進行不等式運算 “同解變形”是關(guān)鍵

田加貴

(云南師范大學(xué)附屬中學(xué) 650106)

高一學(xué)生在剛進入高中學(xué)習(xí)時，學(xué)習(xí)了一些簡單的不等式知識，對于不等式的性質(zhì)和運算往往用等式的性質(zhì)和運算來操作，而且出現(xiàn)了錯誤后還不清楚錯在什么地方，筆者近期在為學(xué)生布置課后練習(xí)時，有這樣一道練習(xí)題：

題目已知實數(shù)a,b滿足-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4.

(1)求實數(shù)a,b的取值范圍;

(2)求3a-2b的取值范圍.

對于這道練習(xí)題，有的學(xué)生做出了結(jié)果，但解答是不正確的，有些學(xué)生解答的結(jié)果本身就是錯誤的，這些學(xué)生還不知道是為什么，自已也找不出原因，這究竟是怎么回事呢？下面列舉兩種典型的錯誤作一點分析，并對原題給出幾種解答，僅供參考.

錯解1(1) 因為 -3≤a+b≤2，

①

-1≤a-b≤4，

②

①+②，得-4≤2a≤6.

即-2≤a≤3.

所以實數(shù)a的取值范圍為[-2,3].

由②得 -4≤-a+b≤1.

③

①+③,得 -7≤2b≤3.

(2) 由(1)有 -2≤a≤3.

即-6≤3a≤9 .

④

由(1)有 -7≤2b≤3 .

即-3≤-2b≤7 .

⑤

④+⑤,得-9≤3a-2b≤16.

所以3a-2b的取值范圍為[-9,16].

錯解2 (1) 同上(略).

(2) 由(1)有 -2≤a≤3.

⑥

由②得-2≤2a-2b≤8.

⑦

⑥+⑦,得-4≤3a-2b≤11.

所以3a-2b的取值范圍為[-4,11].

錯誤原因1 對于(1)問，在進行一些同向不等式相加時, 不是同解變形.

由于結(jié)果是單獨要求實數(shù)a,b的取值范圍，所以無可厚非.

對于(2)問，由于在運算中，應(yīng)用了(1)問的非同解變形的結(jié)果或再一次進行了非同解變形運算，從而造成錯誤解答. 也就是說不應(yīng)當(dāng)利用擴大了范圍的結(jié)果或行為進行后續(xù)運算.

錯誤原因2 前一解法的(2)問，屬于推理錯誤，結(jié)果錯誤；后一解法的(2)問，屬于推理錯誤，結(jié)果正確.

錯誤原因3 前一解法的(2)問，得到

不妨取a=3，b=1，則有a+b=4.

顯然不滿足-3≤a+b≤2.

后一解法的(2)問，也是利用了由

-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4,

得到-4≤2a≤6.即-2≤a≤3.

這種在非同解變形的條件下，表面上得到了正確結(jié)果，但這只是一種巧合而已.因為a并不能在[-2,3]上任意取值，這是由于b還不確定；再者如果按照這種推理，由-2≤a≤3 得-3≤-a≤2， 又由-3≤-a≤2和-3≤a+b≤2可得-6≤b≤4，這樣由-2≤a≤3和-6≤b≤4可得-8≤a+b≤7，這還是-3≤a+b≤2嗎？

正解1 (1) 同上(略).

(2)(待定系數(shù)法)

設(shè)3a-2b=m(a+b)+n(a-b)

=(m+n)a+(m-n)b，

所以3a-2b的取值范圍為[-4,11].

正解2 (1) 同上(略).

(2)(換元法)

設(shè)a+b=A，a-b=B， 則

-3≤A≤2，-1≤B≤4.

所以3a-2b的取值范圍為[-4,11].

正解3 (1) 同上(略).

(2)(構(gòu)造法)

因為以上三點其任意兩點連線斜率相等, 即

即-4≤3a-2b≤11.

正解4 (1) 同上(略).

(2)(數(shù)形結(jié)合法)

因為在平面直角坐標(biāo)系aOb中，滿足不等式-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4的實數(shù)a,b的值構(gòu)成的點(a,b)形成圖1陰影區(qū)域.

圖1 圖2

令k=3a-2b，

當(dāng)a=-2，b=-1時，得

kmin=3×(-2)-2×(-1)=-4.

當(dāng)a=3，b=-1時，得

kmax=3×3-2×(-1)=11.

所以 -4≤k≤11.

即-4≤3a-2b≤11.