合理分類有序轉(zhuǎn)化

文／何平

“對稱圖形——圓”這一章涉及的數(shù)學(xué)思想方法很多，老師將和大家一起來學(xué)習(xí)圓中的分類思想和轉(zhuǎn)化思想。

我們在解決圓中有關(guān)計算問題時，通過對條件進行分析，發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論不確定時，往往需要分類討論。通過尋找分類的對象和明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，我們可以做到不重復(fù)、不遺漏地得出答案，從而全面地思考問題，讓思維更加縝密。

例1在⊙O中，弦AB所對圓心角為70°，則弦AB所對的圓周角為___。

【分析】因為題目中弦AB所對的圓周角位置不確定，所以需要分類。分類的對象是圓周角，分類的情況是圓周角的頂點在弦AB所對的兩條弧上。

解：如圖1，當(dāng)點P1在︵上時，

圖1

∵∠AOB=70°，∴∠AP1B=35°。

當(dāng)點P2在上時，

∵∠AOB=70°，

因此，弦AB所對的圓周角是35°或145°。

例2已知⊙O直徑CD與弦AB垂直，垂足為H，若AB=6，CD=10，則AC=___。

【分析】因為題目中弦AB的位置不確定，所以需要分類。分類的對象是弦AB，分類的情況是弦AB在圓心的兩側(cè)。

解：如圖2，連接OA。

圖2

如圖3，CH=CO-OH=1，

圖3

因此，AC=3或。

【點評】通過這兩道例題，我們可以發(fā)現(xiàn)，分類思想蘊含在最基本的點、直線、角與圓的位置關(guān)系等圖形中，常見的有圓周角的分類、弦的位置分類等?？傊?，當(dāng)問題中條件或結(jié)論中的相關(guān)量不確定時，就要明確分類方法，合理進行分類討論。

轉(zhuǎn)化思想在圓這一章中同樣被廣泛地運用在計算與證明中。對于圓中的相關(guān)問題，通過對條件與結(jié)論的分析，借助最近聯(lián)想，適當(dāng)添加輔助線，可以將圓中較為復(fù)雜的圖形逐步分解成同學(xué)們熟悉的基本圖形，從而實現(xiàn)對復(fù)雜問題的轉(zhuǎn)化。

在同圓或等圓中，由弦相等得弧相等

例3如圖4，在⊙O中，弦AB、CD相交于點P，若AB=CD。求證PB=PD。

圖4

【分析】要證明兩邊相等，通?？梢越柚切稳然蛘摺暗冉菍Φ冗叀钡确椒▉斫鉀Q。觀察圖形，容易聯(lián)想到連接BD，再證明∠B=∠D即可。

證明：如圖5，連接BD。

圖5

【點評】本題從結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論與條件之間的聯(lián)系，將條件中的相等的弦轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的弧相等，從而得到對應(yīng)的圓周角相等。解決問題時，我們只有樹立將同圓或等圓中的圓心角、弧、弦三者之間的關(guān)系進行有序轉(zhuǎn)化的意識，才可以優(yōu)化解題過程。

圓中內(nèi)接多邊形的轉(zhuǎn)化

例4如圖6，在⊙O的內(nèi)接六邊形ABCDEF中，∠A+∠C=220°，則∠E=°。

圖6

【分析】本題是圓內(nèi)接六邊形的角度計算，只要添加輔助線BE即可將圓內(nèi)接六邊形轉(zhuǎn)化為圓的兩個內(nèi)接四邊形。

解：如圖7，連接BE。

圖7

∵四邊形ABEF是⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠A+∠BEF=180°。

同理，∠C+∠BED=180°。

∴∠A+∠BEF+∠C+∠BED=360°。

又∵∠A+∠C=220°，

∴∠BEF+∠BED=360°-220°=140°。

∴∠E=140°。

【點評】對于圓內(nèi)接多邊形中角度的計算問題，我們需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線將復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為圓的內(nèi)接四邊形或者三角形。因此，轉(zhuǎn)化是解決此類問題的關(guān)鍵。

圓中陰影部分面積的轉(zhuǎn)化

例5如圖8，圓形時鐘的半徑為2，其中每個刻度間的弧長均相等，過9點和11點的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為____。

圖8

【分析】通過連接半徑，可以將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為扇形AOB的面積與△AOB的面積之差。

解：連接OA、OB，過點O作OC⊥AB于點C，由題意可知∠AOB=60°。

圖9

∵OA=OB，∴△AOB為等邊三角形。

∴AB=AO=BO=2。

∵AO=BO，OC⊥AB，

∴∠OCA=90°，AC=1?！郞C=。

又∵

∴陰影部分的面積為

【點評】對于陰影部分面積的計算，我們通常將不規(guī)則的圖形進行分解，轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)聯(lián)的規(guī)則圖形后再進行計算。正確添加輔助線，可以將圖形進行有效的轉(zhuǎn)化。