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    固本思“源”無中生“圓”

    2022-11-02 07:19:08王進(jìn)
    初中生世界 2022年39期
    關(guān)鍵詞:共圓圓周角輔助線

    文/王進(jìn)

    教材的例題是學(xué)習(xí)之“源”,部分中考題實(shí)際上就是在教材例題或習(xí)題的基礎(chǔ)上,進(jìn)行組合、加工、深化得到的。因此,同學(xué)們要重視自己的學(xué)習(xí)過程,對教材中的例題變式或習(xí)題變式多加思考,以鍛煉自己的數(shù)學(xué)思維能力。下面以蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級上冊第57頁的例2為模板,談?wù)劺}的學(xué)習(xí)與拓展。

    【原題呈現(xiàn)】如圖1,AB是⊙O的直徑,弦CD交AB于點(diǎn)E,∠ACD=60°,∠ADC=50°。求∠CEB的度數(shù)。

    圖1

    【分析】本題要想求∠CEB的度數(shù),從原圖上來看似乎只能借助對頂角、鄰補(bǔ)角或三角形的外角來解決,但這三種思路無法與“∠ADC=50°”建立實(shí)質(zhì)性的關(guān)聯(lián),所以想到作輔助線。由條件“AB是⊙O的直徑”聯(lián)想到構(gòu)造直徑所對的圓周角,所以連接BD得到△BDE,再借助外角的性質(zhì)定理即可求出“∠CEB=∠ABD+∠EDB”。此時(shí)只剩下∠ABD一個(gè)未知量,利用“同弧所對的圓周角相等”即可化未知為已知。輔助線也可以連接BC,再借助三角形內(nèi)角和定理求出∠CEB的度數(shù)。

    本題在連接BD后,構(gòu)造出了直角、同弧所對的圓周角以及△BDE。通過輔助線構(gòu)造新的角是幾何證明常見的方法之一,而輔助線的選擇往往和題目中的已知條件和未知的結(jié)論相關(guān),由“已知”想“可知”,由“未知”推“需知”,從兩頭出發(fā),向中間靠攏,最終選擇最優(yōu)輔助線。

    變式1(2019·江蘇南京)如圖2,⊙O的弦AB、CD的延長線相交于點(diǎn)P,且AB=CD。求證:PA=PC。

    圖2

    【分析】想要證明兩條線段相等,如果將其分別放在兩個(gè)三角形中,首先想到證明“兩個(gè)三角形全等”;如果將其放在一個(gè)三角形中,首先想到利用“等角對等邊”證明這個(gè)三角形是等腰三角形。通過比較,發(fā)現(xiàn)連接AC構(gòu)造△APC更為簡便,再利用“等弧所對的圓周角相等”即可證明△APC為等腰三角形。

    證明:連接AC。

    【點(diǎn)評】“全等”“等角對等邊”是證明兩邊相等的兩種常見方法。而在圓中,我們需要利用“同弧或等弧所對的圓周角相等”來找到具有相等關(guān)系的角,從而掌握更為簡便的證明方法。

    變式2(2022·新疆)如圖3,⊙O是△ABC的外接圓,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)D在⊙O上,AC=CD,連接AD,延長DB交過點(diǎn)C的切線于點(diǎn)E。求證:BE⊥CE。

    圖3

    【分析】對于這類題型,我們應(yīng)利用好圓的性質(zhì),抓住“同弧或等弧所對的圓周角相等”“圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)”等關(guān)鍵信息,尋找相等關(guān)系的角。從位置關(guān)系想數(shù)量關(guān)系,從數(shù)量關(guān)系想位置關(guān)系,做好“數(shù)量關(guān)系”與“位置關(guān)系”之間的轉(zhuǎn)化。

    證明:連接OC。

    ∵CE與⊙O相切于點(diǎn)C,∴∠OCE=90°。

    ∵AC=CD,∴∠ADC=∠CAD。

    ∴∠CAD=∠ABC。

    ∵四邊形ADBC是圓內(nèi)接四邊形,

    ∴∠CAD+∠DBC=180°。

    又∵∠DBC+∠CBE=180°,

    ∴∠CAD=∠CBE。

    又∵∠ABC=∠CAD,∴∠ABC=∠CBE。

    ∵OB=OC,∴∠ABC=∠OCB。

    ∴∠CBE=∠OCB?!郞C∥BE。

    ∴∠OCE+∠E=180°。

    ∴∠E=180°-∠OCE=180°-90°=90°。

    ∴BE⊥CE。

    【點(diǎn)評】本題重在考查同學(xué)們對圓的性質(zhì)的靈活運(yùn)用。我們在熟悉教材例題的同時(shí),也要經(jīng)常思考如何才能巧妙地架起多個(gè)知識點(diǎn)間的橋梁,如何選擇和串聯(lián)好不同的定理,只有在不斷的反思與總結(jié)中才能做到熟能生巧。

    變式3如圖4,已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,點(diǎn)P是梯形外一點(diǎn),PD與底邊BC相交于E,若PA=PC,∠APC=∠BCD,求證:PB=PE。

    圖4

    【分析】引入四邊形的外接圓,通過證四點(diǎn)共圓,證五點(diǎn)共圓,將圖形放在同一個(gè)圓中處理,利用“同圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等”從而使問題得到順利解決。

    證明:∵四邊形ABCD是等腰梯形,

    ∴∠ABC=∠DCB,AB=CD。

    ∵AD∥BC,

    ∴∠ABC+∠BAD=180°,∠DCB+∠ADC=180°。

    又∵∠ABC=∠DCB,

    ∴∠ABC+∠ADC=180°,∠DCB+∠BAD=180°。

    ∴點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)共圓。

    ∵∠APC=∠BCD,∠DCB+∠ADC=180°,

    ∴∠APC+∠ADC=180°。

    ∴點(diǎn)A、P、C、D四點(diǎn)共圓。

    ∴點(diǎn)A、B、P、C、D五點(diǎn)共圓。

    ∴∠BAP=∠ECP。

    ∴∠APB=∠CPE。

    在△ABP和△CEP中,

    ∴△ABP≌△CEP(ASA)。

    ∴PB=PE。

    【點(diǎn)評】借助“對角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓”構(gòu)造出“輔助圓”,再利用“同圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等”將看似無關(guān)的兩個(gè)角建立起等量關(guān)系,最后利用“三角形全等”得證。

    變式4(2017·廣西河池)如圖5,在矩形ABCD中,AB=,E是BC的中點(diǎn),AE⊥BD于點(diǎn)F,則CF的長是____。

    圖5

    【分析】如圖6,連接DE,首先因?yàn)镋是矩形ABCD邊BC的中點(diǎn),由矩形的對稱性可知DE=AE,所以Rt△ABE和Rt△DCE的外接圓是等圓(直徑AE=DE)。因?yàn)椤螮FD+∠DCE=90°+90°=180°,所以點(diǎn)D、F、E、C四點(diǎn)共圓。由“圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角”可知∠AEB=∠CDF,即得到兩等圓中的等角。最后,通過“等角對等弦”即可求出CF=AB=2。

    圖6

    【點(diǎn)評】“同圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等”是我們經(jīng)常使用的圓的性質(zhì)定理,但其實(shí),在等圓中也同樣適用。在常規(guī)的幾何圖形中構(gòu)造等圓是本題的一個(gè)妙解,用“等角對等弦”來解決,新穎別致,簡潔明了。

    許多同學(xué)在圓的學(xué)習(xí)中都會通過添加垂線段、連接圓心與圓上一點(diǎn)形成半徑或連接圓上兩點(diǎn)形成直徑等進(jìn)行解題,這類方法可以解決部分題型的變式,但在解決一些較難問題時(shí),上述方法就起不了太大作用。例如,在上述變式3和變式4中,題目中本身沒有圓,但往往只需要在圖形中構(gòu)造“輔助圓”,根據(jù)圓的相關(guān)性質(zhì),就能使問題化難為易。

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