例談同構(gòu)法在導數(shù)中的應用

白亞軍

(甘肅省永昌縣第一高級中學 737200)

用導數(shù)比較大小、解不等式，其關(guān)鍵在于利用題目條件構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小、解不等式問題轉(zhuǎn)化為先利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而根據(jù)單調(diào)性比較大小或解不等式.

1 雙變量型

含有同等地位的兩個變量x1,x2的等式或不等式，同構(gòu)后使等式或不等式兩側(cè)具有一致的結(jié)構(gòu)，便于構(gòu)造函數(shù)解決問題.常見的同構(gòu)類型有：

(1)g(x1)-g(x2)>λ[f(x2)-f(x1)]?g(x1)+λf(x1)>g(x2)+λf(x1),從而構(gòu)造函數(shù)h(x)=g(x)+λf(x)；

(1)求函數(shù)f(x)的定義域；

分析第(2)問中的雙變量不等式，若變量能分離且結(jié)構(gòu)相同，則問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性問題.

所以實數(shù)a的取值范圍為(2,4)

評注例1中出現(xiàn)的雙變量問題是同構(gòu)法中較為典型的情況，思路明確,針對上述類型的不等式，分離變量，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性，解不等式.

2 指對跨階型

2.1 直接變形

(1)積型：aea≤blnb?aea≤lnb·elnb,從而構(gòu)造函數(shù)f(x)=xex；aea≤blnb?ealnea≤blnb,從而構(gòu)造函數(shù)f(x)=xlnx;aea≤blnb?ln(aea)≤ln(blnb)?a+lna≤lnb+ln(lnb),從而構(gòu)造函數(shù)f(x)=x+lnx.

(3)和差型：ea±a>b±lnb?ea±a>elnb±lnb,從而構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex±x；ea±a>b±lnb?ea±lnea>b±lnb,從而構(gòu)造函數(shù)f(x)=x±lnx.

2.2 先湊再變形

若式子無法直接進行變形同構(gòu)，往往需要湊常數(shù)、湊參數(shù)或湊變量，如兩邊同乘以x，同加上x等，再用上述方式變形.常見的變形有：

(1)aeax>lnx?axeax>xlnx；

例2若關(guān)于x的不等式ex-a≥lnx+a對一切正實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是( ).

C. (-∞,1] D. (-∞,2]

分析不等式兩側(cè)都加上x，即能出現(xiàn)同構(gòu)法中的“和差型”.由不等式的結(jié)構(gòu)判斷，通過將不等式變形為ex-a+x-a≥lnx+x，符合同構(gòu)法中的指對同階模型.

解析將條件不等式兩側(cè)都加上x得到ex-a+x-a≥lnx+x.

設(shè)f(t)=et+t，則f′(t)=et+1>0.

所以f(t)在R上單調(diào)遞增.

由ex-a+x-a≥lnx+elnx,得

f(x-a)≥f(lnx).即x-a≥lnx.

即a≤x-lnx對一切正實數(shù)x恒成立.

令g′(x)>0，則x>1;令g′(x)<0，則0

故g(x)min=g(1)=1，故a≤1.故選C.

評注不等式或函數(shù)中指對數(shù)結(jié)構(gòu)都存在時，仔細觀察結(jié)構(gòu)特征，可優(yōu)先考慮放縮或同構(gòu)，化繁為簡，降低單調(diào)性判斷的難度.故要對常見不等關(guān)系的結(jié)論及上述的常見變形方法牢記于心，能夠熟練變形，構(gòu)造相應函數(shù).

3 同構(gòu)放縮或同構(gòu)換元共存型

有些更復雜的指對不等式，利用常見的變形方法先進行同構(gòu)變形再換元，使構(gòu)造的函數(shù)較為簡單，或者不等式本身的結(jié)構(gòu)不特殊，可以先結(jié)合常用不等結(jié)論放縮.常見的放縮模型：

(3)利用lnx≤x-1放縮：x+lnx=ln(xex)≤xex-1；x+nlnx≤xnex-1.

例3 已知函數(shù)f(x)=xeax-1(a∈R).

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

分析待證明的不等式中有xex，lnx+x，容易聯(lián)系到指對同階的常見變形，將不等式同構(gòu).

解析(1)由題意知，函數(shù)f(x)的定義域為R.

設(shè)t=xex，則當x>0時，t∈(0,+∞).

令g′(t)=0，則t=1.

所以g(t)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增.

所以g(t)≥g(t)min=g(1)=0.

評注第(2)問進行指對變形，換元簡化函數(shù)，同構(gòu)法讓復雜的函數(shù)式在指對結(jié)構(gòu)上呈現(xiàn)“一致性”，再換元，大大降低了函數(shù)研究的難度，但這類問題，方法不唯一，也可利用其他方法，比如不等式證明問題，直接構(gòu)造函數(shù)求最值，或者變形為f(x)>g(x)的結(jié)構(gòu)，比較最值.