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    進(jìn)行不等式運(yùn)算 “同解變形”是關(guān)鍵

    2022-11-03 04:15:42田加貴
    數(shù)理化解題研究 2022年28期
    關(guān)鍵詞:變形學(xué)生

    田加貴

    (云南師范大學(xué)附屬中學(xué) 650106)

    高一學(xué)生在剛進(jìn)入高中學(xué)習(xí)時(shí),學(xué)習(xí)了一些簡單的不等式知識,對于不等式的性質(zhì)和運(yùn)算往往用等式的性質(zhì)和運(yùn)算來操作,而且出現(xiàn)了錯誤后還不清楚錯在什么地方,筆者近期在為學(xué)生布置課后練習(xí)時(shí),有這樣一道練習(xí)題:

    題目已知實(shí)數(shù)a,b滿足-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4.

    (1)求實(shí)數(shù)a,b的取值范圍;

    (2)求3a-2b的取值范圍.

    對于這道練習(xí)題,有的學(xué)生做出了結(jié)果,但解答是不正確的,有些學(xué)生解答的結(jié)果本身就是錯誤的,這些學(xué)生還不知道是為什么,自已也找不出原因,這究竟是怎么回事呢?下面列舉兩種典型的錯誤作一點(diǎn)分析,并對原題給出幾種解答,僅供參考.

    錯解1(1) 因?yàn)?-3≤a+b≤2,

    -1≤a-b≤4,

    ①+②,得-4≤2a≤6.

    即-2≤a≤3.

    所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-2,3].

    由②得 -4≤-a+b≤1.

    ①+③,得 -7≤2b≤3.

    (2) 由(1)有 -2≤a≤3.

    即-6≤3a≤9 .

    由(1)有 -7≤2b≤3 .

    即-3≤-2b≤7 .

    ④+⑤,得-9≤3a-2b≤16.

    所以3a-2b的取值范圍為[-9,16].

    錯解2 (1) 同上(略).

    (2) 由(1)有 -2≤a≤3.

    由②得-2≤2a-2b≤8.

    ⑥+⑦,得-4≤3a-2b≤11.

    所以3a-2b的取值范圍為[-4,11].

    錯誤原因1 對于(1)問,在進(jìn)行一些同向不等式相加時(shí), 不是同解變形.

    由于結(jié)果是單獨(dú)要求實(shí)數(shù)a,b的取值范圍,所以無可厚非.

    對于(2)問,由于在運(yùn)算中,應(yīng)用了(1)問的非同解變形的結(jié)果或再一次進(jìn)行了非同解變形運(yùn)算,從而造成錯誤解答. 也就是說不應(yīng)當(dāng)利用擴(kuò)大了范圍的結(jié)果或行為進(jìn)行后續(xù)運(yùn)算.

    錯誤原因2 前一解法的(2)問,屬于推理錯誤,結(jié)果錯誤;后一解法的(2)問,屬于推理錯誤,結(jié)果正確.

    錯誤原因3 前一解法的(2)問,得到

    不妨取a=3,b=1,則有a+b=4.

    顯然不滿足-3≤a+b≤2.

    后一解法的(2)問,也是利用了由

    -3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4,

    得到-4≤2a≤6.即-2≤a≤3.

    這種在非同解變形的條件下,表面上得到了正確結(jié)果,但這只是一種巧合而已.因?yàn)閍并不能在[-2,3]上任意取值,這是由于b還不確定;再者如果按照這種推理,由-2≤a≤3 得-3≤-a≤2, 又由-3≤-a≤2和-3≤a+b≤2可得-6≤b≤4,這樣由-2≤a≤3和-6≤b≤4可得-8≤a+b≤7,這還是-3≤a+b≤2嗎?

    正解1 (1) 同上(略).

    (2)(待定系數(shù)法)

    設(shè)3a-2b=m(a+b)+n(a-b)

    =(m+n)a+(m-n)b,

    所以3a-2b的取值范圍為[-4,11].

    正解2 (1) 同上(略).

    (2)(換元法)

    設(shè)a+b=A,a-b=B, 則

    -3≤A≤2,-1≤B≤4.

    所以3a-2b的取值范圍為[-4,11].

    正解3 (1) 同上(略).

    (2)(構(gòu)造法)

    因?yàn)橐陨先c(diǎn)其任意兩點(diǎn)連線斜率相等, 即

    即-4≤3a-2b≤11.

    正解4 (1) 同上(略).

    (2)(數(shù)形結(jié)合法)

    因?yàn)樵谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系aOb中,滿足不等式-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4的實(shí)數(shù)a,b的值構(gòu)成的點(diǎn)(a,b)形成圖1陰影區(qū)域.

    圖1 圖2

    令k=3a-2b,

    當(dāng)a=-2,b=-1時(shí),得

    kmin=3×(-2)-2×(-1)=-4.

    當(dāng)a=3,b=-1時(shí),得

    kmax=3×3-2×(-1)=11.

    所以 -4≤k≤11.

    即-4≤3a-2b≤11.

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