解決概率猶豫模糊集多屬性群決策問題的兩種算法

朱國成 陳利群 李峰

(廣東創(chuàng)新科技職業(yè)學院 科學技術協(xié)會,廣東東莞 523960)

2014年,朱斌[1]在猶豫模糊集(Hesitant Fuzzy Sets, HFS)的基礎上引入了概率信息(將隸屬度發(fā)生的可能性用概率表示), 定義了概率猶豫模糊集(Probabilistic Hesitant Fuzzy Sets,PHFS)。由于PHFS相較于HFS蘊含更加豐富的信息量, 自定義以來得到了國內外學者的關注, 并報以極高熱忱投入到PHFS理論與應用研究中來。在PHFS理論研究方面, 文獻[2]給出了PHFS中元素(概率猶豫模糊數(shù), PHFN)的部分運算法則, 文獻[3]給出了PHFS的相似性測度, 文獻[4]初步研究了概率猶豫模糊偏好關系一致性條件等; 在PHFS應用研究方面,更多是在多屬性群決策(Multi-Attribute Group Decision Making, MAGDM)當中的應用研究。目前主要從概率猶豫模糊信息的融合理論與多屬性群決策的方法兩方面進行的研究。例如, 文獻[5]給出了概率猶豫模糊Einstein集成算子, 文獻[6]給出了概率猶豫模糊優(yōu)先權的集成算子等, 文獻[7]從決策者是有限理性的角度出發(fā)引入了前景理論, 建立了前景理論與概率猶豫模糊偏好關系的共識過程, 提供了一種有關序貫投資問題很好的解決方法, 文獻[8]針對信息不夠全面及動態(tài)趨勢, 提出了一種基于PHFS的動態(tài)決策算法。近年, 在對PHFE數(shù)據(jù)信息進行融合時,為了避免概率信息數(shù)據(jù)的衰減, 普通做法是對概率猶豫模糊信息運算進行歸一化處理, 同時, 為了獲取PHFE的綜合值, 基本做法是直接將概率與隸屬度進行數(shù)乘而后再對各PHFN進行糅合以此獲取PHFE的綜合值?？紤]到隸屬度與概率是兩個維度的數(shù)據(jù)信息, 本文直接將PHFN以點坐標形式進行書寫, 在二維視域下研究PHFS信息數(shù)據(jù)的測度問題。截至目前, 針對PHFS的多屬性群決策問題, 都是基于屬性為PHFS信息數(shù)據(jù)進行的決策分析, 將屬性的PHFS信息數(shù)據(jù)通過模型轉化為區(qū)間數(shù)再進行決策分析的文獻相對較少, 文章鑒于此方面進行了有益探索。

1 基礎知識

為了將概率猶豫模糊數(shù)(Probabilistic Hesitant Fuzzy Number, PHFN)中的隸屬度γl與之概率pl以二維變量形式體現(xiàn), 現(xiàn)將其按照點坐標形式書寫。

定義3根據(jù)定義2,h(p)為PHFE, 其幾何距離e=e(h(p))計算方法定義為

(1)

證明略。

定義4根據(jù)定義2, PHFEh(p), 其離差程度系數(shù)函數(shù)d=d(h(p))定義為

(2)

將PHFN按照點坐標形式書寫以后, 兩個PHFE之間的大小比較需要從二維平面的點坐標角度出發(fā)重新定義比較規(guī)則, 根據(jù)定義3、定義4, 針對2個PHFEh1(p),h2(p), 比較規(guī)則定義如下所示:

(1)e(h1(p))>e(h2(p)),?h1(p)?h2(p);

(2)e(h1(p))

(3)e(h1(p))=e(h2(p))

①d(h1(p))>d(h2(p)),?h1(p)h2(p);

②d(h1(p))

③d(h1(p))=d(h2(p)),?h1(p)=h2(p).

定義5根據(jù)定義3、定義4, PHFEh(p)的加權綜合值計算方法定義為

(3)

定義6令ai(i=1,2,…,n)為一組非負實數(shù)，且有r=1,2,…,n。若

(4)

1)對于任意的i, 若ai=a≥0, 則MSM(r)(a1,a2,…,an)=a;

2)對于任意的i, 若0≤ai≤bi, 則有MSM(r)(a1,a2,…,an)≤MSM(r)(b1,b2,…,bn);

3)對于任意的ai≥0, 有Min(a1,a2,…,an)≤MSM(r)(a1,a2,…,an)≤Max(a1,a2,…,an)。

定義9在MAGDM問題中, PHFEhij(pij)中元素PHFN的模糊值定義為

(5)

式中k=1,2,…,#hij(pij)、i=1,2,…,M、j=1,2,…,N。

定義10在MAGDM問題中,PHFEhij(pij)的幾何距離模型定義為

(6)

式中k=1,2,…,#hij(pij)、i=1,2,…,M、j=1,2,…,N。

定義11在MAGDM問題中, PHFEhij(pij)的離差程度系數(shù)模型定義為

(7)

式中k,k′=1,2,…,#hij(pij),i=1,2,…,M,j=1,2,…,N。

定義12在MAGDM問題中, PHFEhij(pij)的加權綜合值定義為

(8)

2 主要方法與結果

2.1 屬性權重計算方法

熵值法為確定屬性權重的主流方法之一, 在計算屬性權重時, 熵值越小則屬性蘊含的信息量越大, 對決策結果的影響就越明顯, 故, 對應的屬性權重就應該越大。本文采用熵值法計算屬性權重, 具體計算過程如下:

首先, 定義第j個屬性的熵如下

(9)

其中

(10)

其次, 屬性的權重確定公式為

(11)

2.2 決策算法1

該算法的基本思路是通過計算各個方案的屬性加權綜合值, 然后在相同屬性上對各個方案進行比較, 建立比較矩陣, 利用Maclaurin對稱平均算子集結比較結果, 最后通過計算各個方案在所有屬性上的測度結果大小達到排序方案目的, 具體決策過程如下:

步驟1 根據(jù)決策專家組給予方案的屬性值(本文考慮的屬性值皆為PHFN數(shù)據(jù)信息, 且屬性皆為效益型類型), 繪制決策專家評分表;

步驟2 依據(jù)2.1節(jié)的內容計算屬性權重ωj,j=1,2,…,N;

步驟7 比較|Hi|大小, 由Maclaurin對稱平均算子性質可知, |Hi|大者對應方案為優(yōu);

步驟8 結束。

2.3 決策算法2

對于屬性由PHFE構成的數(shù)據(jù)信息, 將PHFN換算為模糊值, PHFE中換算后的模糊值上下確界分別作為區(qū)間數(shù)的右左端點, 這樣以來, PHFE的值可以用區(qū)間數(shù)近似表示。在同一屬性上對不同方案采用區(qū)間數(shù)的積型貼近度公式進行兩兩測度構建積型模糊互補判斷矩陣, 通過求解積型模糊互補判斷矩陣的分量大小來確定各方案在該屬性上的優(yōu)劣, 最后計算出所有方案在所有屬性上總量值, 利用各方案的總量值依次確定方案順序。具體決策步驟如下:

步驟1 根據(jù)決策專家組給予方案的屬性值(本文考慮的屬性值皆為PHFN數(shù)據(jù)信息, 且屬性類型皆為效益型), 繪制決策專家評分表;

步驟2 依據(jù)2.1節(jié)的內容計算屬性權重ωj,j=1,2,…,N;

步驟5 根據(jù)定義7, 在第j個屬性上對各方案進行兩兩比較, 建立積型模糊互補判斷矩陣Hj,

i,i′=1,2,…,M;j=1,2,…,N;

i,i′=1,2,…,M;j=1,2,…,N;

步驟9 結束。

3 數(shù)值算例

為了說明本文2種算法的有效性及更好對各種算法結果進行對比, 本文采用文獻[11]中的案例進行舉例說明。

例: 對某個森林公園進行測評, 從休閑娛樂型、保健鍛煉型、養(yǎng)生養(yǎng)老型等3個因素進行測評, 通過測評結果來鑒定該公園屬于哪種類型, 3個因素分別用符號A1,A2,A3表示, 評價指標為健康需求、養(yǎng)老需求以及親子需求等, 評價指標分別用符號C1,C2,C3刻畫, 顯然這里的3個評價指標C1,C2,C3皆為效益型屬性, 評價專家組給出的評價表如表1所示, 現(xiàn)采用本文定義的兩種算法對該公園類型進行分析。

表1 決策專家評分表

3.1 算法1

步驟1 由2.1節(jié)方法可得各評價指標權重ω1=0.573 0,ω2=0.182 0,ω3=0.245 0;

步驟3 在單個評價指標上對各因素進行比較, 建立比較矩陣, 可得

這里Hii′在計算時采取四舍五入的方法獲取, 故有Hii′×Hi′i≈1;

步驟5 計算各個因素在所有評價指標上的綜合值|Hi|, |H1|=3.085 9, |H2|=3.232 7, |H3|=2.860 6。

步驟6 由步驟5得|H2|>|H1|>|H3|, 可知各因素排序為A2?A1?A3, 即該森林公園類型為保健鍛煉型。

3.2 算法2

步驟1 由2.1節(jié)方法可得各評價指標權重ω1=0.573 0,ω2=0.182 0,ω3=0.245 0;

|h11(p11)|=[0.293 2,0.355 4],

|h12(p12)|=[0.657 9,0.691 3],

|h13(p13)|=[0.323 6,0.592 3],

|h21(p21)|=[0.242 1,0.711 0],

|h22(p22)|=[0.619 0,0.661 2],

|h23(p23)|=[0.429 3,0.588 2],

|h31(p31)|=[0.139 4,0.287 9],

|h32(p32)|=[0.645 4,0.688 2],

|h33(p33)|=[0.396 0,0.615 0];

步驟4 利用Maclaurin對稱平均算子集結積型模糊互補判斷矩陣Hj中各方案的比較結果, 這里也取r=1, 得Ti(j),i=1,2,3,j=1,2,3。

T1(1)=1.788 5,T2(1)=4.338 9,

T3(1)=0.452 4,

T1(2)=1.068 9,T2(2)=0.912 8,

T3(2)=1.032 0,

T1(3)=0.798 9,T2(3)=1.168 8,

T3(3)=1.120 2.

3.3 比較算法結果

考慮到本文從二維視角定義下的PHFS來解決MAGDM問題, 為了說明該方法的有效性,現(xiàn)從評價指標的權重求解結果與算法決策結果兩方面進行對比, 具體比較結果如表2、表3所示。

表2 評價指標權重的不同求解方法

表3 不同決策算法比較

4 結語

研究表明：在二維視角定義下的PHFE幾何距離模型基礎上, 利用熵值法能夠快速計算方案的屬性權重; 算法1在決策過程中, 不但考慮了PHFE的大小, 還兼顧了PHFE中元素PHFN之間的相離程度, 決策時考慮的因素更加全面, 故決策結果說服力更強; 算法2在決策過程中, 將PHFE的數(shù)據(jù)信息通過模型以區(qū)間數(shù)進行代替, 該方法為PHFSMAGDM問題的解決提供了一種新的思路, 通過與其它文獻決策結果對比可知, 本文建立的兩種決策算法皆可行。