基于擺線滾輪陰模基體的步長(zhǎng)伸縮雙圓弧插補(bǔ)算法

肖 向，黃 健，陳佳豪，陳兵奎

(重慶大學(xué) 機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044)

擺線針輪行星傳動(dòng)具有傳動(dòng)比大、傳動(dòng)精度高、結(jié)構(gòu)緊湊、扭轉(zhuǎn)剛度高和傳動(dòng)效率高等突出優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于工業(yè)機(jī)器人、化工、冶金等領(lǐng)域[1-3]。擺線齒廓的精度是影響其傳動(dòng)精度的主要因素，采用金剛石滾輪修整技術(shù)的成形磨削法不僅加工效率和精度高，而且可實(shí)現(xiàn)擺線齒廓的任意修形，已經(jīng)成為擺線齒廓精加工的主流方法[4-5]。

高精度復(fù)雜形面金剛石滾輪一般采用內(nèi)電鍍法制造[6]，滾輪陰?；w形面是金剛石顆粒的定位基準(zhǔn)面，其形面精度是影響滾輪最終制造精度的關(guān)鍵因素[7-8]。金屬陰模基體在數(shù)控精密磨床上加工，對(duì)于擺線金剛石滾輪陰?；w的數(shù)控磨削加工，由于基體形面曲線復(fù)雜，必須用直線或圓弧段逼近原曲線[9]，為了提高其數(shù)控加工精度，插補(bǔ)算法的研究至關(guān)重要。

張敬東等[10]提出了一種等誤差直線插補(bǔ)算法用于擺線齒廓的數(shù)控加工;姚必強(qiáng)等[11]提出用等弧長(zhǎng)圓弧擬合任意非圓曲線；CAD/CAM方法也廣泛應(yīng)用于復(fù)雜非圓曲線的數(shù)控加工，該方法的刀具路徑由許多細(xì)小的直線或圓弧段組成[12-13]。用上述方法擬合復(fù)雜非圓曲線，當(dāng)需要較高的插補(bǔ)精度時(shí)，插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)數(shù)量多，且刀具路徑不具備G1連續(xù)性。采用雙圓弧插補(bǔ)法能有效解決上述問(wèn)題，劉濤等[14-15]采用最優(yōu)切向量雙圓弧插補(bǔ)算法完成渦旋型線零件的數(shù)控加工，但該方法需要根據(jù)曲線能量極小條件計(jì)算最優(yōu)切向量，計(jì)算量大，擬合效率較低。

筆者基于雙圓弧插補(bǔ)法，求解出擺線滾輪陰?；w形面曲線方程，建立擺線滾輪陰模基體步長(zhǎng)伸縮雙圓弧插補(bǔ)數(shù)學(xué)模型，利用MATLAB軟件求解插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)，并進(jìn)行誤差分析，通過(guò)控制步長(zhǎng)伸縮來(lái)調(diào)整插補(bǔ)誤差。最后通過(guò)計(jì)算實(shí)例驗(yàn)證了該模型的可行性，在相同允差要求下可以提高加工效率，插補(bǔ)數(shù)據(jù)擬合的加工仿真曲線光滑平整，刀具路徑具備G1連續(xù)性，插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)導(dǎo)入數(shù)控機(jī)床即可用于數(shù)控程序編制。

1 擺線滾輪陰模基體形面曲線方程

圖1 擺線滾輪陰?；?體加工坐標(biāo)系Fig. 1 Machining coordinate system of female mold workpiece

擺線滾輪陰模基體加工坐標(biāo)系如圖1所示，陰?；w加工坐標(biāo)系為O1-X1Y1，擺線齒廓坐標(biāo)系為O-XY，O1X1軸線與OX軸線的距離為D。擺線滾輪陰?；w形面曲線除P1O2P2段外皆為過(guò)渡圓弧及直線段，P1O2P2段曲線與擺線齒廓曲線形狀相同，且P1O2段曲線與O2P2段曲線關(guān)于Y1軸左右對(duì)稱，因此只需對(duì)陰?；w形面O2P2段曲線進(jìn)行雙圓弧插補(bǔ)計(jì)算。

O2P2段形面曲線在擺線齒廓坐標(biāo)系中的曲線方程式為：

(1)

式中：Rz為針輪中心圓半徑；e為偏心距；zb為針輪齒數(shù)；zg為擺線輪齒數(shù)；rz為針齒半徑；ΔRz為移距修形量；Δrz為等距修形量；K=ezb/(Rz+ΔRz)；θ∈[0,θmax]；θmax=π/zg。

對(duì)O2P2段形面曲線在擺線齒廓坐標(biāo)系中的曲線方程式進(jìn)行雙圓弧插補(bǔ)計(jì)算后，通過(guò)簡(jiǎn)單的平移變換矩陣即可將插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到陰模基體加工坐標(biāo)系中，再將數(shù)據(jù)導(dǎo)入數(shù)控機(jī)床便可完成數(shù)控加工程序的編制。

2 擺線滾輪陰?；w步長(zhǎng)伸縮雙圓弧插補(bǔ)數(shù)學(xué)模型

2.1 雙圓弧插補(bǔ)原理

圖2為雙圓弧插補(bǔ)原理圖，在加工曲線上任取相鄰2點(diǎn)ti(xi,yi)、ti+1(xi+1,yi+1)，Ti、Ti+1分別為曲線上點(diǎn)ti、ti+1的切矢，過(guò)ti、ti+12點(diǎn)沿切矢方向作兩線段相交于點(diǎn)T得到△titi+1T，△titi+1T的內(nèi)心是圖2中的M點(diǎn)。

圖2 雙圓弧插補(bǔ)原理Fig. 2 Principle of double arc interpolation

過(guò)ti、ti+1點(diǎn)分別作線段tiT、ti+1T的垂線，同時(shí)過(guò)M點(diǎn)作線段titi+1的垂線與上述2條垂線交于O1、O2點(diǎn)。以O(shè)1點(diǎn)為圓心，O1ti為半徑作圓弧，圓弧起點(diǎn)為ti，終點(diǎn)為M；同理以O(shè)2為圓心、O2ti+1為半徑確定另一段起點(diǎn)為ti+1、終點(diǎn)為M的圓弧，由此確定了復(fù)雜曲線上任意相鄰2點(diǎn)間的插補(bǔ)雙圓弧段[16]。

當(dāng)完成ti與ti+12點(diǎn)間雙圓弧插補(bǔ)計(jì)算后，繼續(xù)進(jìn)行下一相鄰2節(jié)點(diǎn)ti+1、ti+2間的計(jì)算，Ti+1、Ti+2分別為原加工曲線上點(diǎn)ti+1、ti+2的切矢，設(shè)ti+1與ti+22點(diǎn)間插補(bǔ)圓弧段對(duì)應(yīng)的圓心分別為O3、O4。由以上雙圓弧插補(bǔ)原理分析可知，圓心O2對(duì)應(yīng)的圓弧與切矢Ti+1相切于ti+1點(diǎn)，圓心O3對(duì)應(yīng)的圓弧同樣與切矢Ti+1相切于ti+1點(diǎn)，故不僅相鄰節(jié)點(diǎn)ti、ti+1間插補(bǔ)的雙圓弧段具有公共切向量，而且同一節(jié)點(diǎn)ti+1兩側(cè)的圓弧段在節(jié)點(diǎn)ti+1處也具有公共切向量Ti+1。因此當(dāng)采用雙圓弧法插補(bǔ)擺線滾輪陰?；w形面曲線時(shí)，插補(bǔ)的圓弧段在任意連接點(diǎn)處均有公共切向量，刀具路徑具有G1連續(xù)性。

2.2 雙圓弧半徑及公切點(diǎn)坐標(biāo)參數(shù)計(jì)算

在圖2中，設(shè)整體坐標(biāo)系為o-xy，o-xy是固定坐標(biāo)系；局部坐標(biāo)系為ti-uivi，ti-uivi是動(dòng)坐標(biāo)系。在o-xy坐標(biāo)系中，設(shè)線段tiT、ti+1T與x軸的夾角為γi、γi+1，線段titi+1與x軸的夾角為θi，線段titi+1的弦長(zhǎng)為L(zhǎng)i。

γi及γi+1的值可以通過(guò)切矢Ti、Ti+1求得，由陰?；w形面曲線方程式(1)可求得Ti、Ti+1，故有

(2)

(3)

線段titi+1與x軸的夾角為

(4)

線段titi+1的弦長(zhǎng)為

(5)

設(shè)點(diǎn)M在坐標(biāo)系o-xy、ti-uivi中的坐標(biāo)矢量分別為(xM,yM,1)T、(uM,vM,1)T，局部坐標(biāo)系到整體坐標(biāo)系的變換矩陣為M0i，可求得

(6)

局部坐標(biāo)系中的坐標(biāo)矢量可通過(guò)變換矩陣M0i轉(zhuǎn)換到整體坐標(biāo)系中

(xM,yM,1)T=M0i(uM,vM,1)T。

(7)

如圖3所示，局部坐標(biāo)系ti-uivi中，由內(nèi)心幾何性質(zhì)可知，Mti平分∠Ttiti+1(圖中β1)，Mti+1平分∠Tti+1ti(圖中β2)。

圖3 雙圓弧坐標(biāo)計(jì)算Fig. 3 Double arc coordinate calculation

在△titi+1T中，內(nèi)角β1、β2為

β1=γi-θi，

(8)

β2=π-(γi+1-θi)。

(9)

在△titi+1M中，由正弦定理可以推出

(10)

由于∠MNti、∠TtiO1均為90°，可以求出

ltiN=ltiMcos(β1/2)，

(11)

lMN=ltiMsin(β1/2)，

(12)

(13)

(14)

因此在局部坐標(biāo)系下，可以求出公切點(diǎn)M坐標(biāo)為

(15)

圓心O1、O2坐標(biāo)分別為

(16)

(17)

兩段圓弧半徑R1、R2為

(18)

圓弧半徑值R1、R2和公切點(diǎn)M及圓心O1、O2在局部坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值均已計(jì)算完畢，通過(guò)坐標(biāo)變換矩陣M0i即可得到公切點(diǎn)M及圓心O1、O2在整體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值。

2.3 擺線滾輪陰模基體雙圓弧插補(bǔ)誤差分析

完成兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間的插補(bǔ)計(jì)算后，需要對(duì)產(chǎn)生的插補(bǔ)誤差進(jìn)行分析控制。插補(bǔ)誤差的理論值是原廓形曲線上任意點(diǎn)沿其法線方向上與插補(bǔ)圓弧曲線間距離的最大值，在實(shí)際應(yīng)用中可簡(jiǎn)化計(jì)算，取原廓形曲線上任意一點(diǎn)到插補(bǔ)圓弧圓心的距離與兩段圓弧半徑(R1或R2)之差的最大值為插補(bǔ)誤差。

圖4 插補(bǔ)誤差計(jì)算Fig. 4 Calculation of interpolation error

上圖中Li為兩節(jié)點(diǎn)ti、ti+1之間的直線距離，將Li等分為N+1段，一般N+1取10到15，將等分點(diǎn)的橫坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到整體坐標(biāo)系中求出擺線滾輪陰?；w形面曲線上的點(diǎn)pj(xj,yj)(j=1,2,…,N)，比較xj與xM(圓弧公切點(diǎn)橫坐標(biāo)值)的大小，當(dāng)xj≤xM時(shí)，原形面曲線被擬合成第一段圓弧，此時(shí)的插補(bǔ)誤差為

(19)

式中m是第一段圓弧對(duì)應(yīng)的最后一個(gè)等分點(diǎn)，且m

當(dāng)xj>xM時(shí)，原形面曲線被擬合成第二段圓弧，此時(shí)的插補(bǔ)誤差為

(20)

ε1j與ε2j中的最大值即為這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間的插補(bǔ)誤差ε，即

ε=max(ε1j,ε2j)。

(21)

判斷任意相鄰兩節(jié)點(diǎn)間的插補(bǔ)誤差ε與所允許的插補(bǔ)誤差σε的大小，如果ε>σε，縮小步長(zhǎng)直至滿足ε<σε的要求；而當(dāng)ε遠(yuǎn)小于σε時(shí)，可適當(dāng)增大步長(zhǎng)使得插補(bǔ)誤差小于并接近于插補(bǔ)允差，這就是步長(zhǎng)伸縮雙圓弧插補(bǔ)算法的實(shí)質(zhì)。

2.4 擺線滾輪陰模基體步長(zhǎng)伸縮雙圓弧插補(bǔ)算法

進(jìn)行雙圓弧插補(bǔ)時(shí)，如果插補(bǔ)段曲線凹凸性不一致，會(huì)出現(xiàn)S型擬合圓弧。因此曲線上若存在拐點(diǎn)應(yīng)將曲線分段再進(jìn)行插值計(jì)算。曲率計(jì)算公式為

(22)

由曲率k=0求得O2P2段曲線拐點(diǎn)處參數(shù)角為

(23)

因此O2P2段曲線需分為[0,θ1]、[θ1,θmax]兩段進(jìn)行雙圓弧插補(bǔ)計(jì)算。

O2P2段曲線的步長(zhǎng)伸縮雙圓弧插補(bǔ)算法計(jì)算步驟如下：

1)給定初始參數(shù)角θ0和初始步長(zhǎng)角Δ，計(jì)算相鄰2節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)ti(xi,yi)和ti+1(xi+1,yi+1)及相應(yīng)節(jié)點(diǎn)處的切矢Ti、Ti+1，由雙圓弧插補(bǔ)計(jì)算原理求出公切點(diǎn)M、圓心O1、O2點(diǎn)坐標(biāo)值及相應(yīng)圓心半徑R1、R2的值。

2)將相鄰2節(jié)點(diǎn)間的插補(bǔ)誤差與插補(bǔ)允差σε比較，同時(shí)為了提高加工效率，對(duì)插補(bǔ)允差設(shè)定一個(gè)下限值σεmin。若ε>σε，步長(zhǎng)角減小一半調(diào)整曲線上節(jié)點(diǎn)ti+1的位置重新進(jìn)行插補(bǔ)計(jì)算直至滿足誤差要求；若ε<σεmin，適當(dāng)增大步長(zhǎng)角使插補(bǔ)誤差接近插補(bǔ)允差，當(dāng)θi≥θmax時(shí)，終止計(jì)算。

擺線滾輪陰?；w步長(zhǎng)伸縮雙圓弧插補(bǔ)算法流程如圖5所示。

圖5 步長(zhǎng)伸縮雙圓弧插補(bǔ)算法流程圖Fig. 5 Flow chart of variable-step-double-arc interpolation algorithm

3 計(jì)算實(shí)例分析及仿真

取40E擺線輪工件參數(shù)作為計(jì)算實(shí)例參數(shù)，其中e=1.3，zb=40，zg=39，rz=2.5，Rz=63.7，ΔRz=-0.1，Δrz=0.075，θ∈[0,π/39]。將上述參數(shù)代入擺線滾輪陰模基體形面曲線方程式中，根據(jù)上節(jié)中的插補(bǔ)算法流程在MATLAB軟件中編程進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。

初始參數(shù)角θ0=0，初始步長(zhǎng)角選取0.001 2 rad，插補(bǔ)允差σε=0.01 μm。以初始步長(zhǎng)角等分參數(shù)角取相同插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)數(shù)，可以得到69個(gè)插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)。分別采用雙圓弧插補(bǔ)法與直線插補(bǔ)法對(duì)O2P2段曲線進(jìn)行插補(bǔ)計(jì)算，在O2P2段曲線上隨機(jī)連續(xù)選取8個(gè)插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)，插補(bǔ)誤差對(duì)比結(jié)果如表1所示。

表1 雙圓弧與直線插補(bǔ)誤差對(duì)比結(jié)果

當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)目相同時(shí)，表中結(jié)果顯示直線插補(bǔ)只有最后2個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的插補(bǔ)誤差小于插補(bǔ)允差，其他節(jié)點(diǎn)間的誤差遠(yuǎn)大于插補(bǔ)允差σε，而雙圓弧插補(bǔ)誤差均小于插補(bǔ)允差σε。直線插補(bǔ)最小誤差為0.009 μm，雙圓弧插補(bǔ)最大誤差為2.176 nm，雙圓弧插補(bǔ)最大誤差比直線插補(bǔ)最小誤差降低了75%，對(duì)比任意節(jié)點(diǎn)處得到的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)插補(bǔ)誤差均降低75%以上。

等步長(zhǎng)角得到的雙圓弧插補(bǔ)誤差曲線如圖6(a)所示，通過(guò)分析插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)可知，在超過(guò)一定參數(shù)角后，繼續(xù)以滿足插補(bǔ)誤差的步長(zhǎng)角插補(bǔ)時(shí)，會(huì)導(dǎo)致插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)過(guò)于集中，從而插補(bǔ)誤差的最值出現(xiàn)數(shù)量級(jí)的差距，加工程序更加冗長(zhǎng)，且加工零件表面質(zhì)量不均勻。

采用圖5所示的步長(zhǎng)伸縮雙圓弧插補(bǔ)算法，對(duì)加工允許誤差設(shè)定一個(gè)下限值σεmin=0.001 μm，當(dāng)插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)間的誤差小于下限值時(shí)，適當(dāng)增加步長(zhǎng)角調(diào)整節(jié)點(diǎn)ti+1在曲線上的位置，使得插補(bǔ)誤差小于并接近插補(bǔ)允差。

圖6(b)是控制步長(zhǎng)角伸縮后的插補(bǔ)誤差曲線圖，插補(bǔ)誤差均小于插補(bǔ)允差σε。在滿足同一插補(bǔ)允差時(shí)，等步長(zhǎng)角的插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)數(shù)為69個(gè)，控制步長(zhǎng)角伸縮后插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)數(shù)為30個(gè)，節(jié)點(diǎn)數(shù)目減少了55%，插補(bǔ)的圓弧段也減少了55%。因此在相同插補(bǔ)允差要求下控制步長(zhǎng)角伸縮可以提高擺線滾輪陰?；w工件的加工效率，同時(shí)可以保證加工表面質(zhì)量均勻。

圖6 等步長(zhǎng)角與伸縮步長(zhǎng)角誤差曲線對(duì)比圖Fig. 6 Comparison of interpolation error curves of equal step angle and telescopic step angle

圖7曲線是由步長(zhǎng)伸縮雙圓弧插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)擬合的O2P2段加工仿真曲線，由于擬合的圓弧段在每個(gè)離散點(diǎn)處都有公共切向量，因此擬合曲線一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，擬合曲線表面光滑平整，刀具路徑具有G1連續(xù)性，保證了工件的加工質(zhì)量。

圖7 O2P2段曲線加工仿真圖Fig. 7 Processing simulation diagram of O2P2 curve

4 結(jié) 論

以擺線金剛石滾輪陰?；w為加工對(duì)象，基于雙圓弧插補(bǔ)法，建立了擺線滾輪陰模基體步長(zhǎng)伸縮雙圓弧插補(bǔ)數(shù)學(xué)模型，該模型插補(bǔ)點(diǎn)求解方便，控制步長(zhǎng)伸縮可以調(diào)整插補(bǔ)誤差。對(duì)該數(shù)學(xué)模型進(jìn)行實(shí)例計(jì)算及仿真，得出結(jié)論如下：

1)雙圓弧插補(bǔ)誤差小于0.01 μm，在節(jié)點(diǎn)數(shù)相同時(shí)其插補(bǔ)誤差比直線插補(bǔ)誤差降低75%，滿足擺線滾輪陰模基體高精度加工要求。

2)控制步長(zhǎng)伸縮，在同精度允差下擬合圓弧段數(shù)減少55%，可以提高擺線滾輪陰?；w工件的加工效率。

3)由插補(bǔ)算法原理及插補(bǔ)數(shù)據(jù)擬合的加工仿真曲線可知，插補(bǔ)的任意相鄰圓弧段彼此相切，擬合曲線表面光滑連續(xù)，刀具路徑具備G1連續(xù)性。