三維可壓縮Navier-Stokes-Allen-Cahn 方程組Cauchy 問(wèn)題的適定性

王 靜 侯東杰 陳亞洲

(北京化工大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 北京 100029)

引 言

具有擴(kuò)散界面的非混相兩相流模型描述了兩種不同流體的流動(dòng)及流體間擴(kuò)散界面的運(yùn)動(dòng),其相關(guān)研究成果廣泛應(yīng)用于航空航天、水利工程、化學(xué)工程等領(lǐng)域。 因此,針對(duì)兩相流的擴(kuò)散界面模型進(jìn)行研究具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。

關(guān)于描述單一流體運(yùn)動(dòng)的Navier-Stokes 方程的研究已有不少。 相比于單相流,兩相流之間存在相互作用和擴(kuò)散界面,其模型的建立與分析更為復(fù)雜。 Van der Waals[1]最先將互不相溶的兩相流之間的界面視為一個(gè)有厚度的界面層。 之后,Blesgen[2]將描述單一流體流動(dòng)的Navier-Stokes 方程和描述兩種流體在其分界面相互作用的Allen-Cahn 方程耦合在一起,提出了Navier -Stokes -Allen -Cahn(NSAC)方程組。 關(guān)于一維NSAC 模型的數(shù)學(xué)研究結(jié)果已有很多,Chen 等[3]證明了初始真空狀態(tài)下強(qiáng)解和經(jīng)典解的存在唯一性;Ding 等[4]考慮了NSAC方程組的自由邊界問(wèn)題,證明了強(qiáng)解的存在唯一性;孫穎等[5]證明了NSAC 方程組周期邊值問(wèn)題整體解的存在性;Chen 等[6]證明了非等熵NSAC 方程組初邊值問(wèn)題存在唯一的全局強(qiáng)解;Feireisl 等[7]、Chen等[8]證明了三維可壓縮NSAC 模型弱解的存在性。

本文研究三維可壓縮Navier -Stokes-Allen-Cahn 方程組的Cauchy 問(wèn)題。 與前人考慮的初始條件不同,我們假設(shè)相場(chǎng)(即組分濃度差φ)在無(wú)窮遠(yuǎn)處趨于1 或-1 兩種狀態(tài)。 因此,除了克服NSAC方程組的強(qiáng)非線性和耦合性,還需要估計(jì)φ2-1 所帶來(lái)的困難項(xiàng)。 針對(duì)此類Cauchy 問(wèn)題,本文在初始小擾動(dòng)的假設(shè)條件下通過(guò)能量方法證明了全局強(qiáng)解的存在唯一性。

1 問(wèn)題的提出及主要定理

可壓縮非混相兩相流的流動(dòng)通常由以下的NSAC 非線性偏微分方程組描述

式中,ρ=ρ1+ρ2表示混合流體的總密度;u表示流速,且ρu=ρ1u1+ρ2u2,ρi、ui(i=1,2)分別為第i種組分的密度和流速;φ=φ1-φ2表示組分間的濃度差,其中φi=ρi/ρ;μ表示化學(xué)勢(shì);f表示界面自由能密度。 Cauchy 應(yīng)力張量T表示為

本文研究的問(wèn)題的初始條件為

本文的主要結(jié)論如下。

定理1假設(shè)初始值(ρ0,u0,φ0)滿足條件

有以下兩點(diǎn)需要注意:①式(6)結(jié)合Sobolev 嵌入定理,δ足夠小時(shí),有,其物理意義為在初始時(shí)刻, (兩相流出現(xiàn)分層且分層區(qū)域 即＜)的測(cè)度為零;②記‖·‖=‖·‖L2。

2 主要定理的證明

定理1 中證明全局解的存在性的方法:首先證明局部解的存在性,再利用能量估計(jì)的方法得到解的一致估計(jì),最后延拓到全局解的存在性。 在證明過(guò)程中,不僅要估計(jì)‖(ρ-,u)‖H3+ ‖Δφ‖H2,還要估計(jì)‖φ2-1‖。 為克服這些難點(diǎn),在先驗(yàn)估計(jì)中需要假設(shè)‖(ρ0-,u0)‖H3+‖Δφ0‖H2和‖-1‖均具有小性。

2.1 局部解的存在性

首先,證明局部解的存在性。

由經(jīng)典的Schauder 不動(dòng)點(diǎn)方法得到如下命題。

2.2 全局解的存在性

接著,將方程組(1)寫成如下的線性化形式。

其中,非齊次項(xiàng)g1和g2的定義為

式(10)中第二個(gè)式子推導(dǎo)過(guò)程中用到

由定義的解空間(9),結(jié)合Sobolev 嵌入定理可知,存在M0＞0,使得?0 ＜M＜M0,有

命題2假設(shè)(ρ0,u0,φ0) 滿足(σ0,u0) ∈H3(R3),-1∈L2(R3),對(duì)?T＞0,設(shè)(σ,u,φ)∈Xm,M([0,T])為方程組(10)的局部解,則存在一個(gè)只依賴于初值和T的常數(shù)C,使得

命題2 可由以下4 個(gè)引理得到。

引理1設(shè)(σ,u,φ)∈Xm,M([0,T])為方程組(10)的局部解,有

證明:

定義

由式(15)和質(zhì)量守恒方程得到

用式(1)中第二個(gè)式子乘以u(píng),關(guān)于空間變量x積分,有

式(10)中第三個(gè)式子乘以μ,結(jié)合式(10)中第四個(gè)式子,關(guān)于x積分,利用分部積分得到

將式(16)和式(17)相加,得到

由式(9)、式(11)、式(15)得到

將式(18)在[0,T]上積分,結(jié)合式(19)可得

于是有

因此可得到

利用式(21)得到

由式(22)和式(20),得到式(14)。

接著,用式(10)中第四個(gè)式子乘以-Δφ,再關(guān)于x積分,有

利用式(9)、式(11)和H?lder 不等式得

將Ii(i=1,2,3)代入式(23),當(dāng)M適當(dāng)小時(shí),有

聯(lián)合式(24)與式(20)得到式(13),引理1得證。

引理2 設(shè)(σ,u,φ)∈Xm,M([0,T])為方程組(10)的局部解,有

證明:結(jié)合式(10)中第三式和第四式,可以得到

利用萊布尼茨公式、H?lder 不等式和Gagliardo-Nirenberg 不等式,可估計(jì)I4為

因此,可得到

接下來(lái),對(duì)I5進(jìn)行估計(jì)。

于是得到

逐項(xiàng)估計(jì)可得

如果k=0, 有

如果k=1,有

如果k≥2,利用萊布尼茨公式、H?lder 不等式和Gagliardo-Nirenberg 不等式,有

引理3設(shè)(σ,u,φ)∈Xm,M([0,T])為方程組(10)的局部解,有

證明:對(duì)式(10)中第一個(gè)式子和第二個(gè)式子求Δk,再乘以Δku,兩式相加后,關(guān)于空間變量x積分,得

因此,可得到

同樣可以得到

將以上估計(jì)代入式(33)有

將式(34)代入式(32),就可以得到式(31),引理3 得證。

引理4設(shè)(σ,u,φ)∈Xm,M([0,T])為方程組(10)的局部解,有

根據(jù)文獻(xiàn)[9]中的引理2.2,可以估計(jì)Ii8(i=1,2,3)為

如果k=0,有

如果k≥1,有

因此,

同樣可以得到

將以上估計(jì)代入式(37),有

將式(38)代入式(36),得到式(35),引理4 得證。 結(jié)合引理1 ～4,命題2 得證,進(jìn)一步定理1得證。

3 結(jié)束語(yǔ)