空氣熱機平衡點的快速判定方法

全泓達,蓋 磊

(中國海洋大學 物理與光電工程學院，山東 青島 266100)

熱機是將熱能轉(zhuǎn)換為機械能的儀器.法國青年工程師卡諾從理論上對理想熱機的工作原理進行研究，提出了一種理想的由2個等溫及2個絕熱過程的循環(huán)，稱為卡諾循環(huán)，并在1824年提出了卡諾定理，為后來熱力學第二定律的建立奠定了基礎，為提高熱機的效率指明了方向，為熱力學的發(fā)展做出了杰出的貢獻[1-3].

由于熱機的整個裝置處于動態(tài)平衡，獲取精準的靜態(tài)狀態(tài)數(shù)據(jù)需要較長的判斷時間，因此本文主要基于空氣熱機實驗中驗證卡諾定理的靜態(tài)測量法，探索了快速判斷平衡點的方法.

1 實驗設備及原理

1.1 空氣熱機實驗儀

實驗采用世紀中科的ZKY-RJ空氣熱機實驗儀，實驗由空氣熱機電加熱器進行加熱，并由空氣熱機測試儀得到冷端溫度、熱端溫度、轉(zhuǎn)速、氣缸壓力以及氣缸體積等實驗數(shù)據(jù)，并經(jīng)過實驗通信器面板傳回電腦進行數(shù)據(jù)顯示.

1.2 靜態(tài)測量法驗證卡諾定理

熱機每次循環(huán)從熱源吸收的熱量

(1)

其中，n為熱機轉(zhuǎn)速，ΔT為冷熱端溫差.因此熱機效率η可表示為

(2)

其中，A為氣體對外所做的凈功，即P-V圖中曲線所圍面積.由于式中的變量均可以在實驗中測量得到，因此通過觀測不同冷熱端溫度時的nA/ΔT與ΔT/n的關系即可驗證卡諾定理.

測量式子(2)中的參量有2種方法：靜態(tài)測量法和動態(tài)測量法.靜態(tài)測量法是在電壓檔位一定時，在系統(tǒng)穩(wěn)定后測量得到的平均值，可以表示在一定的冷熱端溫度時的關系.熱機穩(wěn)定工作是指冷熱端在一定的溫度下，保持一定的效率，即在每次循環(huán)中熱機對外做功近乎不變.在一定輸入功率下，系統(tǒng)是否達到平衡取決于冷熱端的溫差和轉(zhuǎn)速，即通過電加熱器可以使冷熱端溫差變大(視冷端溫度不變或者變化很小)，而熱機每次循環(huán)都將從熱源吸收熱量，使冷熱端溫差下降.所以二者的平衡即是靜態(tài)測量法所需要的穩(wěn)定狀態(tài).

實驗中判斷熱機是否平衡需要長時間的數(shù)據(jù)記錄，當轉(zhuǎn)速、冷熱端溫差在一定范圍內(nèi)上下浮動時(例如n<1 r·s-1，ΔT<5 K)，可判斷空氣熱機達到平衡狀態(tài)，但判定平衡點的觀測時間通常需要10 min甚至更長，從而不利于實驗教學.

2 實驗設計及步驟

1)打開計算機、測試儀和通信器，加熱電源；

2)將電壓調(diào)至5檔，預熱儀器使飛輪順利轉(zhuǎn)動(一般ΔT>80 K)；

3)將電壓調(diào)回1檔，開始計時計數(shù)，每隔1 min記錄1次T1,ΔT,n和A，直至各項數(shù)值在平衡點附近變化(記錄時間約1 h)；

4)將電壓調(diào)至2檔重復上述步驟3).

3 數(shù)據(jù)處理

3.1 數(shù)據(jù)處理方法的原理

3.1.1 K型均值聚類

K型均值聚類(K-means clustering)是經(jīng)典的無監(jiān)督機器學習算法，用于無目標值的數(shù)據(jù)集[4].K型算法主要是通過迭代來對數(shù)據(jù)集進行分類.首先在樣本中選取任意K個樣本作為聚類中心,利用所選取的聚類中心計算各樣本與中心間的距離；然后根據(jù)獲得的最小計算距離重新劃分對象.距離一般通過歐式距離Dδ進行度量，表達式如下：

Dδ(xi,xj)=

(3)

其中，xi=(xi1,xi2，…，xip)和xj=(xj1,xj2,…,xjp)表示p維歐幾里德空間中的2點.重新計算獲得每個樣本的均值后，迭代至目標函數(shù)值不變或者小于指定閾值.目標函數(shù)為平方誤差準則函數(shù)，表示為

(4)

其中,Ci為數(shù)據(jù)對象數(shù)量，ci表示第i個簇中心.

3.1.2 KNN分類

最近鄰節(jié)點分類(K-nearest neighbor，KNN)方法是有監(jiān)督的弱機器學習算法[5],其通過計算預測值與現(xiàn)有樣本的閔可夫斯基距離(Minkowski distance)來確定預測所屬類別.

閔式距離的表達式為：

(5)

當p→∞時，閔式距離轉(zhuǎn)化為切比雪夫距離(Chebyshev distance)；當p=2時，閔式距離轉(zhuǎn)化為歐幾里得距離；當p=1時，閔式距離轉(zhuǎn)化為曼哈頓距離(Manhattan distance).通過閔式距離，可較好表示n維歐幾里德空間中2點相對距離.

KNN算法中最為重要的參量為判斷類別時采用的樣本個數(shù)，若選取的樣本數(shù)量過小，容易受到異常點的影響；若選取的樣本數(shù)量過大，就會受到樣本均衡的影響，所以選取合適的樣本數(shù)對KNN模型具有重要作用.

本文對實驗數(shù)據(jù)進行KNN分類處理，以獲得能較好判斷熱機是否到達平衡的模型，通過該模型能準確快速地判斷空氣熱機是否達到平衡，從而減少實驗時間.

3.2 實驗數(shù)據(jù)處理

為使實驗結果具有普適性，消除儀器和檔位(加熱電壓)的偶然性，本文對2臺儀器3個檔位進行實驗，部分原始數(shù)據(jù)如表1所示.

表1 實驗原始數(shù)據(jù)(部分)

由于各項指標的數(shù)據(jù)單位以及數(shù)值大小不同，所以需要對各類數(shù)據(jù)進行標準化.假設進行分析的指標變量有m個，分別為z1,z2,…,zm，共有n個評價對象，第i個評價對象的第j個指標的取值為aij[6].將各指標值轉(zhuǎn)化為標準化值有

(6)

由式(6)可獲得各項指標標準化后隨時間的變化圖線，如圖1所示.根據(jù)卡諾定理，熱機在穩(wěn)定運行時，其在1個循環(huán)內(nèi)的效率僅跟冷熱端溫度有關，而在多次循環(huán)中，轉(zhuǎn)速與循環(huán)次數(shù)有關，那么是否平衡也與轉(zhuǎn)速有關.以下將不考慮對外做功對平衡判斷的影響.需要補充說明的是，為了獲取僅與上述因素有關的熱機平衡判定方法，而非對比儀器間差異，所以無需控制儀器A和B都在電壓檔1和2進行實驗測量.

(a)儀器A電壓檔1

利用得到的標準化數(shù)據(jù)，進行K型聚類[7]，將歐幾里德距離作為K型聚類的判斷標準，將數(shù)據(jù)分為平衡狀態(tài)與非平衡狀態(tài)，由此可以獲得較為客觀公正的平衡點，圖2為聚類后的輪廓圖.

(a)儀器A電壓檔1

圖2中簇1為聚類后認定的平衡狀態(tài)，簇2為聚類后認定的非平衡狀態(tài).通過對輪廓圖的分析，可以發(fā)現(xiàn)聚類效果較為顯著.為了讓實驗數(shù)據(jù)更具有信服力，本次實驗記錄了長時間(遠超熱機平衡所需時間)的實驗數(shù)據(jù)，所以有大量的平衡狀態(tài)數(shù)據(jù)點，而該類型的點能很好地被聚集在一起，形成較為明顯的數(shù)據(jù)邊際，說明平衡與非平衡之間存在一定的衡量指標.

然后利用KNN進行分類，將所有數(shù)據(jù)進行整合，并將加熱電壓值作為模型建立的特征值.圖3和圖4為模型的訓練結果.

圖3 模型ROC曲線與AUC

圖4 模型混淆矩陣

整體利用5折交叉驗證獲得的模型準確率達到93.3%，且為了防止過擬合，預留部分數(shù)據(jù)進行驗證，最后效果較好，基本滿足預期需求.

圖3為模型的ROC曲線(Receiver operating characteristic)，其中AUC[8](Area under curve)接近1，遠在超假正率(False positive rate，F(xiàn)PR)等于真正率(True Positive Rate，TPR)的直線上方，接近1個完美的分類器.

圖4為模型的混淆矩陣[9]，從矩陣可以看出誤判斷數(shù)量較少，整體能比較好地對平衡與非平衡狀態(tài)進行分類.

基于以上模型，再次進行5組實驗，在不同儀器不同電壓檔位下各測量60個數(shù)據(jù)，并將得到的數(shù)據(jù)放入模型預測系統(tǒng)是否處于平衡狀態(tài).為了避免儀器因轉(zhuǎn)速過高而觸發(fā)保護機制，將最高電壓檔位設定為4檔.

圖5是模型對于系統(tǒng)是否達到平衡狀態(tài)判斷，橫坐標表示儀器和電壓檔位，上下閾值為K-means聚類算法得出的平衡點的最大值和最小值，模型所判斷出的平衡點落在該范圍越多說明模型判定準確性越好.可以看出，模型判斷的平衡點基本都集中在平衡范圍內(nèi).

圖5 不同儀器、不同電壓檔位下系統(tǒng)平衡狀態(tài)的判斷結果

圖6為C儀器在電壓檔為4時的轉(zhuǎn)速隨時間的判斷結果，可看出系統(tǒng)在平衡狀態(tài)與非平衡狀態(tài)間的轉(zhuǎn)換位置處于曲線拐點，與真實進入平衡點時間不超過2 min，說明該模型判斷效果較好.

圖6 C儀器在電壓檔為4時轉(zhuǎn)速隨時間的判斷結果

4 結束語

本文通過對空氣熱機實驗測得的數(shù)據(jù)進行分析，獲得了基于KNN的模型分類器，通過多種指標對模型進行衡量分類都有較好的預測結果.其中，誤分類點處于平衡狀態(tài)與非平衡狀態(tài)的模糊界線處，從錯誤預測進入正確預測所需時間不大于2 min，因此誤分類相較于接近10 min的主觀判斷有了大幅度的提升，并具備一定的實用性.將每一時刻獲得的數(shù)據(jù)輸入該模型，能得到較好的預測結果.另外，通過K-means聚類算法可以對因測量精度、環(huán)境影響、儀器誤差、動態(tài)平衡等因素帶來的數(shù)據(jù)波動提供較好的參考中心值，從而使得真實值的選取更加準確.