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    多環(huán)諧振微陀螺性能參數(shù)的有限元計(jì)算*

    2022-11-02 11:48:04盧浩琳張衛(wèi)平谷留濤
    飛控與探測(cè) 2022年4期
    關(guān)鍵詞:陀螺振型增益

    盧浩琳,張衛(wèi)平,谷留濤,馮 軍

    (1.上海交通大學(xué) 微米納米加工技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室·上?!?00240;2.上海交通大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)院 微納電子學(xué)系·上海·200240)

    0 引 言

    陀螺儀作為一種慣性傳感器,用于檢測(cè)物體在慣性坐標(biāo)系中轉(zhuǎn)動(dòng)的角度或角速度,是導(dǎo)航或制導(dǎo)系統(tǒng)的關(guān)鍵組成部分,在軍事和民用領(lǐng)域均發(fā)揮著重要作用[1]。相較于三維陀螺儀[2-4],基于微機(jī)電系統(tǒng)(Micro-Electro-Mechanical System,MEMS)技術(shù)制造的多環(huán)諧振微陀螺儀具有體積小、功耗低、成本低、可批量生產(chǎn)等優(yōu)勢(shì)[5-6],因此受到了廣泛關(guān)注。但是對(duì)于多環(huán)諧振微陀螺而言,由于結(jié)構(gòu)較復(fù)雜,不易求解,其解析需要借助有限元方法(Finite Element Method,F(xiàn)EM)。

    有限元方法的核心思想是離散化,即將一個(gè)連續(xù)體離散為有限個(gè)單元,通過求解各單元上的解,從而得到整個(gè)連續(xù)體的近似解[7]。有限元方法自提出以來,經(jīng)過幾十年的發(fā)展,已經(jīng)成為工程應(yīng)用中常用的一種數(shù)值計(jì)算方法。并且結(jié)合計(jì)算機(jī)技術(shù)開發(fā)的有限元軟件也不斷出現(xiàn),例如 ANSYS、ABAQUS、COMSOL Multiphysics(簡(jiǎn)稱 COMSOL)等[8-11],使用這些有限元軟件可以很方便地求解一些復(fù)雜的大規(guī)模的工程問題。COMSOL 提供了許多預(yù)定義的物理場(chǎng)接口,具有強(qiáng)大的多物理場(chǎng)耦合計(jì)算功能。該軟件最早源于 MATLAB 的Toolbox工具箱,目前仍提供與 MATLAB 協(xié)同計(jì)算的接口(COMSOL with MATLAB)。此外,它還提供 Microsoft Excel、SolidWorks、AutoCAD 等軟件的接口,為了更方便地實(shí)現(xiàn)與這些軟件之間的數(shù)據(jù)交流,本文主要基于 COMSOL 進(jìn)行仿真模擬。

    1 機(jī)械靈敏度與機(jī)械熱噪聲

    1.1 機(jī)械靈敏度

    機(jī)械靈敏度定義為檢測(cè)軸方向的振動(dòng)幅度與輸入角速度之比,它表示微陀螺對(duì)于輸入角速度的靈敏性,單位為m/(rad/s),其表達(dá)式為

    (1)

    其中,qA0=(QAF0)/kA,F(xiàn)0表示驅(qū)動(dòng)力的幅度,kA表示驅(qū)動(dòng)模態(tài)的振動(dòng)位移;Ag為陀螺儀的角度增益;ωA、ωB分別為驅(qū)動(dòng)模態(tài)和檢測(cè)模態(tài)的諧振頻率;QA、QB分別為驅(qū)動(dòng)模態(tài)和檢測(cè)模態(tài)的品質(zhì)因子。當(dāng)不存在頻率裂解(ωA=ωB)時(shí),機(jī)械靈敏度可以達(dá)到最大[12]

    (2)

    其中,ω0表示不存在頻率裂解時(shí)的諧振頻率,滿足ω0=ωA=ωB;Q表示不存在頻率裂解時(shí)的品質(zhì)因子,滿足Q=QA=QB。

    1.2 機(jī)械熱噪聲

    微陀螺的噪聲包括由結(jié)構(gòu)本身帶來的機(jī)械熱噪聲和由測(cè)控電路造成的電學(xué)噪聲[12],如式(3)所示

    (3)

    其中,Ωoverall表示微陀螺的整體噪聲;Ωmech表示機(jī)械熱噪聲;Ωelect表示電學(xué)噪聲。陀螺儀的結(jié)構(gòu)本身主要受機(jī)械熱噪聲的影響,其表達(dá)式為[13]

    (4)

    (5)

    由式(1)、式(2)、式(4)和式(5)可知,要計(jì)算機(jī)械靈敏度和機(jī)械熱噪聲,需要求解陀螺儀的品質(zhì)因子、頻率裂解、角度增益和有效質(zhì)量。

    2 模態(tài)分析

    微陀螺模型由SolidWorks 建立,結(jié)構(gòu)參數(shù)標(biāo)注如圖1所示,包括諧振子半徑R,中央錨點(diǎn)半徑r,諧振環(huán)寬度Wr,輻條寬度Ws,輻條長(zhǎng)度Ls,諧振子厚度H,電容間隙d0,諧振環(huán)數(shù)目N。

    (a)俯視圖

    (b)側(cè)視圖圖1 多環(huán)諧振微陀螺的結(jié)構(gòu)參數(shù)Fig.1 The structural parameters of disk resonator gyroscope

    本文研究了有限元仿真平臺(tái)的搭建,對(duì)模型進(jìn)行了一定簡(jiǎn)化,基于如下兩點(diǎn)假設(shè):

    1)微陀螺為全對(duì)稱結(jié)構(gòu),并且不存在加工誤差,各個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)的取值如表1所示;

    2)微陀螺的材料為各向同性的硅材料,其材料參數(shù)的取值如表2所示。

    本文在沒有特殊說明的情況下,都是基于以上兩點(diǎn)假設(shè)進(jìn)行計(jì)算的。

    表1 用于有限元計(jì)算的結(jié)構(gòu)參數(shù)取值

    表2 用于有限元計(jì)算的材料參數(shù)取值

    通過模態(tài)分析,可找出微陀螺的四波腹工作模態(tài)及其諧振頻率。從數(shù)值求解的角度來看,模態(tài)分析本質(zhì)上是求解矩陣的特征值。根據(jù)實(shí)際有限元模型的求解需求,選擇合適的特征值求解方法可以有效地提高求解過程的收斂性和運(yùn)算效率。對(duì)微陀螺進(jìn)行模態(tài)分析需要添加特征頻率研究,四波腹模態(tài)的諧振頻率約為22kHz,因此可將特征頻率的搜索基準(zhǔn)值設(shè)置為附近的18kHz,所需特征頻率數(shù)設(shè)置為4個(gè),并從基準(zhǔn)值開始往更大的頻率進(jìn)行搜索。由于多環(huán)微陀螺具有高度對(duì)稱性,使用三角形與掃掠相結(jié)合的網(wǎng)格劃分方法可以實(shí)現(xiàn)高精度和高速度的計(jì)算。此外,相較于Z軸方向而言,XY平面內(nèi)的網(wǎng)格細(xì)化程度對(duì)結(jié)果的影響更明顯。本文將優(yōu)先采用自由三角形與掃掠相結(jié)合的網(wǎng)格劃分方法,并且重點(diǎn)關(guān)注XY平面內(nèi)的網(wǎng)格細(xì)化程度。圖2所示為使用COMSOL進(jìn)行模態(tài)分析求解得到的n=2模態(tài)振型。

    圖2 COSMOL 求解n=2模態(tài)的振型Fig.2 Vibration shapes of n=2 mode in COMSOL

    3 有效質(zhì)量與角度增益的求解

    完成模態(tài)分析之后,即可求解有效質(zhì)量和角度增益。COMSOL中沒有預(yù)設(shè)的求解器對(duì)有效質(zhì)量和角度增益進(jìn)行求解,因此需要找出有效質(zhì)量和角度增益的有限元計(jì)算公式。引入一個(gè)表征模態(tài)形狀的參量——振型函數(shù)。振型函數(shù)定義為該振型中某個(gè)單元的位移與所有單元的最大位移(即波腹點(diǎn)位移)之比[14]。對(duì)于驅(qū)動(dòng)模態(tài)而言,某一單元x、y、z三個(gè)方向的振型函數(shù)可分別表示為

    (6)

    其中,u1、v1、w1分別表示驅(qū)動(dòng)模態(tài)每個(gè)單元在x、y、z三個(gè)方向上的位移;q1表示驅(qū)動(dòng)模態(tài)的波腹點(diǎn)位移。同理,對(duì)于檢測(cè)模態(tài)而言,振型函數(shù)可表示為

    (7)

    其中,u2、v2、w2分別表示檢測(cè)模態(tài)每個(gè)單元在x、y、z三個(gè)方向上的位移;q2表示檢測(cè)模態(tài)的波腹點(diǎn)位移。

    文獻(xiàn)[6]給出了有效質(zhì)量和角度增益的計(jì)算公式,分別為式(8)和式(9)。式(8)事實(shí)上是驅(qū)動(dòng)模態(tài)的有效質(zhì)量, 理想情況下檢測(cè)模態(tài)的有效質(zhì)量可由式(9)表示。當(dāng)考慮微陀螺的不對(duì)稱性時(shí),求解檢測(cè)模態(tài)的有效質(zhì)量則需要將式(8)中的振型函數(shù)用式(7)替代

    (8)

    (9)

    其中,V表示微陀螺的體積;n表示模態(tài)階數(shù)。定義科氏質(zhì)量γcor為

    (10)

    則角度增益與有效質(zhì)量以及科氏質(zhì)量的關(guān)系為

    (11)

    對(duì)于有限元模型,式(8)和式(10)可寫成如下離散形式

    [φz1(i)]2}δV(i)

    (12)

    φx2(i)φy1(i)}δV(i)

    (13)

    其中,δV(i)表示第i個(gè)單元的體積;Ne表示單元的總數(shù)目;i=1,2,…,Ne表示第i個(gè)單元。要求出有效質(zhì)量和角度增益,應(yīng)該先提取每個(gè)單元的位移,然后求出其振型函數(shù),再對(duì)振型函數(shù)進(jìn)行體積分求得有效質(zhì)量和角度增益。

    根據(jù)上述分析,求解有效質(zhì)量和角度增益的關(guān)鍵在于提取各網(wǎng)格單元的位移、體積等數(shù)據(jù)。MATLAB 與COMSOL可以實(shí)現(xiàn)很好的協(xié)同計(jì)算,因此可以采用MATLAB提取COMSOL有限元模型的節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù),并在MATLAB中對(duì)這些節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理和計(jì)算。本文采用COMSOL with MATLAB進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算過程如下:

    第一步,在COMSOL中進(jìn)行模態(tài)分析。由于前面已經(jīng)得到特征頻率較精確的值,因此在該值附近提取特征頻率,可以設(shè)置所需特征頻率數(shù)為2,得到的二階模態(tài)分別對(duì)應(yīng)驅(qū)動(dòng)模態(tài)和檢測(cè)模態(tài)。

    第二步,通過MATLAB的mpheval命令提取節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù),需要提取的節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)包括x、y、z方向的位移以及體積。使用mpheval命令在 MATLAB 中存儲(chǔ)一個(gè)結(jié)構(gòu)體,該結(jié)構(gòu)體包括:d1為所計(jì)算表達(dá)式在每個(gè)節(jié)點(diǎn)處的結(jié)果(如位移、體積) ;p為節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo);t為與節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)列索引,其每列對(duì)應(yīng)于這些節(jié)點(diǎn)所構(gòu)成的一個(gè)網(wǎng)格單元,因此t的列數(shù)就是網(wǎng)格單元的個(gè)數(shù),t的行數(shù)是網(wǎng)格單元對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)數(shù);ve為每個(gè)節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)格單元索引;unit為所計(jì)算表達(dá)式的單位。

    第三步,采用節(jié)點(diǎn)平均法對(duì)節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。由于MATLAB提取出來的是節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù),并不是網(wǎng)格單元的數(shù)據(jù),因此需要將節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為單元數(shù)據(jù)。每個(gè)網(wǎng)格單元由多個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成,通過求解這些節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的平均值可以得到對(duì)應(yīng)網(wǎng)格單元的數(shù)據(jù)。該步驟的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)在于如何將節(jié)點(diǎn)與單元對(duì)應(yīng)起來。由于上述結(jié)構(gòu)體中的列索引t存儲(chǔ)了每個(gè)單元對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn),因此只需要依次求解t中每一列所有節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的平均值,即可得到每個(gè)單元數(shù)據(jù)的值,其中節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的值可以由d1得到。

    第四步,通過前面三個(gè)步驟已經(jīng)得到每個(gè)單元的數(shù)據(jù)(位移與體積),接下來只需要根據(jù)式(11)、式(12)和式(13)即可求解有效質(zhì)量和角度增益。

    這里給出了三種求解meff的方法和兩種求解Ag的方法。

    3.1 求解meff

    方法1:提取每個(gè)單元在x、y、z方向的位移以及波腹點(diǎn)位移,求出每個(gè)單元的振型函數(shù),然后根據(jù)式(12)即可求出meff。

    方法2:將驅(qū)動(dòng)模態(tài)和檢測(cè)模態(tài)所有單元的總位移分別構(gòu)成列向量d1和d2,所有單元在x、y、z方向的位移分別構(gòu)成列向量u1、v1、w1和u2、v2、w2, 所有單元的體積構(gòu)成列向量δV。根據(jù)式(8)可得

    (14)

    其中,diag運(yùn)算表示以向量的形式返回矩陣上的對(duì)角線元素。

    方法3:式(8)可以改寫為

    meff=λmMreal

    (15)

    其中,Mreal定義為微陀螺的實(shí)際質(zhì)量。有效質(zhì)量的大小為實(shí)際質(zhì)量乘以一個(gè)系數(shù)λm,其表達(dá)式為

    (16)

    將λm定義為有效質(zhì)量系數(shù),表示有效質(zhì)量占實(shí)際質(zhì)量的比例??梢钥闯?它是一個(gè)與模態(tài)形狀有關(guān)的量,與波腹點(diǎn)位移相近的單元數(shù)越多則λm越大。通過該方法求解有效質(zhì)量,需要先求解微陀螺的實(shí)際質(zhì)量Mreal和總體積Vtotal。

    3.2 求解Ag

    方法1:提取每個(gè)單元在x、y、z方向的位移以及波腹點(diǎn)位移, 求出每個(gè)單元的振型函數(shù), 然后根據(jù)式(6)、式(7)和式(8)即可求出Ag。

    方法2:與求解meff的方法2類似,角度增益可以由式(17)求出

    (17)

    采用非結(jié)構(gòu)化的自由四面體單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分,單元大小設(shè)置為極細(xì)化,計(jì)算結(jié)果匯總于表3。 求解Ag的兩種方法在結(jié)果上有些許差異, 但這種差異是由于計(jì)算機(jī)精度造成的誤差,在合理范圍內(nèi)。

    當(dāng)采用自由三角形與掃掠相結(jié)合的網(wǎng)格劃分方法時(shí),利用上述方法進(jìn)行計(jì)算,得到的結(jié)果為:meff=7.3469×10-7kg,Mreal=2.3232×10-6kg,Vtotal=9.9753×10-10m3。這與表3的結(jié)果有很大差異, 并且Vtotal的值與實(shí)際值不一致(COMSOL 與SolidWorks 中測(cè)量得到的實(shí)際模型體積為 0.3324mm3),這說明該計(jì)算結(jié)果不正確。通過分析發(fā)現(xiàn),此時(shí)結(jié)構(gòu)體中的t仍然是4行的矩陣,t的列數(shù)與實(shí)際的網(wǎng)格單元數(shù)也不相等。這說明此時(shí)在 MATLAB 中,每個(gè)網(wǎng)格單元仍被視為四面體單元,這與實(shí)際情況是不相符的。事實(shí)上,當(dāng)采用部分結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格進(jìn)行劃分時(shí),每個(gè)單元為三棱柱結(jié)構(gòu),而并非四面體結(jié)構(gòu)。 因此COMSOL with MATLAB協(xié)同計(jì)算僅僅適用于自由四面體單元的非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分。

    通過前文分析可知,在相同的精度下,采用非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的計(jì)算量和計(jì)算時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過部分結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格。COMSOL with MATLAB協(xié)同計(jì)算只限于非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分,將造成計(jì)算緩慢且內(nèi)存需求很大。若利用COMSOL單獨(dú)計(jì)算,可不受網(wǎng)格劃分方式的限制。因此,有必要研究單獨(dú)利用COMSOL計(jì)算有效質(zhì)量和角度增益的方法。

    COMSOL提供了一個(gè)可提取模型中任意解的算子withsol,該算子既可用在計(jì)算過程中,也可以用在數(shù)據(jù)的后處理當(dāng)中,使用起來特別方便。例如,使用“withsol(′sol1′,expr,setind(lambda,1))” 命令,即可提取第一階模態(tài)的表達(dá)式,其中setind用于控制所提取數(shù)據(jù)的模態(tài)階數(shù),expr表示所要提取的表達(dá)式(x、y、z方向的位移、 波腹點(diǎn)位移、 體積等)。 采用withsol算子設(shè)置如下幾個(gè)變量:波腹點(diǎn)位移、振型函數(shù)、有效質(zhì)量、角度增益。其中還需要定義兩個(gè)算子:最大值算子maxop1,用于提取波腹點(diǎn)位移;積分算子intop1, 用于進(jìn)行積分運(yùn)算。 同樣采用部分結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格進(jìn)行劃分, 計(jì)算結(jié)果為:meff=2.4489×10-7kg,Ag=0.3958。 該結(jié)果與前文基于COMSOL with MATLAB的計(jì)算結(jié)果基本一致,其差異是由于網(wǎng)格劃分方式不同造成的。

    相較于COMSOL with MATLAB協(xié)同計(jì)算,采用COMSOL單獨(dú)計(jì)算不受網(wǎng)格劃分方式的限制,可以提高計(jì)算精度和計(jì)算速度。

    4 品質(zhì)因子的求解

    由于品質(zhì)因子可以由熱彈性品質(zhì)因子來表示,因此求解品質(zhì)因子等同于求解熱彈性阻尼。研究熱彈性阻尼需要同時(shí)添加力學(xué)場(chǎng)和熱學(xué)場(chǎng),COMSOL中的熱彈性力學(xué)物理場(chǎng)耦合了固體力學(xué)與固體傳熱,可以用于熱彈性阻尼的分析。同時(shí)添加熱擾動(dòng)和特征頻率研究,初始溫度T0設(shè)置為室溫293.15K,熱量來源于熱彈性阻尼[15]。

    COMSOL內(nèi)置耦合熱彈性方程,并將熱擾動(dòng)下的特征頻率用復(fù)數(shù)表示,利用前文所述的復(fù)頻率方法可以得出熱彈性品質(zhì)因子QTED,求解得到QTED的值為72418。同時(shí),COMSOL還可以求得微陀螺儀中的溫度分布,如圖3所示,由于各處溫度分布不均勻,導(dǎo)致了振動(dòng)能量以熱流的形式耗散。

    圖3 多環(huán)諧振微陀螺中的溫度分布Fig.3 Temperature distribution in the disk resonator gyroscope

    5 結(jié) 論

    本文主要介紹了多環(huán)諧振微陀螺性能參數(shù)的有限元計(jì)算方法。 在陀螺儀基本研究的基礎(chǔ)上,搭建了基于COMSOL 和 MATLAB 等軟件的有限元計(jì)算平臺(tái),實(shí)現(xiàn)了對(duì)諧振頻率、有效質(zhì)量、角度增益和品質(zhì)因子等性能參數(shù)的有限元求解。并且這些性能參數(shù)既可由 COMSOL with MATLAB 協(xié)同計(jì)算,也可由 COMSOL 單獨(dú)計(jì)算。本文搭建的有限元計(jì)算平臺(tái)為研究微陀螺結(jié)構(gòu)的性能參數(shù)和優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了有力的工具。

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