第52屆國際物理奧林匹克競賽實驗試題1的介紹與解答

李文華,王 槿,惠王偉,劉麗颯,宋 峰,孔勇發(fā)

(南開大學 a.物理科學學院; b.基礎(chǔ)物理國家級實驗教學示范中心，天津 300071)

2022年7月10-17日，南開大學物理科學學院率領(lǐng)中國代表隊參加了由瑞士主辦的第52屆國際物理奧林匹克競賽(International Physics Olympiad，IPhO).參賽的5名中學生全部獲得金牌，并取得團體第一、總分第一、實驗總分第一和理論總分第一的優(yōu)異成績.比賽采取線上方式，其中實驗考試首次采用全線上遠程虛擬考試.實驗試題有2道，分別為行星(Planet)和柱狀二極管(Cylindrical diode)[1].實驗試題總分20分，試題1計12分，試題2計8分.本文介紹了實驗試題1的命題并給出解答，并對題目結(jié)構(gòu)及學生的答題情況做簡要分析.

1 試 題

你發(fā)現(xiàn)自己在陌生的行星上，卻不知道如何到達的.要做的第一件事是更多地了解你所在的這顆行星.你還記得伽利略是如何用落球做實驗的，并受此啟發(fā)建造了高度為H=2 000 m的理想豎直的塔(圖1).有了這座塔，便可以從塔上任意高度h(球的底部到地面的高度)拋球.由于受所能獲得的材料限制，因此只能拋下半徑5 cm≤r≤50 cm，密度0.1 g/cm3≤ρ≤10 g/cm3的球.

圖1 藝術(shù)家對本題的夸張描繪

任何時候都從靜止開始釋放球，并能夠測量球下落到地面所經(jīng)歷的時間t，以及球的落點位置距其拋點間的水平距離s.

在開始實驗前，對這顆行星做了以下觀察:

1)根據(jù)恒星的運動，發(fā)現(xiàn)自己正處于該行星赤道的某處.

2)這顆行星有大氣層，但大氣密度小,可以忽略大氣浮力.

3)地表溫度為T0=20 ℃.

4)似乎有一股沿著赤道吹的風，在整個塔的高度上風速均勻，忽略塔對風速的影響.

1.1 仿真軟件介紹

在已知球拋下的高度h、球半徑r和密度ρ時，命令行程序模擬球的下落時間t和球落點位置偏離塔基的距離s的測量.在相應(yīng)的提示后通過鍵盤可輸入對應(yīng)參量的值，并通過按回車鍵(Enter鍵)進行確認.

開始操作前，在界面提示時輸入以下授權(quán)密碼:12345678.888.如果輸入密碼錯誤，程序?qū)⑦M入測試模式，此時需要重啟程序.

軟件程序單個模擬周期的典型輸出界面如圖2所示.

圖2 軟件程序運行的典型界面

首先輸入以m為單位的高度h(0～2 000之間的數(shù)),然后輸入以cm為單位的球半徑r(5～50之間的數(shù))，最后輸入以g/cm3為單位的球密度ρ(0.1～10.0之間的數(shù)).每次輸入都要用回車鍵(Enter)確認.程序?qū)⑤敵鲆詓為單位的t和以m為單位的s.

然后程序進行循環(huán)，重復上述過程.輸入超出實驗范圍的值，程序界面會給出報錯提示“Value Out Of Bounds”,然后返回到回答錯誤的提示界面.

輸入的高度h四舍五入到1 m，r四舍五入到1 cm，ρ四舍五入到0.01 g/cm3(嘗試輸入更精確的數(shù)是毫無意義的).

實驗結(jié)果有隨機誤差，以模擬實際實驗操作中的有限精度.參賽選手可以通過觀察輸出數(shù)值的波動得到誤差的大小.

任何時候需要退出程序，可按Ctrl+C鍵.

1.2 常量列表及有用的關(guān)系式

1)引力常量G=6.67×10-11m3/(kg·s2).

2)理想氣體常量R=8.314 J/(mol·K).

3)0 ℃=273.15 K.

4)橫截面積為A、速度為v的球在密度為ρa的大氣中受到的大氣阻力為

Fd=0.24Aρav2.

(1)

5)絕熱大氣的密度分布為

(2)

式中，γ為絕熱系數(shù)，μ為大氣的摩爾質(zhì)量，g為自由落體加速度，h為距離地面的高度.此密度分布到大氣頂部(該處溫度T=0 K)均適用.

1.3 試題

1.3.1 A部分：行星的屬性(3分)

A.1 做適合的測量，并在答題卡中給定區(qū)域畫出合適的圖，確定該行星上的自由落體加速度g.給出結(jié)果的不確定度分析.(2.0分)

A.2 在行星上，從塔出發(fā)沿赤道向遠方行走，發(fā)現(xiàn)你能看到塔的最大距離為L=230 km(你與塔頂?shù)闹本€距離).該星球的半徑Rp是多少?可假設(shè)你的高度遠小于塔的高度.(0.5分)

A.3 估測該行星質(zhì)量M，并給出結(jié)果的不確定度分析.哪一物理因素對你估算結(jié)果的準確性影響最大?在答題卡中勾選此物理因素(表1).(0.5分)

表1 答題卡上所列出的影響因素

1.3.2 B部分:大氣的屬性(6.5分)

B.1 做適合的測量，并在答題卡相應(yīng)區(qū)域繪制適當?shù)膱D，確定行星表面的風速u.給出結(jié)果的不確定度分析.(2.0分)

B.2 通過實驗得到額外的數(shù)據(jù)，或者重新使用以前的數(shù)據(jù)，并在答題卡相應(yīng)區(qū)域繪制適當?shù)膱D，確定行星表面的大氣密度ρa0.給出結(jié)果的不確定度分析.(1.0分)

B.3 假設(shè)大氣是絕熱的，絕熱系數(shù)γ=1.4，做適合的測量，在答題卡相應(yīng)區(qū)域畫出合適的圖，確定大氣層的厚度H0.給出結(jié)果的不確定度分析.(3.0分)

B.4 計算大氣的摩爾質(zhì)量μ和塔底部的氣壓p0.給出結(jié)果的不確定度分析.(0.5分)

1.3.3 C部分：1 d的時長(2.5分)

C.1 做適合的測量，在答題卡相應(yīng)區(qū)域畫出合適的圖，確定該行星上1 d的時長Tp.給出結(jié)果的不確定度分析.

2 試題解答

2.1 A部分：行星的屬性

設(shè)置r=50 cm，ρ=10 g/cm3，實驗數(shù)據(jù)如表2所示，做t2-h關(guān)系圖如圖3所示.

表2 不同高度釋放大而重的球的落地時間

圖3 t2-h關(guān)系曲線

A.2題中，在沿赤道遠離塔的方向，最遠可看到塔尖的距離L=230 km，可以構(gòu)畫出圖4所示的幾何關(guān)系，再利用勾股定理，可得

圖4 遠處望向塔尖的距離關(guān)系

得到行星半徑為

A.3題可根據(jù)行星表面物體所受萬有引力約等于重力的關(guān)系來估算行星的質(zhì)量.此題建立在A.1中已求出重力加速度g和A.2中已求出行星半徑Rp的基礎(chǔ)上，得到行星的質(zhì)量為

由誤差傳遞可得到行星質(zhì)量的不確定度為

在此計算中，主要用到星體的重力加速度g和半徑Rp，5個選項中，只有第4項星體的自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的離心力對自由落體模型中的重力加速度造成影響，對行星質(zhì)量估算造成的影響最大.

2.2 B部分：大氣屬性

2.2.1 B.1：求解風速

此部分需要求解風速的大小,因此不能再忽略大氣的作用.而由式(1)可得，大氣阻力(或風速)與物體的受風面積A和速度v2成正比關(guān)系，此時需通過設(shè)置落球的大小和密度，使其所受重力與大氣阻力相當，即考慮利用小而輕的球從塔的不同高度落下的情況.在大氣阻力和重力共同作用下，根據(jù)式(1)，球在下落初期做變加速運動，一定時間后達到恒定速度而勻速運動，此時水平方向速度即是風速.

設(shè)置r=5 cm，ρ=0.1 g/cm3，得到表3所示數(shù)據(jù).

表3 不同高度輕球下落時間和水平位移的測量數(shù)據(jù)

根據(jù)表3中的數(shù)據(jù)做小輕球落地的水平位移s與落地時間t的關(guān)系曲線，如圖5所示.若將小球達到恒定速度前的位移表示為s0，則總位移可表示為

圖5 水平位移s與落地時間t的關(guān)系曲線

s=s0+u(t-t0)

.

(3)

從圖5中可以看到，數(shù)據(jù)在t=5.0 s左右為速度變化的拐點，對拐點之后的數(shù)據(jù)進行線性擬合，得到斜率即為風速u=1.31 m/s，不確定度Δu=0.04 m/s.

2.2.2 B.2：地表大氣的密度

相比于B.1部分，小輕球在豎直方向存在：

h=h0+vt0(t-t0),

(4)

利用B.1部分的實驗數(shù)據(jù)，做h與t的變化曲線如圖6所示，對變化恒定部分進行線性擬合,得到速度vt0=27 m/s，不確定度Δvt0=2 m/s.

圖6 行星表面小輕球落地時間隨釋放高度的變化

小球達到恒定速度時滿足

(5)

(6)

此時，大氣密度為

不確定度為

2.2.3 B.3：大氣層的厚度

由式(2)可知，當大氣的絕熱系數(shù)γ=1.4時，可以得到

(7)

(8)

此時采集到的實驗數(shù)據(jù)如表4所示，進一步處理可以得到表5的分布結(jié)果.

表4 在不同高度釋放小輕球，等間隔落下3次的實驗數(shù)據(jù)

表5 不同高度的大氣密度值分布

圖7 大氣密度隨高度的變化

2.2.4 B.4：大氣的摩爾質(zhì)量和塔底的氣壓

由式(2)可以得到：

則大氣的摩爾質(zhì)量為

不確定度為

根據(jù)理想氣體定律，塔底的氣壓為

不確定度為

2.3 C部分：1 d的時長

行星的1 d時長等于其自轉(zhuǎn)周期，需要考慮行星的自轉(zhuǎn)運動.根據(jù)題目所給信息可以得到，題目中的行星為類地行星，類地行星的自轉(zhuǎn)周期主要受到其所在星系的恒星、自身衛(wèi)星以及由星體間的萬有引力造成的潮汐力的影響[2].答案給出的一種思路為通過求解行星的自轉(zhuǎn)角速度ω來得到其自轉(zhuǎn)周期.

由星體自轉(zhuǎn)引起的離心力和科里奧利力會影響落體小球的運動軌跡.由于塔的高度H遠小于行星半徑Rp，離心力幾乎與重力作用重合.科里奧利力作用于小球上，使其產(chǎn)生加速度為

acor=-2ω×v,

(9)

此加速度方向垂直于小球的速度方向和行星的自轉(zhuǎn)軸方向，且沿赤道方向隨著下落速度線性增大.則落體小球在水平方向上的加速度可以表示為

ax=2ωvy+adrag.

(10)

(11)

表6 科里奧利力影響下球下落高度與水平位移數(shù)據(jù)

圖8 科里奧利力作用下落球的水平位移隨下落高度的變化

擬合得到直線的斜率為

不確定度為Δk=0.11×10-5m-1/2.行星自轉(zhuǎn)周期即1 d的時長為

不確定度為

3 分析討論

3.1 題目分析

實驗試題1考查內(nèi)容的物理知識背景為力學中較為經(jīng)典的自由落體和萬有引力定律，相對難度較低.虛擬軟件程序沒有采用可視化的場景界面，而是通過黑盒子界面進行物理模型推演和計算.題目的難點在于物理模型的構(gòu)建，即如何選擇合理的實驗參量以達到理論近似的實驗條件.比如風速恒定的情況下，在A.1和C.1部分，需要構(gòu)造忽略大氣阻力的實驗條件，選擇大而重的球；而在B.1～B.3部分，需要選擇小而輕的球，構(gòu)造受大氣阻力影響較大的實驗條件.實驗過程中需要采集比較多的數(shù)據(jù),通過作圖法得到相應(yīng)的物理量，并估算不確定度，對大部分參賽選手來說比較費時且需要細心設(shè)計.

A部分是解決后續(xù)題目的前提，如圖9所示，A.1問求得的自由落體加速度g在A.3，B.2以及C.1問中均被用到；B.2在求得地表大氣密度后，才能在B.3中用于求解大氣厚度H0，而求得H0后，才能在B.4中繼續(xù)求解得到大氣摩爾質(zhì)量μ和塔底氣壓p0.這使得題目之間有較大的連續(xù)性，如果前面題目數(shù)據(jù)誤差較大，會對后續(xù)題目的解答造成影響.這也可從圖9中所有獲獎選手的各題平均得分率的變化趨勢中看出，B.2～B.4的得分率都很低.除了自由落體和萬有引力定律，試題還考查了科里奧利力.科里奧利力的知識點并未在題設(shè)中給出，而是在答題卡的A.3問中的題目選項中簡單介紹.大部分選手對此物理概念了解不深，導致C.1總體得分較低.

圖9 試題1中各題目的聯(lián)系及所有獲獎選手與中國隊選手各題平均得分率的對比

3.2 答題情況分析

所有獲獎選手(優(yōu)秀獎以上)約占總參賽人數(shù)(368人)的82%.其總分的平均得分率人數(shù)占比分布如圖10所示，得分率在60%以上有23人，約占總?cè)藬?shù)的6.25%.中國隊選手的總得分率均在90%以上，從圖9中可以看到，中國隊選手只有在A.3問上得分率較低，為68%.此問中大部分中國隊選手選錯了影響因素而失掉0.2分，其他小題平均得分率均在90%以上.

圖10 試題1總分得分率區(qū)間的人數(shù)占比

4 結(jié)束語

本屆國際物理奧林匹克競賽實驗試題首次采用線上虛擬實驗的形式，一方面弱化了對選手實驗動手能力的考查，另一方面加大了對選手實驗設(shè)計思維和數(shù)據(jù)處理能力的考查.本屆物理奧賽的虛擬實驗?zāi)Ｊ綄A(chǔ)物理實驗教學有一定的借鑒作用.

致謝：感謝南開大學本科生李建勛和郭豐在試卷翻譯過程中的協(xié)助.感謝參與本次奧賽培訓、選拔與遠程考試的各位老師！感謝中國科學技術(shù)協(xié)會、中國物理學會、天津市物理學會等單位和部門對賽事的支持！