三面骰子的動(dòng)力學(xué)分析和幾何特性

范祥彬，盧奕合，劉逍娜，王鐵成

(山西大學(xué) 物理電子工程學(xué)院，山西 太原 030006)

2022年CUPT第7題：硬幣落地時(shí)側(cè)面站立的情況十分罕見(jiàn).為了使圓柱形骰子落下時(shí)立在側(cè)面、正面與反面概率相同，應(yīng)該具有怎樣的物理性質(zhì)和幾何特征？

目前已經(jīng)有研究者對(duì)三面骰子的問(wèn)題展開(kāi)過(guò)詳細(xì)的描述[1]，但是仍然存在一些細(xì)節(jié)沒(méi)有得到解答.例如，在投擲三面骰子時(shí)，如果給予它水平方向的速度，側(cè)面出現(xiàn)的概率會(huì)發(fā)生什么變化？ 三面骰子反復(fù)彈跳是否會(huì)有不同的結(jié)果？基于以上問(wèn)題，本文進(jìn)行了相關(guān)研究和討論.

首先，把硬幣定義為圓柱體，當(dāng)它充分翻轉(zhuǎn)落地時(shí)，雖然側(cè)面出現(xiàn)的概率極小，但卻不能忽略其可能性.硬幣除了有1個(gè)平移自由度外，還有2個(gè)旋狀自由度，但是在實(shí)際情況下，由于硬幣的對(duì)稱(chēng)性(側(cè)面高度趨于零)，平移自由度作用并不明顯，因此可以認(rèn)為理想硬幣落在正面或者反面的概率近似為1/2，但是一旦改變其側(cè)面的厚度，立在側(cè)面的概率就會(huì)改變，正面或者反面的概率將不再是1/2.

對(duì)于硬幣、正方體骰子和陀螺骰子而言，立在不同面的概率可以通過(guò)物體的對(duì)稱(chēng)性來(lái)預(yù)測(cè).但當(dāng)物體不再具有精確的對(duì)稱(chēng)性時(shí)，立在不同面的概率就不可能只受幾何特征的影響，還需要考慮彈跳的影響.

1 三面骰子的定義

三面骰子的立體圖及截面圖如圖1所示，設(shè)圓柱半徑R與高度h的比為

(a)立體圖

(1)

則內(nèi)角為

β=2arctan(2η),

(2)

(3)

2 骰子的投擲方式

研究者們大都假設(shè)三面骰子豎直下落，而不具有水平方向的速度，下面給出簡(jiǎn)單的理論解釋.

假設(shè)在t=t1和t=t2時(shí)刻，系統(tǒng)的位置由2組坐標(biāo)q(1)和q(2)確定，則系統(tǒng)在這2個(gè)位置之間的運(yùn)動(dòng)積分

(4)

(5)

故

(6)

函數(shù)L為給定系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)或拉格朗日量，積分S為作用量.

當(dāng)僅考慮三面骰子落地時(shí)的狀態(tài)(落地前的運(yùn)動(dòng)行為不考慮)，假設(shè)骰子在地面沿直線滾動(dòng).現(xiàn)以三面骰子向前滾動(dòng)時(shí)的2種極端的運(yùn)動(dòng)方式為例，即側(cè)面滾動(dòng)和正反面輪流翻滾(圖2).利用式(1)求出這2種運(yùn)動(dòng)方式的η值，其他運(yùn)動(dòng)方式的η值介于這兩者之間.

(a)側(cè)面滾動(dòng) (b)正反面輪流翻滾

2.1 側(cè)面滾動(dòng)

(7)

(8)

拉格朗日量

(9)

根據(jù)拉格朗日方程，則有

(10)

(11)

積分可得

x=C1t+C2.

(12)

2.2 正反面輪流翻滾

如圖2(b)所示，骰子勢(shì)能V不再是常量，并其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

(13)

故動(dòng)能可表示為

(14)

拉格朗日量為

(15)

根據(jù)拉格朗日方程可得：

(16)

(17)

(18)

對(duì)比圖2(a)和圖2(b)，可以看到在圖2(b)情況下，骰子會(huì)受到額外的耗散力影響，因此圖2(a)消耗能量較少，圖2(b)消耗能量較多，其他運(yùn)動(dòng)狀態(tài)則介于二者之間.由于圓形物體滾動(dòng)時(shí)，其重心高度相對(duì)于地面接觸點(diǎn)不變,滾動(dòng)時(shí)不需要克服重力做功，處于能量最低態(tài)，是最穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)方式.因此骰子總是趨向于側(cè)面著地.

在現(xiàn)實(shí)情況中，首先骰子會(huì)受到地面的影響，使得骰子滾動(dòng)時(shí)的軌跡為曲線，但曲線軌跡并不會(huì)影響結(jié)論；其次，滾動(dòng)摩擦力比最大靜摩擦力小得多，側(cè)面滾動(dòng)主要受到滾動(dòng)摩擦，正反面翻滾主要受到最大靜摩擦，即前者相比后者更能保證運(yùn)動(dòng)最大量，可以很大程度上減小克服摩擦力做功.因此，即使考慮摩擦影響，骰子也是趨向側(cè)面滾動(dòng)狀態(tài).所以可得出以下結(jié)論：三面骰子如果具有水平方向的初速度，骰子總是趨向于側(cè)面著地向前滾動(dòng).性質(zhì)會(huì)影響骰子立地概率的公平性，從而導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)結(jié)果與實(shí)際情況不符.

那么，是否可以得出具有一定厚度的三面骰子都是趨向于側(cè)面著地的結(jié)論呢？對(duì)此，對(duì)不同尺寸的三面骰子的著地情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表1所示.

表1 不同尺寸的三面骰子著地的情況

實(shí)驗(yàn)采用的骰子直徑2R=2.500 cm，h=0.833 cm，如若不給初速度，正常投擲，大都會(huì)認(rèn)為骰子正反面著地的可能性大，然而表1卻是側(cè)面落地的次數(shù)多，表明骰子向前投擲會(huì)增加側(cè)面著地的概率，與理論猜想相同.

同樣利用硬幣進(jìn)行翻滾實(shí)驗(yàn)時(shí)，大多數(shù)情況下也都是側(cè)面向前滾動(dòng)的情況，但由于硬幣的側(cè)面尺度很小，立地條件不足，容易受到外界擾動(dòng)的影響，所以不論怎么拋擲都不會(huì)影響公平性.

如果地面光滑，采用向前拋擲的方法，硬幣便不會(huì)受到外界擾動(dòng)，將保持自身的慣性，從而有可能出現(xiàn)側(cè)面立地的情況.因此，在投擲圓柱形骰子時(shí)，盡量保持骰子在水平方向無(wú)初速度.

3 三面骰子實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

圖3所示骰子是以ABS材質(zhì)為原材料的實(shí)心圓棒，利用游標(biāo)卡尺測(cè)量長(zhǎng)度，通過(guò)手工鋸和銼刀切割磨皮，雖以上制作方法存在較大誤差(手工切割所帶來(lái)的正反兩面的不對(duì)稱(chēng))，但由于目前只是驗(yàn)證模型，即只需證明側(cè)面出現(xiàn)的概率接近1/3，因此可以忽略誤差帶來(lái)的影響.骰子直徑固定2.500 cm，制作不同高度的骰子，實(shí)驗(yàn)時(shí)1次性投擲5個(gè)相同高度的骰子，多個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)可以避免單一骰子帶來(lái)的固有偏差[3].

圖3 手工骰子

第2章已證明三面骰子水平方向不應(yīng)具有初速度，為了避免這種情況，設(shè)計(jì)了如圖4所示的投擲裝置.

圖4 投擲裝置示意圖

將骰子從寬口丟下，讓骰子充分旋轉(zhuǎn)，在骰子接近窄口時(shí)，由于路口變窄，骰子劇烈震蕩，骰子的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能部分損失，并轉(zhuǎn)化為豎直向下的動(dòng)能，這樣就滿足了第2章中論述的限制條件.改變投擲裝置的高度，可改變骰子的彈跳情況.投擲裝置采用5 L礦泉水桶裁去桶底部分制作.

當(dāng)三面骰子豎直落地時(shí)，由于邊緣落地帶來(lái)的反彈，能量在豎直方向可能無(wú)法抵消，從而讓骰子具有水平方向的動(dòng)能(在同一豎直線反復(fù)彈跳的結(jié)果不太可能出現(xiàn))，那么當(dāng)出現(xiàn)該情況時(shí)，需要舍棄該結(jié)果并重新投擲.此外，設(shè)計(jì)骰子分別在水泥和PVC材質(zhì)的接觸面上著地.

4 三面骰子模型

在完全不考慮反彈的情況下提出了3種三面骰子的模型，出發(fā)角度各不相同，得出的結(jié)果也有差異.為了驗(yàn)證前文內(nèi)容，設(shè)置了3種實(shí)驗(yàn)環(huán)境：在無(wú)初速度時(shí)水泥面和PVC面著地，以及有初速度時(shí)，骰子在水泥面著地的情況.

4.1 圓柱體表面積模型

通過(guò)借鑒標(biāo)準(zhǔn)正方體骰子出現(xiàn)等概率性的特性，猜想表面積可能是影響因素之一，于是得出：

(19)

表2 圓柱體表面積模型骰子著地情況

4.2 立體角模型

(a)立體圖

設(shè)球冠的表面積為A，利用微元法求解.在球冠上取細(xì)小的圓環(huán)，半徑為r，弧長(zhǎng)為dl=Rdθ，于是面積為

dA=2πrdl=2πrRdθ,

(20)

(21)

因r=Rcosθ,則

(22)

(23)

由立體角公式，有

(24)

為使其平均，應(yīng)該使得立體角為

(25)

(26)

表3 立體角模型骰子下落情況

由表3中數(shù)據(jù)得：水泥接觸面時(shí)骰子的正面概率PA=0.443,反面概率PB=0.383,側(cè)面概率PS=0.174；PVC接觸面時(shí)骰子的正面概率PA=0.427,反面概率PB=0.363,側(cè)面概率PS=0.210.很明顯，側(cè)面概率與理想值0.333有較大偏差.故馮諾依曼假設(shè)僅在數(shù)學(xué)模型上合理，但與實(shí)驗(yàn)結(jié)果不符.

4.3 重心模型

圖6為三面骰子落地時(shí)與接觸面接觸時(shí)的一種狀態(tài)，重心線的偏向決定了三面骰子倒地的結(jié)果[5]，θ為重心線與x軸的夾角，OH為重心線，決定骰子的偏向.

圖6 圓柱骰子截面圖

表4 重心模型下骰子下落情況

由表4中數(shù)據(jù)可得：接觸面為水泥且無(wú)初速的條件下，骰子正面概率PA=0.335,反面概率PB=0.322,側(cè)面概率PS=0.343,側(cè)面相對(duì)偏差Er=3.0%；接觸面為PVC且無(wú)初速的條件下骰子正面概率PA=0.320,反面概率PB=0.351,側(cè)面概率PS=0.328,側(cè)面相對(duì)偏差Er=1.5%.數(shù)據(jù)與理論吻合較好.

5 彈跳模型

上文僅考慮了三面骰子落地瞬間便損失全部動(dòng)能的情況，現(xiàn)以簡(jiǎn)單彈跳情況為例進(jìn)行分析.假設(shè)每次落地?fù)p失一部分動(dòng)能，即三面骰子經(jīng)過(guò)多次反復(fù)彈跳才會(huì)停止，并且每次落地彈跳之后會(huì)經(jīng)過(guò)充分旋轉(zhuǎn)，再次落地時(shí)方向依舊隨機(jī).假設(shè)初始時(shí)，三面骰子具有能量E，第一次與地面碰撞后能量為γE，第n次碰撞后能量為γnE(n=1,2,3…)，其中γ<1為衰減系數(shù)[6].

定義2個(gè)能量值EAB和ES，它們分別表示底面和側(cè)面的能量勢(shì)阱，如圖7所示.假設(shè)底面的勢(shì)阱高，即ES>EAB(若ES

圖7 ES>EAB情況下對(duì)應(yīng)的能量勢(shì)阱圖

此時(shí)落在2個(gè)山谷的概率正比于兩側(cè)山峰的間距，則會(huì)出現(xiàn)如下情況：

1)假設(shè)經(jīng)過(guò)n次彈跳，能量為EAB<γnE,γn+1E

(27)

該假設(shè)還可以表述為：假設(shè)前m次碰撞，其能量為γmE>ES，而EAB<γm+1E

2)假設(shè)經(jīng)過(guò)n次碰撞后能量為γnE

(28)

(29)

(30)

(31)

現(xiàn)考慮式(28)，則

(32)

(33)

該結(jié)果與式(30)和式(31)相同.

當(dāng)ES=EAB時(shí)，對(duì)應(yīng)如圖8所示的能量勢(shì)阱.骰子經(jīng)過(guò)n次彈跳后，能量為γnE

圖8 ES=EAB情況下對(duì)應(yīng)的能量勢(shì)阱圖

(34)

此條件下得到的結(jié)果，與前面結(jié)果相同，但此種情況很特殊，等式成立的條件比不等式成立更加苛刻，因此不易實(shí)現(xiàn).

在本節(jié)中，得出結(jié)論有：三面骰子不允許多次彈跳，否則實(shí)驗(yàn)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)很大偏差.所以實(shí)驗(yàn)過(guò)程中要求三面骰子落地后，動(dòng)能必須立刻損失或彈跳1次后減為零，否則將不會(huì)出現(xiàn)等概率事件.

在構(gòu)造彈跳模型時(shí)，沒(méi)有給出E和r的數(shù)值，因此做了如下假設(shè)：

a.每次碰撞后的能量衰減參量不變，并且各個(gè)接觸點(diǎn)的衰減參量都相同；

b.每次彈跳落地前都經(jīng)過(guò)充分旋轉(zhuǎn)，落地后再次隨機(jī)；

c.E和γ不同取值不會(huì)導(dǎo)致其他影響；

d.從始至終只有骰子的豎直方向有動(dòng)能，且反彈不會(huì)帶來(lái)方向的偏移.

上面4個(gè)假設(shè)的約束性較強(qiáng)，使得彈跳模型局限性較大.根據(jù)熱力學(xué)模型的建立過(guò)程可知，模型的限制越多，模型與實(shí)際情況就越可能畸變.三面骰子不像正方形骰子、異體形骰子，每個(gè)面都有精準(zhǔn)的對(duì)稱(chēng)性，因此需做出一些條件假設(shè)求解三面骰子模型.

根據(jù)本節(jié)內(nèi)容，n=0的情況與4.3節(jié)相同，現(xiàn)給出n=1,2時(shí)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，如表5～6所示.

表5 n=1,η=時(shí)骰子的下落情況

由表5可知：當(dāng)n=1，接觸面為水泥時(shí)，骰子的正面概率PA=0.330,反面概率PB=0.349,側(cè)面概率PS=0.321,側(cè)面相對(duì)偏差Er=3.6%.

猜想n=0，1情況下，實(shí)驗(yàn)結(jié)果相差不大的原因只是由于碰撞1次帶來(lái)的效果不特別明顯，為了滿足骰子只碰撞1次，需要調(diào)節(jié)高度來(lái)實(shí)現(xiàn)，在實(shí)驗(yàn)中，這種高度不足以產(chǎn)生特別明顯的誤差.圓柱形骰子是不完美對(duì)稱(chēng)的，因此碰撞之后會(huì)使骰子的運(yùn)動(dòng)方向改變.因此骰子具有水平方向的初速度，也會(huì)導(dǎo)致側(cè)面的概率發(fā)生變化.

由圖9可以看出，不完美對(duì)稱(chēng)的物體反彈以后，會(huì)偏離原來(lái)的運(yùn)動(dòng)方向，由能量守恒可知，骰子具有了水平方向的速度，根據(jù)第2章內(nèi)容，骰子側(cè)面著地的概率將會(huì)增加.

(a)高度對(duì)稱(chēng)球的反彈

通過(guò)簡(jiǎn)單的測(cè)試發(fā)現(xiàn)，骰子豎直落下，發(fā)生彈跳,側(cè)面著地的次數(shù)會(huì)大大增加(表7)，這樣的結(jié)果與第2節(jié)的內(nèi)容相符.所以給出的結(jié)論是：實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，保持n=0才最為合理.

表7 發(fā)生彈跳后的骰子下落情況

表6 n=2,η=0.391 2時(shí)骰子下落情況

綜上所述幾何和反彈模型共同說(shuō)明:圓柱形骰子須無(wú)反彈、無(wú)水平初速度的投擲才能保證其等概率著地.

6 標(biāo)準(zhǔn)骰子實(shí)驗(yàn)

圖10 3D打印骰子

表8 標(biāo)準(zhǔn)骰子的下落情況

接觸面為水泥面時(shí)，骰子正面概率PA=0.332,反面概率PB=0.336,側(cè)面概率PS=0.331，側(cè)面相對(duì)偏差Er=0.6%.

接觸面為PVC面時(shí)，骰子正面概率PA=0.327,反面概率PB=0.342,側(cè)面概率PS=0.330，側(cè)面相對(duì)偏差Er=0.9%.

利用Pycharm軟件進(jìn)行模擬如圖11所示，模擬投擲次數(shù)為1 000次，做了10次模擬的數(shù)據(jù)如表9所示.

表9 Pycharm軟件模擬投擲情況

圖11 Pycharm軟件模擬

從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)上可以看出，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論分析較吻合，如果需要更接近333的數(shù)據(jù)，可以通過(guò)調(diào)節(jié)滾動(dòng)摩擦力來(lái)實(shí)現(xiàn).

7 結(jié) 論