混凝土圓形構(gòu)件等效矩形應(yīng)力參數(shù)的計(jì)算分析

章勝平，陳 旭，楚秀娟

(1.昆明理工大學(xué) 建筑工程學(xué)院，云南 昆明 650504；2.昆明學(xué)院 建筑工程學(xué)院, 云南 昆明 650214)

0 引 言

鋼筋混凝土圓形截面受壓構(gòu)件常用于橋墩、鉆孔灌注樁等結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)中需要計(jì)算其壓彎承載力[1-2]。GB 50010—2010《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》(后簡稱《規(guī)范》)等相關(guān)規(guī)范中壓彎承載力計(jì)算均采用混凝土矩形受壓區(qū)等效矩形應(yīng)力模型。在美國ACI協(xié)會(huì)規(guī)范中，等效矩形應(yīng)力模型參數(shù)基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定[3]。L.F.KHAN等[4]對(duì)非矩形受壓區(qū)參數(shù)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究。等效矩形應(yīng)力模型參數(shù)與材料性能有關(guān)，一種新材料出現(xiàn)后需做新的實(shí)驗(yàn)獲得新的參數(shù)，因此針對(duì)不同材料(如高強(qiáng)、高性能混凝土)，大量實(shí)驗(yàn)研究相繼開展，H.C.MERTOLD等[5]基于21個(gè)試件提出了一套適用于高強(qiáng)混凝土的參數(shù)；J.PENG等[6]基于實(shí)驗(yàn)分析了應(yīng)變梯度對(duì)參數(shù)的影響。盡管如此，確定參數(shù)時(shí)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)還是無法充分。

因此，等效矩形應(yīng)力模型參數(shù)基于材料本構(gòu)關(guān)系理論模型，以理論推導(dǎo)方式確定更為合理[7]。M.K.AL-KAMAL[8]基于高強(qiáng)混凝土本構(gòu)特性提出等效三角形應(yīng)力理論模型；F.YUAN等[9]推導(dǎo)了FRP約束混凝土參數(shù)理論模型。在《規(guī)范》等效矩形應(yīng)力模型中，對(duì)C50及以下強(qiáng)度等級(jí)混凝土，參數(shù)α1和β1取為定值，其推導(dǎo)過程中有兩個(gè)重要假定。其一，假定截面為矩形?！兑?guī)范》指出參數(shù)β1用于圓形截面會(huì)帶來一定誤差。騰智明[10]、E.COZENZA等[11]、R.D.LAORA等[12]推導(dǎo)圓形截面壓彎簡化計(jì)算公式過程中，采用了矩形截面的參數(shù)取值(β1=0.8)。圓形與矩形比較，材料分布差異大，如果假定合力位置相同，將高估圓形截面抵抗彎矩，偏于不安全。其二，假定混凝土受壓邊緣應(yīng)變?chǔ)與1為定值(等于壓彎極限應(yīng)變?chǔ)與u=-3.3‰)這符合大偏心受壓破壞力學(xué)特性，但不符合小偏心受壓破壞，如在C50及以下混凝土的軸壓情況下，應(yīng)變偏差為39%。因此α1和β1與受力有關(guān)，受力大時(shí)應(yīng)變大受力小時(shí)應(yīng)變小。受力對(duì)矩形和圓形影響程度不同，圓形是否可與矩形一樣忽略此影響[13]？圓形橋墩柱在軸壓或小偏心受壓工況破壞時(shí)脆性大，將此情況處理為大偏心受壓矩形截面，從理論上說不合理也不安全。

圓形截面存在寬度方向變化非線性，解析公式冗長復(fù)雜推導(dǎo)難度大，通常用條帶法[14]。筆者采用解析法，考慮所有可能受力(考慮εc1≠εcu)情況，推導(dǎo)圓形截面等效矩形應(yīng)力模型參數(shù)解析解，通過條帶法數(shù)值解驗(yàn)證解析解，通過數(shù)值分析給出α1和β1建議值，以期為我國規(guī)范修編提供理論參考。

1 公式推導(dǎo)

1.1 等效矩形應(yīng)力模型

混凝土結(jié)構(gòu)應(yīng)用較多是在C50及以下強(qiáng)度等級(jí)混凝土?；跇?gòu)件的壓彎承載力設(shè)計(jì)采用混凝土單軸本構(gòu)關(guān)系?！兑?guī)范》給出了C50及以下混凝土的受壓應(yīng)力-應(yīng)變?yōu)閽佄锞€-矩形關(guān)系(不考慮抗拉強(qiáng)度)。假設(shè)應(yīng)力、應(yīng)變以受拉為正，受壓為負(fù)，則C50及以下混凝土本構(gòu)關(guān)系計(jì)算公式為：

(1)

式中：σ為應(yīng)力；ε為應(yīng)變；fc為混凝土軸心抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值；ε0為軸壓極限應(yīng)變，ε0=-2‰；εcu為壓彎極限應(yīng)變(極限點(diǎn))，εcu=-3.3‰。

拋物線-矩形關(guān)系是基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得出的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，雖然該簡化模型數(shù)學(xué)形式已較簡單，但用于壓彎承載力計(jì)算仍有不便，因此《規(guī)范》在壓彎承載力簡化計(jì)算公式中對(duì)它做了進(jìn)一步簡化。假定截面為矩形，將拋物線-矩形等效處理為矩形，即混凝土應(yīng)力為常量(α1fc)，等效應(yīng)力塊高度對(duì)真實(shí)受壓區(qū)高度折減系數(shù)為β1，α1和β1為《規(guī)范》等效矩形應(yīng)力模型參數(shù)，如圖1。混凝土應(yīng)力等效矩形模型是多數(shù)國家規(guī)范采用的處理方法，精度取決于參數(shù)α1、β1。對(duì)C50及以下混凝土，在較多規(guī)范中α1和β1被假定為定值。

圖1 等效矩形模型

從單向受彎力學(xué)性能看，圓形截面與矩形截面相比，圓形截面處于劣勢，這是因?yàn)椴牧戏植加蓛?nèi)(形心軸)向外減小。在合力相同條件下，圓形截面對(duì)形心軸力臂小于矩形，抵抗彎矩圓形截面小于矩形截面。如果假定兩者受壓區(qū)等效矩形應(yīng)力高度折減系數(shù)相同，將高估圓形截面彎矩承載力，偏于不安全。

1.2 等效矩形應(yīng)力模型參數(shù)解析解

按照本構(gòu)關(guān)系，由應(yīng)變計(jì)算得到應(yīng)力，如圖2。假設(shè)截面受壓邊緣混凝土應(yīng)變?yōu)棣與1，混凝土受壓區(qū)高度為x，則高度方向任意位置應(yīng)變?chǔ)排c其角度坐標(biāo)θ關(guān)系為：

(2)

式中：z為高度方向坐標(biāo)，以截面受壓邊緣為原點(diǎn)；r為截面半徑；角度坐標(biāo)θ以順時(shí)針方向?yàn)檎?。圖2中θx為受壓區(qū)高度x對(duì)應(yīng)的角度。

圖2 計(jì)算簡圖

在如圖2的等效矩形應(yīng)力分布模型中，假設(shè)α為應(yīng)力飽滿系數(shù)，β為合力位置系數(shù)，混凝土截面內(nèi)力(軸力Nc和彎矩Mc)為：

(3)

式中：b(·)為截面寬度函數(shù)。

為消除變量混凝土強(qiáng)度等級(jí)和截面半徑影響，采用軸力Nc和彎矩Mc無量綱形式[15]，無量綱軸力νc和彎矩μc為：

(4)

則有：

(5)

按照等效前應(yīng)力分布(拋物線或拋物線-矩形)，軸力和彎矩計(jì)算為：

(6)

式中：σc(·)為混凝土應(yīng)力。

式(5)和式(6)分別是軸力和彎矩按照等效矩形模型和應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系的計(jì)算公式。聯(lián)立式(5)、式(6)，代入本構(gòu)方程式(1)，去掉積分推導(dǎo)獲得α和β解析解。本構(gòu)方程中混凝土應(yīng)力是分段函數(shù)，因此解析解推導(dǎo)須分段進(jìn)行，分為拋物線應(yīng)力和拋物線-矩形應(yīng)力兩種情況。

1.2.1 拋物線應(yīng)力

在小偏心受拉、純彎和大偏心受壓(軸力較小時(shí))破壞情況下，混凝土應(yīng)力曲線為拋物線。由式(1)第一項(xiàng)、式(2)～式(6)，可推導(dǎo)出等效矩形模型參數(shù)α和β解析解為：

(7)

(8)

求解式(7)、式(8)，化簡整理得到C50及以下強(qiáng)度等級(jí)混凝土圓形截面拋物線應(yīng)力狀態(tài)等效矩形應(yīng)力模型參數(shù)解析解為：

(9)

(10)

從式(9)和(10)可以看出，α和β的解析解不是定值，與本構(gòu)方程[式(1)]、受壓區(qū)高度(x)和應(yīng)變(εc1)有關(guān)。

1.2.2 拋物線-矩形應(yīng)力

在大偏心受壓(臨界點(diǎn)區(qū)域)、小偏心受壓破壞情況下，混凝土應(yīng)力曲線為拋物線-矩形。由式(1)～式(6)，可推導(dǎo)等效矩形模型參數(shù)α和β。解析解為：

(11)

(12)

式中：塑化點(diǎn)對(duì)應(yīng)角度θ0計(jì)算公式為：

(13)

求解式(11)、式(12)，化簡整理得到C50及以下強(qiáng)度等級(jí)混凝土圓形截面拋物線-矩形應(yīng)力狀態(tài)等效矩形應(yīng)力模型參數(shù)解析解為：

(14)

(15)

從式(14)、式(15)可以看出，α和β不是定值，與本構(gòu)方程[式(1)]、受壓區(qū)高度(x)和應(yīng)變(εc1)有關(guān)。

需要說明的是，在推導(dǎo)過程中，筆者采用纖維條帶數(shù)值積分法[16]自編程序[式(7)、式(8)、式(11)和式(12)]驗(yàn)證解析法公式，結(jié)果表明解析法公式[式(9)、式(10)、式(14)和式(15)]與條帶法完全吻合。

另外，圖2等效矩形應(yīng)力分布模型按照真實(shí)受壓區(qū)高度(x)計(jì)算，圖1按照折減受壓區(qū)高度(x1)計(jì)算，兩套系數(shù)之間的換算關(guān)系是：

(16)

式中:θx1為受壓區(qū)高度x1對(duì)應(yīng)的角度。

2 數(shù)值計(jì)算與分析

由式(9)、式(10)、式(14)和式(15)可知，α和β解析解自變量為應(yīng)變，如果知道偏心受力(拉彎、純彎或壓彎)破壞各種情況可能的應(yīng)變，則得到所有可能的α和β。鋼筋混凝土構(gòu)件偏心受力破壞有3種可能，即受拉鋼筋屈服(受拉邊緣鋼筋應(yīng)變?chǔ)舠1=受拉鋼筋屈服應(yīng)變?chǔ)舮)、混凝土受壓邊緣應(yīng)變?chǔ)與1達(dá)到壓彎極限應(yīng)變?chǔ)與u和旋轉(zhuǎn)點(diǎn)混凝土應(yīng)變?chǔ)舝達(dá)到軸壓極限應(yīng)變?chǔ)?。承載能力極限狀態(tài)軸力與應(yīng)變具有對(duì)應(yīng)關(guān)系[17]，如果按照軸力由軸拉極限至軸壓極限變化，則應(yīng)變分別按照?qǐng)D3(c)中的5個(gè)區(qū)域變化(用區(qū)域①、②、③、④和⑤表示)。其中，應(yīng)變AB是大、小偏心受壓臨界狀態(tài)(A點(diǎn)為受拉邊緣鋼筋屈服點(diǎn)，B點(diǎn)為受壓邊緣混凝土壓碎點(diǎn))，C點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)點(diǎn)。εr和εc2計(jì)算公式為:

圖3 承載力極限狀態(tài)應(yīng)變分布

(17)

由式(3)可知，α和β僅與混凝土截面抗力有關(guān)，與鋼筋抗力無關(guān)?；趹?yīng)變法計(jì)算正截面承載力，混凝土截面抗力與鋼筋抗力之間沒有耦合關(guān)系，即滿足疊加原理。因此α和β計(jì)算公式推導(dǎo)過程中，不考慮鋼筋內(nèi)力。鋼筋對(duì)應(yīng)變圖有兩個(gè)地方的影響，其一，受拉邊緣鋼筋位置定義了圖3(c)中A點(diǎn)高度位置；其二，受拉鋼筋屈服應(yīng)變?chǔ)舮定義了圖3(c)中區(qū)域③和區(qū)域④的分界點(diǎn)。但通過數(shù)值分析可知，這兩個(gè)地方對(duì)α和β的結(jié)果幾乎沒有影響。

圓形截面弓形混凝土受壓區(qū)應(yīng)變按照區(qū)域②、③、④和⑤變化，受壓邊緣混凝土應(yīng)變?chǔ)與1由0變化至εcu，受拉邊緣鋼筋應(yīng)變?chǔ)舠1由1%變化至e0，由式(9)、式(10)、式(14)和式(15)計(jì)算α和β，由式(5)計(jì)算無量綱軸力νc和彎矩μc，計(jì)算流程如圖4。圖4中，i為計(jì)數(shù)變量，Δ為應(yīng)變?cè)隽?筆者取Δ=-0.05‰)。

圖4 計(jì)算過程

C50及以下強(qiáng)度混凝土圓形截面按照?qǐng)D4計(jì)算流程，得到α和β曲線，如圖5(a)。為了比較，在圖5(b)同時(shí)給出了C50及以下強(qiáng)度混凝土矩形截面α和β曲線。

圖5 α和β曲線

比較圖5的圓形和矩形截面，可知：

1)《規(guī)范》建議的定α和β按照矩形截面區(qū)域③、④分析得到，即圖5(b)中“α=0.798，β=0.412”，換算為《規(guī)范》參數(shù)有 “α1=0.969，β1=0.824”。從圖5(a)可見圓形與矩形截面不同，圓形截面區(qū)域③、④中α和β不是定值，α從0.731增加至0.837，β從0.494減小至0.440。

2)無論矩形或圓形截面，α曲線從0變化至1，反映了混凝土截面應(yīng)力從0變化至軸壓的過程。雖然區(qū)域②中α變化幅度大但應(yīng)力小，因此將區(qū)域②中α取值假定為區(qū)域③具有合理性。

3)β曲線變化幅度小，圓形與矩形比較β曲線變化幅度更小，圓形β趨近于0.5(即β1=1.0)，表明圓形截面混凝土合力位置趨近于形心軸；雖然“β=0.5”與“β=0.4”在數(shù)值上相差不大，但加之圓形寬度方向變化非線性，軸力-彎矩偏差較大。

由此可見，對(duì)于α和β解析解，圓形截面與矩形截面差別大。那么對(duì)于混凝土抗力，按照α和β解析解計(jì)算，與按照《規(guī)范》定值參數(shù)“α1=1.0，β1=0.8”計(jì)算，結(jié)果如何？為此，基于應(yīng)變法，分別按照α和β解析和定值參數(shù)計(jì)算圓形和矩形截面混凝土抗力，結(jié)果見圖6。

圖6 軸力和彎矩曲線

圖6中，矩形截面無量綱混凝土軸力-彎矩為：

(17)

式中：b為截面寬度；h為截面高度。

由圖6可以做出以下分析：

1)《規(guī)范》中“α1=1.0，β1=0.8”應(yīng)用于圓形截面時(shí)，在小偏心受壓區(qū)域會(huì)高估壓彎承載力〔圖6(a)〕，由圖6(b)可見矩形截面偏差小于圓形。經(jīng)過比較分析，建議可將等效矩形應(yīng)力定值參數(shù)修正為“α1=0.954，β1=0.829”，修正之后曲線位于解析解內(nèi)側(cè)偏于安全，且偏差較小。

2)按照修正參數(shù)“α1=0.8，β1=1.0”計(jì)算得到的曲線與解析解在大偏心受壓區(qū)幾乎重疊，表明在大偏心受壓區(qū)，圓形截面仍然能夠與矩形截面一樣采用定值等效矩形應(yīng)力模型參數(shù)，采用筆者定值修正參數(shù)能夠較好估計(jì)圓形截面壓彎承載力；雖然按照修正參數(shù)在小偏心受壓區(qū)略低估壓彎承載力，但低估軸力增加了安全度，與設(shè)計(jì)原則“控制軸壓比，避免小偏心受壓脆性破壞”相一致。

3 結(jié) 論

等效矩形應(yīng)力模型由國內(nèi)外相關(guān)規(guī)范普遍采用，模型定值參數(shù)由矩形截面假定按照實(shí)驗(yàn)結(jié)果反算或理論推導(dǎo)方式確定。圓形截面寬度變化非線性，材料分布集中于形心軸，如果套用矩形截面等效矩形應(yīng)力模型定值參數(shù)，會(huì)造成壓彎承載力結(jié)果偏差較大。利用圓形截面微元面積和力臂三角函數(shù)表達(dá)式，按照軸向-彎曲承載力極限狀態(tài)所有可能的應(yīng)變分布，涵蓋大、小偏心受壓區(qū)域，推導(dǎo)圓形截面等效矩形應(yīng)力圖參數(shù)應(yīng)力飽滿系數(shù)和合力位置系數(shù)解析解，給出弓形混凝土受壓區(qū)壓彎承載力解析解計(jì)算流程。通過解析解開展數(shù)值分析，可以獲得下列結(jié)論：

1)參數(shù)α和β解析解不是定值，與本構(gòu)關(guān)系和受力有關(guān)。圓形截面中β變化幅度小，趨近于0.5，混凝土合力位置趨近于形心軸。在大小偏壓臨界點(diǎn)，矩形截面α和β是定值，圓形截面α和β不是定值。

2)相比矩形截面，《規(guī)范》中“α1=1.0，β1=0.8”用于圓形截面壓彎計(jì)算偏差更大，作者建議可將圓形截面定值參數(shù)修正為“α1=0.954，β1=0.829”。