田加貴
(云南師范大學(xué)附屬中學(xué) 650106)
高一學(xué)生在剛進(jìn)入高中學(xué)習(xí)時(shí),學(xué)習(xí)了一些簡單的不等式知識,對于不等式的性質(zhì)和運(yùn)算往往用等式的性質(zhì)和運(yùn)算來操作,而且出現(xiàn)了錯誤后還不清楚錯在什么地方,筆者近期在為學(xué)生布置課后練習(xí)時(shí),有這樣一道練習(xí)題:
題目已知實(shí)數(shù)a,b滿足-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4.
(1)求實(shí)數(shù)a,b的取值范圍;
(2)求3a-2b的取值范圍.
對于這道練習(xí)題,有的學(xué)生做出了結(jié)果,但解答是不正確的,有些學(xué)生解答的結(jié)果本身就是錯誤的,這些學(xué)生還不知道是為什么,自已也找不出原因,這究竟是怎么回事呢?下面列舉兩種典型的錯誤作一點(diǎn)分析,并對原題給出幾種解答,僅供參考.
錯解1(1) 因?yàn)?-3≤a+b≤2,
①
-1≤a-b≤4,
②
①+②,得-4≤2a≤6.
即-2≤a≤3.
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-2,3].
由②得 -4≤-a+b≤1.
③
①+③,得 -7≤2b≤3.
(2) 由(1)有 -2≤a≤3.
即-6≤3a≤9 .
④
由(1)有 -7≤2b≤3 .
即-3≤-2b≤7 .
⑤
④+⑤,得-9≤3a-2b≤16.
所以3a-2b的取值范圍為[-9,16].
錯解2 (1) 同上(略).
(2) 由(1)有 -2≤a≤3.
⑥
由②得-2≤2a-2b≤8.
⑦
⑥+⑦,得-4≤3a-2b≤11.
所以3a-2b的取值范圍為[-4,11].
錯誤原因1 對于(1)問,在進(jìn)行一些同向不等式相加時(shí), 不是同解變形.
由于結(jié)果是單獨(dú)要求實(shí)數(shù)a,b的取值范圍,所以無可厚非.
對于(2)問,由于在運(yùn)算中,應(yīng)用了(1)問的非同解變形的結(jié)果或再一次進(jìn)行了非同解變形運(yùn)算,從而造成錯誤解答. 也就是說不應(yīng)當(dāng)利用擴(kuò)大了范圍的結(jié)果或行為進(jìn)行后續(xù)運(yùn)算.
錯誤原因2 前一解法的(2)問,屬于推理錯誤,結(jié)果錯誤;后一解法的(2)問,屬于推理錯誤,結(jié)果正確.
錯誤原因3 前一解法的(2)問,得到
不妨取a=3,b=1,則有a+b=4.
顯然不滿足-3≤a+b≤2.
后一解法的(2)問,也是利用了由
-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4,
得到-4≤2a≤6.即-2≤a≤3.
這種在非同解變形的條件下,表面上得到了正確結(jié)果,但這只是一種巧合而已.因?yàn)閍并不能在[-2,3]上任意取值,這是由于b還不確定;再者如果按照這種推理,由-2≤a≤3 得-3≤-a≤2, 又由-3≤-a≤2和-3≤a+b≤2可得-6≤b≤4,這樣由-2≤a≤3和-6≤b≤4可得-8≤a+b≤7,這還是-3≤a+b≤2嗎?
正解1 (1) 同上(略).
(2)(待定系數(shù)法)
設(shè)3a-2b=m(a+b)+n(a-b)
=(m+n)a+(m-n)b,
所以3a-2b的取值范圍為[-4,11].
正解2 (1) 同上(略).
(2)(換元法)
設(shè)a+b=A,a-b=B, 則
-3≤A≤2,-1≤B≤4.
所以3a-2b的取值范圍為[-4,11].
正解3 (1) 同上(略).
(2)(構(gòu)造法)
因?yàn)橐陨先c(diǎn)其任意兩點(diǎn)連線斜率相等, 即
即-4≤3a-2b≤11.
正解4 (1) 同上(略).
(2)(數(shù)形結(jié)合法)
因?yàn)樵谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系aOb中,滿足不等式-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4的實(shí)數(shù)a,b的值構(gòu)成的點(diǎn)(a,b)形成圖1陰影區(qū)域.
圖1 圖2
令k=3a-2b,
當(dāng)a=-2,b=-1時(shí),得
kmin=3×(-2)-2×(-1)=-4.
當(dāng)a=3,b=-1時(shí),得
kmax=3×3-2×(-1)=11.
所以 -4≤k≤11.
即-4≤3a-2b≤11.