利用函數(shù)思想比較大小

李文東

(廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué) 528454)

函數(shù)思想是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決.利用函數(shù)思想解題指的是一種意識(shí)，一種解題時(shí)的思維習(xí)慣，具體說就是用變量和函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)思考問題.對(duì)于比較大小問題，我們利用函數(shù)思想去思考，往往可以起到簡(jiǎn)化的作用.

1 把字母看作變量或把代數(shù)式看作函數(shù)

由于a>b>0，故b-a<0.

因此函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

故f(x)>f(0).

例2 設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c滿足a>b>1，c>1，則下列不等式不成立的是( ).

由a>b>1知，函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減.

本題答案為D.

點(diǎn)評(píng)例1雖然用不等式的性質(zhì)也很容易證明，但是利用函數(shù)的思想求解則是從另外一個(gè)角度看問題，這在例2中其優(yōu)點(diǎn)就很明顯，例2若是用不等式的知識(shí)求解就比較困難.

2 利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小

例3設(shè)a,b,c>0，且a2+b2=c2，n∈N*，且n≥3，試判斷an+bn與cn的大小.

從而f(n)

即an+bn

3 根據(jù)結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)比較大小

例4(多選題) 若a>b>0，則下列不等式中一定成立的有 ( ).

故f(a)>f(b).

本題答案為AC.

點(diǎn)評(píng)本題構(gòu)造函數(shù)的方法稱為同構(gòu)法，同構(gòu)法是目前高考比較熱門的比較大小的方法.數(shù)學(xué)中的同構(gòu)式是指除了變量不同，而結(jié)構(gòu)相同的兩個(gè)表達(dá)式.許多比較大小的問題，通過等價(jià)變形，可以轉(zhuǎn)化為同構(gòu)式，然后構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解.

例5(多選題)下列不等關(guān)系正確的有( ).

故本題答案為ACD.

A.c

C.a

解析令x=0.01，則x∈(0,1).

<0.

故f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.

于是f(x)

>0.

故g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增.

于是g(x)>g(0)=0.即a>c.

綜上,b

點(diǎn)評(píng)本題中a,b,c非常接近，又涉及到對(duì)數(shù)和根式的運(yùn)算，直接很難比較，三個(gè)數(shù)中的1.01,1.02,1.04非常接近，因此引入x=0.01構(gòu)造函數(shù)來(lái)比較大小，比較巧妙！

4 數(shù)形結(jié)合

例7(多選題)已知a>b>0，下列選項(xiàng)中正確的為( ).

B.若a2-b2=1，則a-b<1

C.若2a-2b=1，則a-b<1

D.若log2a-log2b=1，則a-b<1

解法1 (特值法)取a=4,b=1可知A錯(cuò)誤；取a=4,b=2可知D錯(cuò)誤，故本題選BC.

對(duì)于C選項(xiàng)，由2a-2b=1?2a-b=1+2-b<2，得a-b<1，故C正確；

或設(shè)2a=x,2b=y，則

a=log2x,b=log2y，且x-y=1，

對(duì)于D選項(xiàng)，由log2a-log2b=1可知a=2b，故a-b=b不一定小于1，故D錯(cuò)誤；故本題選BC.

令f(x)=x2，則f(a)-f(b)=1，注意到f(1)-f(0)=1，而f′(x)=2x，f″(x)=2>0，可見f(x)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，故a-b<1；

令f(x)=2x，則f(a)-f(b)=1，注意到f(1)-f(0)=1，而f′(x)=2xln2，f″(x)=2xln22>0，可見f(x)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，故a-b<1；

圖1 圖2

圖3 圖4

由圖象易知本題選BC.

點(diǎn)評(píng)本題四種解法，解法1僅僅是作為選擇題的解題策略，其對(duì)于BC的正確性并沒有真正證明；解法2的解法極大地依賴代數(shù)變形，不同的選項(xiàng)其變形方式不一樣；解法3和解法4則是從函數(shù)這個(gè)統(tǒng)一的角度去思考問題，解法3借助函數(shù)增長(zhǎng)速度(二階導(dǎo)函數(shù)的符號(hào))，解法4從數(shù)形結(jié)合的角度思考.

例8 已知實(shí)數(shù)a,b滿足關(guān)系式a2=b2-b+1，則下列結(jié)論正確的是( ).

點(diǎn)評(píng)本題實(shí)數(shù)a,b滿足關(guān)系式a2=b2-b+1雖然不是函數(shù)關(guān)系式，但是借助函數(shù)的思想(變化的觀點(diǎn))利用數(shù)形結(jié)合就很容易得到答案D,若是用不等式的知識(shí)則很難得出正確的答案.