一道北京大學(xué)強基數(shù)學(xué)題的變式探究及推廣

金迅嬰 李 盛

(1.浙江省東陽中學(xué) 322100；2.浙江省杭州二中未來科技城學(xué)校 311121)

1 題目呈現(xiàn)

A.8 B.9 C.10 D.前三個答案都不對

這一試題從外部結(jié)構(gòu)初看是含參不等式恒成立問題，但內(nèi)涵豐富,隱藏著豐富的函數(shù)思想，具有一定的探究價值.

2 題目解析

解法2比解法1簡單，但不如下面的解法簡捷.

解法3 (待定常數(shù)法)引入待定常數(shù)λ>0，根據(jù)基本不等式，得

故a的最小值為9.選B.

解題過程十分簡潔！但不是解決這類問題的一般性方法.一般方法是化生為熟的基本不等式法.

解法4由于題給不等式對任意正數(shù)x,y恒成立,利用極限方法,令y→0,得ax≥5x.

又x>0,所以a≥5.

將題給不等式變形,得

所以a的最小值為9.故選B.

評注解法4先采用極限方法，先確定實數(shù)a的一個范圍， 再用分離法求解，是解決這類問題的一般方法.

3 變式探究

解析利用柯西不等式，得

還有很多變式，不一一列舉.

4 結(jié)論推廣

經(jīng)研究,得

證明由于不等式①對任意正數(shù)xi(i=1,2,…,n)恒成立,采用極限方法,令xi→0(i=2,…,n),得a1x1≥0.

又x1>0,所以a1≥0.

同理可得：a2≥0,a3≥0,…,an≥0.

將不等式①變形，問題轉(zhuǎn)化為：

應(yīng)用n元的算術(shù)——幾何平均值不等式，可得

且等號在a1x1=a2x2=…=anxn時成立.

這樣一來，用同一方法，就把問題推廣到了n元加權(quán)的算術(shù)——幾何平均值不等式有關(guān)的恒成立問題.

解析已知不等式可化為

由定理，知應(yīng)滿足的條件為.