三線擺不同材質(zhì)擺線對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響

王帥坤，吉曉瑞，呂柳杏，牛俊翔，王興云，祁遇時(shí)

(1.沈陽(yáng)工程學(xué)院 自動(dòng)化學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110136；2.沈陽(yáng)工程學(xué)院 基礎(chǔ)部/美育中心，遼寧 沈陽(yáng) 110136；3.沈陽(yáng)工程學(xué)院 電力學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110136)

三線擺測(cè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)室常見(jiàn)的力學(xué)實(shí)驗(yàn)，啟動(dòng)盤(pán)與懸盤(pán)之間用三根擺線連接，旋轉(zhuǎn)啟動(dòng)盤(pán)，由擺線帶動(dòng)懸盤(pán)做周期性的小角度擺動(dòng)。三線擺實(shí)驗(yàn)儀有不同的型號(hào)和樣式，周期測(cè)量方式用多功能毫秒儀，起初為霍爾效應(yīng)方式記周期，后來(lái)?yè)Q成光感方式記周期。就儀器本身而言，無(wú)論哪種型號(hào)，機(jī)械和電子設(shè)備精度都很高，物體的質(zhì)量和相關(guān)長(zhǎng)度的測(cè)量誤差也非常小。誤差產(chǎn)生的主要原因是操作方法和擺線問(wèn)題而引起的。擺角的大小[1,2]、擺線的長(zhǎng)度[3,4]、懸盤(pán)半徑與擺線長(zhǎng)度比等問(wèn)題[5,6]，都會(huì)引起實(shí)驗(yàn)誤差。為三線擺儀器加裝角度控制裝置，會(huì)減小實(shí)驗(yàn)誤差[7]，擺線的材質(zhì)和伸長(zhǎng)也會(huì)對(duì)實(shí)驗(yàn)誤差產(chǎn)生影響。用魚(yú)線和尼龍線作為擺線，測(cè)量不同物體在質(zhì)量不斷增加過(guò)程中擺線的拉伸情況和結(jié)果誤差的大小。

1 實(shí)驗(yàn)公式

實(shí)驗(yàn)原理、操作過(guò)程及儀器如文獻(xiàn)[7]所示，懸盤(pán)擺角控制在15°～20°之間，懸盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式為

(1)

懸盤(pán)上放置物體后，物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

(2)

式中H為啟動(dòng)盤(pán)到懸盤(pán)的垂直距離，J0為懸盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，J物為物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，m0為懸盤(pán)的質(zhì)量，m物為物體的質(zhì)量，g為重力加速度，r0為懸盤(pán)懸線到盤(pán)中心的距離，r0為啟動(dòng)盤(pán)懸線到盤(pán)中心的距離，T0為懸盤(pán)的空載振動(dòng)周期平均值，T物為物體的振動(dòng)周期平均值。公式中周期T的測(cè)量誤差對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響最大。百分誤差計(jì)算公式為

(3)

2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)量及作圖

2.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)量與計(jì)算

分別用魚(yú)線和尼龍線作為擺線進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。圖1為被測(cè)懸盤(pán)、圓環(huán)和電木盤(pán)，用測(cè)直徑D代替測(cè)半徑對(duì)上述物體各項(xiàng)數(shù)據(jù)進(jìn)行測(cè)量，列在表1中。用多功能毫秒儀時(shí)間累積法測(cè)周期，表2為懸盤(pán)周期的5次測(cè)量值，每次測(cè)量20個(gè)周期算出平均值，根據(jù)(1)和(3)式以及懸盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量理論值計(jì)算公式算出懸盤(pán)的百分誤差。

圖1 被測(cè)懸盤(pán)、圓環(huán)和電木盤(pán)

表1 各物體幾何參數(shù)測(cè)量

表2 魚(yú)線擺懸盤(pán)的周期測(cè)量和百分誤差

按照表2的方式以及(2)式，測(cè)量和計(jì)算圓環(huán)和電木盤(pán)從1個(gè)增加到6個(gè)時(shí)的周期，忽略擺線伸長(zhǎng)，計(jì)算ERA。魚(yú)線擺增加到6個(gè)物體時(shí)，用游標(biāo)卡尺量出放置圓環(huán)，懸盤(pán)共下降2.40 mm，設(shè)懸盤(pán)均勻下降，即放置1個(gè)圓環(huán)懸盤(pán)下降0.40 mm，放置電木盤(pán)，懸盤(pán)下降1.80 mm，即放置1個(gè)電木盤(pán)懸盤(pán)下降0.30 mm。尼龍擺懸盤(pán)放置6個(gè)圓環(huán)下降1 140.00 mm，平均放置1個(gè)下降1.90 mm，放置6個(gè)電木盤(pán)下降100.00 mm，平均放置1個(gè)下降1.67 mm，再次計(jì)算ERB，將上述結(jié)果列于表3中。

表3 圓環(huán)和電木盤(pán)質(zhì)量增加過(guò)程周期平均值及百分誤差

2.2 繪制圖形

分別繪制出魚(yú)線擺線和尼龍擺線的物體數(shù)量增加與周期和百分誤差之間的關(guān)系曲線，如圖2和圖3所示。

物體數(shù)量/個(gè)

物體數(shù)量/個(gè)

3 結(jié)果分析

從剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)公式可知，周期的測(cè)量對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響最為明顯[8]。從圖2可見(jiàn)，無(wú)論是那種擺線，隨著圓環(huán)數(shù)量的增加，擺動(dòng)周期逐漸增大，隨著電木盤(pán)數(shù)量的增加，擺動(dòng)周期逐漸減小。這是因?yàn)楦鶕?jù)物體的質(zhì)量分布情況，可以將任何物體都等效成一個(gè)細(xì)棒繞一端軸轉(zhuǎn)動(dòng)，細(xì)棒的等效質(zhì)心距離轉(zhuǎn)軸的距離即為回轉(zhuǎn)半徑。圓環(huán)的回轉(zhuǎn)半徑大于懸盤(pán)的回轉(zhuǎn)半徑，所以擺動(dòng)周期T環(huán)>T0，電木盤(pán)的回轉(zhuǎn)半徑小于懸盤(pán)的回轉(zhuǎn)半徑，所以擺動(dòng)周期T木

從圖3(a)中可見(jiàn)，尼龍擺的誤差要遠(yuǎn)大于魚(yú)線擺的誤差，原因是魚(yú)線的楊氏模量大于尼龍線的樣式模量，也就是魚(yú)線更硬一些，張力傳遞更好[12]。尼龍擺放置1個(gè)圓環(huán)擺線就已經(jīng)被拉緊，周期測(cè)量此時(shí)最準(zhǔn)確，但放置2個(gè)圓環(huán)，擺線迅速失去彈性，測(cè)量誤差迅速增加。魚(yú)線擺放置3個(gè)圓環(huán)時(shí)，誤差在不加絕對(duì)值時(shí)出現(xiàn)了負(fù)值，這并不是實(shí)驗(yàn)誤差在減小。只要操作規(guī)范儀器測(cè)量的周期一定要比理論周期大，實(shí)測(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一定比理論值大，誤差不應(yīng)該出現(xiàn)負(fù)數(shù)值。出現(xiàn)負(fù)值的原因是懸盤(pán)在多次上下運(yùn)動(dòng)過(guò)程中出現(xiàn)了擺線共振[13,14]，在懸盤(pán)改變運(yùn)動(dòng)方向時(shí)擺線恢復(fù)力較大，加速了懸盤(pán)的運(yùn)動(dòng)，致使周期明顯變小，結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤。圖3(b)中魚(yú)線擺在放2個(gè)電木盤(pán)時(shí)也出現(xiàn)了此種情況。隨著電木盤(pán)質(zhì)量都增加，誤差迅速增大，表現(xiàn)為曲線下降，魚(yú)線擺后半段曲線表現(xiàn)明顯。尼龍擺曲線如果繼續(xù)延長(zhǎng)，趨勢(shì)會(huì)和魚(yú)線走勢(shì)相似。整體而言，楊氏模量大的擺線可以保持在更大的被測(cè)質(zhì)量范圍內(nèi)有較小的誤差。

4 結(jié) 語(yǔ)

擺線的材質(zhì)對(duì)測(cè)量結(jié)果影響非常明顯，選擇楊氏模量較大的擺線實(shí)驗(yàn)結(jié)果更準(zhǔn)確。在擺線伸長(zhǎng)較小的情況下，可以忽略擺線伸長(zhǎng)，但擺線伸長(zhǎng)超過(guò)2 mm后，會(huì)引入較大的實(shí)驗(yàn)誤差。擺線在拉緊狀態(tài)下，由于張力傳遞順暢，實(shí)驗(yàn)誤差小。在物體質(zhì)量增加時(shí)，會(huì)出現(xiàn)擺線共振情況，致使周期測(cè)量偏小，誤差增大?；剞D(zhuǎn)半徑越大的物體，周期越大。