機(jī)會。在“商的變化規(guī)律”內(nèi)容的教學(xué)中，課伊始，教師創(chuàng)設(shè)了“孫悟空分香蕉”的情境（如圖1），引導(dǎo)學(xué)生思考：第幾次每只小猴子分得多？學(xué)生大多能想到，第一次比第二次分得多。教師追問：“你是怎么想的？”一般有三種想法。

圖1

第一種是分析方法，因?yàn)樾『镒拥臄?shù)量第一次比第二次少，所以第一次就分得多了。

第二種是舉例方法，假如分的是6根香蕉，第一次分給3只猴子，每只猴子能分到2根，第二次分給6只猴子，每只猴子只能分到1根，所以是第一次每只猴子分得多。

第三種是類比方法，就像分蛋糕，人多了，分得就少了。

在這個過程中，學(xué)生的想法都是推理，雖然他們并沒有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乇磉_(dá)自己推理的過程（教師也不應(yīng)當(dāng)作統(tǒng)一要求），但是學(xué)生頭腦中的思考過程就是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^程。值得一提的是第三種方法，學(xué)生運(yùn)用的是典型的類比推理的方法。對第三種方法，教師給出如下的評價：“這個道理很簡單，生活中很常見，確實(shí)是這樣的，同樣多的東西，分的人多了，每個人分到的東西肯定就少了。這是常識，每個人都懂。這個生活常識還可以幫助我們解決數(shù)學(xué)上的問題?！苯處煹脑u價里，暗含著對類比推理在方法上的引導(dǎo)和在價值上的倡導(dǎo)。

由此，教師創(chuàng)設(shè)的這個情境成了本內(nèi)容教學(xué)重要的平臺、依托和載體。這個看起來非常簡單的情境，可以在學(xué)生理解問題出現(xiàn)困惑的時候，幫助他們進(jìn)行類比推理。這個情境具有教學(xué)指導(dǎo)的價值，是一個巧妙的設(shè)計。

右心功能的評價指標(biāo)主要包括RAA、RVDd、ΔIVC、RVESV、RVEDV及RVEF。本研究中比較了AF患者分別經(jīng)RT-3DE和CU檢測的右心功能指標(biāo)，結(jié)果顯示，RT-3DE檢測結(jié)果中RVESV、RVEDV值明顯高于CU檢測值，RVEF值明顯低于CU檢測值，表明RT-3DE檢測數(shù)據(jù)更好顯示出患者的右心收縮功能減弱。

在接下來的探究環(huán)節(jié)中，教師讓學(xué)生猜一猜（如圖2）：從上往下第1個笑臉背后的數(shù)可能是多少？有的學(xué)生認(rèn)為是96，有的學(xué)生認(rèn)為是24。在交流中，有學(xué)生說道：“可以用猴子分香蕉的例子來想，11變成22，就是猴子變多了，那么每只猴子分到的香蕉就會變少，所以96肯定不對，應(yīng)該是24?！边@個學(xué)生運(yùn)用的就是類比推理。

圖2

類比推理是基于“聯(lián)想”的推理，在思維方式上有“跳躍”“飛出去”的感覺，引導(dǎo)學(xué)生感悟類比推理思想可以從以下幾方面著手：一是多為學(xué)生創(chuàng)造類比推理的機(jī)會，讓學(xué)生不斷積累類比推理的經(jīng)驗(yàn)。二是外化學(xué)生類比推理的過程，讓更多的學(xué)生看到“聯(lián)想”與“想象”的過程。三是讓學(xué)生感受類比推理的價值，類比推理的運(yùn)用能讓學(xué)生快速地發(fā)現(xiàn)方法和規(guī)律，從而有效地解決問題，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)思維的神奇美妙。

類比推理是追求“事實(shí)”的推理，是“發(fā)現(xiàn)”知識的推理，其結(jié)論具有或然性。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)創(chuàng)設(shè)適宜的情境讓學(xué)生學(xué)習(xí)類比推理，感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的“高峰體驗(yàn)”。

二、經(jīng)歷從一般到特殊的推理過程，感悟演繹推理思想

演繹推理是從一般到特殊的推理，其思維模式主要有三段論、完全歸納法、反證法等，演繹推理的思維基礎(chǔ)是定義和命題。由于小學(xué)生處于具體運(yùn)算階段，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中定義和命題只要求學(xué)生理解，不要求學(xué)生作嚴(yán)格意義上的表述，這一點(diǎn)教師應(yīng)特別注意。換言之，小學(xué)階段學(xué)生演繹推理的培養(yǎng)應(yīng)當(dāng)“重實(shí)質(zhì)而輕形式”。史寧中教授認(rèn)為：“數(shù)學(xué)計算屬于演繹推理，通過數(shù)學(xué)計算得到的結(jié)果是必然成立的?！睌?shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生演繹推理的重要途徑。

在“商的變化規(guī)律”的教學(xué)中，教師設(shè)計了如圖3的“猜一猜”的活動，讓學(xué)生猜測從上往下第1個笑臉背后的數(shù)是多少。有的同學(xué)認(rèn)為是3，有的同學(xué)認(rèn)為是12。這兩種答案都是基于假定命題的演繹推理。

圖3

認(rèn)為第1個笑臉答案是3的同學(xué)，他們的推理過程是這樣的。

大前提：除數(shù)不變，被除數(shù)乘幾，商就除以幾。（前一結(jié)論的負(fù)遷移）

小前提：本題中，除數(shù)不變，被除數(shù)乘2。

結(jié)論：商就除以2，所以答案是3。

認(rèn)為答案是12的同學(xué)，其思維過程是一樣的，也是演繹推理的過程。史寧中教授認(rèn)為，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時，只要邏輯自洽，前后一致，即便結(jié)論錯誤，也是應(yīng)當(dāng)予以肯定的。這里強(qiáng)調(diào)的是推理本身的意義，從育人價值的角度看，推理意識、推理能力、推理思想之于一個人的意義是超越具體知識的。這一環(huán)節(jié)中認(rèn)為答案是3的同學(xué)結(jié)論顯然是錯的，錯在大前提，但其推理過程是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?。這樣的過程雖然結(jié)論錯誤，但是對于學(xué)生形成重論據(jù)、合乎邏輯的思維品質(zhì)是有益處的。

在揭曉第1個笑臉的答案是12之后，教師引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考第2個笑臉背后是幾。很多同學(xué)脫口而出“24”，這是教師有意設(shè)置的思維陷阱。雖然答案是錯的，但是其思維過程仍然是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[推理過程。錯誤出在小前提：被除數(shù)從444到666并非乘2，而是乘1.5，或與第一個算式作對比，被除數(shù)從222到666是乘3。在這樣的過程中，學(xué)生一方面發(fā)展了推理意識和推理能力，同時也感悟到“推理結(jié)論正確的條件是大前提和小前提必須正確”。這些從經(jīng)驗(yàn)中獲得的感悟?qū)τ趯W(xué)生發(fā)展推理意識是非常重要的。

在本內(nèi)容教學(xué)的最后，教師引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光，到生活中去尋找這樣的規(guī)律。有的同學(xué)想到分蛋糕，有的同學(xué)想到食堂分餐等。隨后，教師出示圖4，讓學(xué)生解釋：“為什么會僧多粥少？”學(xué)生都能想到，一大鍋粥的總量是被除數(shù)，它是不變的，來的和尚越多，就相當(dāng)于除數(shù)變大，每個和尚分到碗里的粥相當(dāng)于商，就會變小。這是演繹推理的過程。雖然學(xué)生的表達(dá)不是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)娜握?，但是其推理過程是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)娜握摗?/p>

圖4

演繹推理是基于“形式”的推理，在思維方式上強(qiáng)調(diào)“邏輯”。教師引導(dǎo)學(xué)生感悟演繹推理思想，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：一是注重讓學(xué)生進(jìn)行充分的數(shù)學(xué)表達(dá)，彰顯演繹推理邏輯的嚴(yán)密性，同時也要讓學(xué)生在數(shù)學(xué)表達(dá)中完善自己的推理過程。二是注重讓學(xué)生感悟演繹推理所獲得結(jié)論的確定性，感受演繹推理的價值。三是注重讓學(xué)生反思其推理過程，強(qiáng)化演繹推理的模式，在不斷地強(qiáng)化中實(shí)現(xiàn)內(nèi)化。

演繹推理是追求“形式”的推理，是“驗(yàn)證”知識的推理，其結(jié)論具有必然性。在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)盡量為學(xué)生創(chuàng)造演繹推理的機(jī)會，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)證明的歷程。

三、經(jīng)歷從特殊到一般的推理過程，感悟歸納推理思想

歸納推理是從特殊到一般的推理，是人們在日常生活中經(jīng)常使用的推理形式，是一種比演繹推理更為“自然”的推理。歸納推理的本質(zhì)是從經(jīng)驗(yàn)過的東西中推斷未曾經(jīng)歷過的東西，從事物的過去推斷事物的未來，是一種創(chuàng)造性的思維模式?，F(xiàn)行的小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，大多數(shù)規(guī)則（定律、性質(zhì)、法則、公式等）都是通過歸納推理得出的。本文所闡述的歸納推理是基于一個類的歸納推理（以與基于兩個類的類比推理區(qū)分開來）。

在“商的變化規(guī)律”的教學(xué)中，讓學(xué)生猜一猜算式的結(jié)果，得出圖5的三個算式后，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察算式中被除數(shù)、除數(shù)和商，思考“什么變了，什么沒有變”。學(xué)生通過觀察、比較，發(fā)現(xiàn)三個算式都是“被除數(shù)不變，除數(shù)乘2，商就除以2”，由此提出以下猜想。

圖5

猜想一：是不是在所有的除法算式中，被除數(shù)不變，除數(shù)乘2，商就除以2。

猜想二：是不是在所有的除法算式中，被除數(shù)不變，除數(shù)乘幾，商就除以幾。

這兩個猜想是通過歸納推理產(chǎn)生的，它是從幾個具體算式直接推斷一類算式的性質(zhì)。緊接著，教師引導(dǎo)學(xué)生用舉例的方式，對自己的猜想進(jìn)行驗(yàn)證，最終獲得結(jié)論。當(dāng)然，最終結(jié)論仍然是建立在有限的例子之上，而非窮盡所有例子。由于小學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平，學(xué)生往往會將不完全歸納的結(jié)論視為必然性結(jié)論，這是學(xué)習(xí)的階段性決定的。

史寧中教授指出：“歸納推理的思維基礎(chǔ)是類，其思維過程是動態(tài)的?！币韵陆虒W(xué)過程很好地體現(xiàn)了這一觀點(diǎn)。

在得出第一條規(guī)律“被除數(shù)不變，除數(shù)乘幾，商就除以幾”之后，教師引導(dǎo)學(xué)生思考，這里的乘幾到底是乘幾？學(xué)生回答，乘任何數(shù)都可以。教師通過有序的“對口令”的方式追問：如果除數(shù)乘5（商就除以5）；除數(shù)乘4（商就除以4）；除數(shù)乘3（商就除以3）；除數(shù)乘2（商就除以2）；除數(shù)乘1（商就除以1）……至此，教師戛然而止，不往下說了，靜靜地看著學(xué)生。不一會兒，就有學(xué)生反應(yīng)過來，急忙說：“不行，乘0就不行了?！薄俺?，除數(shù)變成0，就沒有意義了?！苯處熞龑?dǎo)學(xué)生思考：“辛辛苦苦發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，被這個0輕而易舉就給推翻了，怎么辦？”學(xué)生們經(jīng)過討論，一致認(rèn)為，只要在結(jié)論中加上“0除外”就可以了。此時，教師稱贊學(xué)生：“真聰明啊，我們退一步，不要任何數(shù)了，給任何數(shù)加個限制——0除外，就可以了?！?/p>

在這一教學(xué)過程中，我們可以直觀地看到，歸納推理的思維過程是動態(tài)的，當(dāng)其思維對象的整個大類沒有滿足相同特征或共同屬性時，可以縮小類。即上述教學(xué)中的將“任何數(shù)”的這一大類縮小為“0除外的任何數(shù)”，從而確保推理結(jié)果在當(dāng)前例子上的正確性。

同樣，在第二條規(guī)律的教學(xué)中，學(xué)生通過“除數(shù)不變的三個算式”，得出結(jié)論“在除法算式中，除數(shù)不變時，被除數(shù)乘幾，商就乘幾”的過程，也是借助歸納推理，不再贅述。

歸納推理是基于“經(jīng)驗(yàn)”的推理，在思維方式上有“謹(jǐn)慎”而又“果敢”的特征。在進(jìn)行歸納推理的過程中，學(xué)生在無法窮盡一切的情況下，總是努力找出各種不同的情況，以使結(jié)論更“可靠”，然而不完全歸納推理終究是或然性推理，其得出結(jié)論的過程是需要幾分果斷的。由此可見，不同的推理方式有不同的育人價值。引導(dǎo)學(xué)生感悟歸納推理思想，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：一是不輕易下結(jié)論，要將結(jié)論建立在盡量多的例證上。二是對結(jié)論要保持警惕與審慎，猜想之后要驗(yàn)證應(yīng)當(dāng)成為一種思維習(xí)慣。三是學(xué)會用“縮小類”或“弱化性質(zhì)”的方式調(diào)整歸納推理的結(jié)論。

歸納推理是追求“事實(shí)”的推理，是“發(fā)現(xiàn)”知識的推理，其結(jié)論具有或然性。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)盡量為學(xué)生創(chuàng)造歸納推理的機(jī)會，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)思維的“理智歡樂”。

綜觀本內(nèi)容的設(shè)計，最為巧妙的是將演繹推理與合情推理運(yùn)用在學(xué)習(xí)的整個過程中，甚至讓學(xué)生在一個問題的思考中，同時運(yùn)用不同的推理方法。以第一條規(guī)律的教學(xué)為例，在圖6中，當(dāng)學(xué)生想出從上往下第1個笑臉背后的數(shù)是24，借助的是類比推理，其思維過程是這樣的：除數(shù)變大就相當(dāng)于“孫悟空分香蕉”時“猴子變多了，每只猴子分得的香蕉會變少”。由此類比出這樣的假定性命題：“被除數(shù)不變，除數(shù)乘2，商反而除以2”。

圖6

從這個假定的命題出發(fā)，除數(shù)乘2，商應(yīng)該是48÷2，得24。即第1個笑臉背后的數(shù)是24，這里借助的是演繹推理。

緊接著思考第3個笑臉背后的數(shù)，仍然是基于假定性命題的演繹推理。

最后通過三個算式形成猜想，并舉例驗(yàn)證的過程，借助的是歸納推理。

本文以“商的變化規(guī)律”的教學(xué)為例，談如何引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“推理思想的感悟、推理意識的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)思維的發(fā)展”的過程。值得我們進(jìn)一步思考的是，數(shù)學(xué)課程中所有內(nèi)容的學(xué)習(xí)都需要滲透推理思想。教師應(yīng)當(dāng)在數(shù)學(xué)教學(xué)中幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)推理的經(jīng)驗(yàn)，感受數(shù)學(xué)推理的價值，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)推理的思想，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，逐步讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界。