數(shù)學(xué)的三次危機(jī)

/盧介景

從哲學(xué)上來看，矛盾是無處不存在的，即便以確定無疑著稱的數(shù)學(xué)也不例外。數(shù)學(xué)中有大大小小的許多矛盾，例如正與負(fù)、加與減、微分與積分、有理數(shù)與無理數(shù)、實(shí)數(shù)與虛數(shù)等等。在整個數(shù)學(xué)發(fā)展過程中，還有許多深刻的矛盾，例如有窮與無窮、連續(xù)與離散、存在與構(gòu)造、邏輯與直觀、具體對象與抽象對象、概念與計(jì)算等等。

在數(shù)學(xué)史上，貫穿著矛盾的斗爭與解決。當(dāng)矛盾激化到涉及整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)時(shí)，就會產(chǎn)生數(shù)學(xué)危機(jī)。而危機(jī)的解決，往往能給數(shù)學(xué)帶來新的內(nèi)容、新的發(fā)展，甚至引起革命性的變革。

數(shù)學(xué)的發(fā)展就經(jīng)歷過三次關(guān)于基礎(chǔ)理論的危機(jī)。

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)

從某種意義上來講，現(xiàn)代意義下的數(shù)學(xué)，也就是作為演繹系統(tǒng)的純粹數(shù)學(xué)，來源于古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。它是一個唯心主義學(xué)派，興旺的時(shí)期為公元前500年左右。他們認(rèn)為，“萬物皆數(shù)”(指整數(shù))，數(shù)學(xué)的知識是可靠的、準(zhǔn)確的，而且可以應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)的世界，數(shù)學(xué)的知識由于純粹的思維而獲得，不需要觀察、直覺和日常經(jīng)驗(yàn)。

整數(shù)是在對于對象的有限整合進(jìn)行計(jì)算的它的定端點(diǎn)和右端點(diǎn)分別表示數(shù)0和1，則可用這條直線上的間隔為單位長的點(diǎn)的集合來表示整數(shù)，正整數(shù)在0的右邊，負(fù)整數(shù)在0的左邊。以q為分母的分?jǐn)?shù)，可以用每一單位間隔分為q等分的點(diǎn)表示。于是，每一個有理數(shù)都對應(yīng)著直線上的一個點(diǎn)。

古代數(shù)學(xué)家認(rèn)為，這樣能把直線上所有的點(diǎn)用完。但是，畢氏學(xué)派大約在公元前400年過程中產(chǎn)生的抽象概念。日常生活中，不僅要計(jì)算單個的對象，還要度量各種量，例如長度、重量和時(shí)間。為了滿足這些簡單的度量需要，就要用到分?jǐn)?shù)。于是，如果定義有理數(shù)為兩個整數(shù)的商，那么由于有理數(shù)系包括所有的整數(shù)和分?jǐn)?shù)，所以對于進(jìn)行實(shí)際量度是足夠的。

有理數(shù)有一種簡單的幾何解釋。在一條水平直線上，標(biāo)出一段線段作為單位長，如果令發(fā)現(xiàn)：直線上存在不對應(yīng)任何有理數(shù)的點(diǎn)。特別是，他們證明了：這條直線上存在點(diǎn)p不對應(yīng)于有理數(shù)，這里距離op等于邊長為單位長的正方形的對角線。于是就必須發(fā)明新的數(shù)對應(yīng)這樣的點(diǎn)，并且因?yàn)檫@些數(shù)不可能是有理數(shù)，只好稱它們?yōu)闊o理數(shù)。無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，是畢氏學(xué)派的最偉大成就之一，也是數(shù)學(xué)史上的重要里程碑。

無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引起了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。首先，對于全部依靠整數(shù)的畢氏哲學(xué)，這是一次致命的打擊。其次，無理數(shù)看來與常識似乎相矛盾。在幾何上的對應(yīng)情況同樣也是令人驚訝的，因?yàn)榕c直觀相反，存在不可通約的線段，即沒有公共的量度單位的線段。由于畢氏學(xué)派關(guān)于比例定義假定了任何兩個同類量是可通約的，所以畢氏學(xué)派比例理論中的所有命題都局限在可通約的量上，這樣，他們的關(guān)于相似形的一般理論也失效了。

“邏輯上的矛盾”是如此之大，以致于有一段時(shí)間，他們費(fèi)了很大的精力將此事保密，不準(zhǔn)外傳。但是人們很快發(fā)現(xiàn)不可通約性并不是罕見的現(xiàn)象。泰奧多勒斯指出，面積等于3、5、6……17的正方形的邊與單位正方形的邊也不可通約，并對每一種情況都單獨(dú)予以了證明。隨著時(shí)間的推移，無理數(shù)的存在逐漸成為人所共知的事實(shí)。

誘發(fā)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的一個間接因素是之后“芝諾悖論”的出現(xiàn)，它更增加了數(shù)學(xué)家們的擔(dān)憂：數(shù)學(xué)作為一門精確的科學(xué)是否還有可能？宇宙的和諧性是否還存在？

在大約公元前370年，這個矛盾被畢氏學(xué)派的歐多克斯通過給比例下新定義的方法解決了。他的處理不可通約量的方法，出現(xiàn)在歐幾里得《原本》第5卷中，并且和狄德金于1872年繪出的無理數(shù)的現(xiàn)代解釋基本一致。今天中學(xué)幾何課本中對相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微妙之處。

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)表明，幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比來表示。反之，數(shù)卻可以由幾何量表示出來。整數(shù)的尊祟地位受到挑戰(zhàn)，古希臘的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)受到極大的沖擊。于是，幾何學(xué)開始在希臘數(shù)學(xué)中占有特殊地位。同時(shí)也反映出，直覺和經(jīng)驗(yàn)不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希臘人開始從“自明的”公理出發(fā)，通過演繹推理，建立起幾何學(xué)體系。這是數(shù)學(xué)思想上的一次革命，是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的自然產(chǎn)物。

回顧在此以前的各種數(shù)學(xué)，無非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希臘，數(shù)學(xué)也是從實(shí)際出發(fā)，應(yīng)用到實(shí)際問題中去的。例如，泰勒斯預(yù)測日食、利用影子計(jì)算金字塔高度、測量船只離岸距離等等，都是屬于計(jì)算技術(shù)范圍的。至于埃及、巴比倫、中國、印度等國的數(shù)學(xué)，并沒有經(jīng)歷過這樣的危機(jī)和革命，也就繼續(xù)走著以算為主、以用為主的道路。而由于第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的發(fā)生和解決，希臘數(shù)學(xué)則走上完全不同的發(fā)展道路，形成了歐幾里得《原本》的公理體系與亞里士多德的邏輯體系，為世界數(shù)學(xué)作出了另一種杰出的貢獻(xiàn)。

但是，自此以后希臘人把幾何看成了全部數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，把數(shù)的研究隸屬于形的研究，割裂了它們之間的密切關(guān)系。這樣做的最大不幸是放棄了對無理數(shù)本身的研究，使算術(shù)和代數(shù)的發(fā)展受到很大的限制，基本理論十分薄溺。這種畸形發(fā)展的局面在歐洲持續(xù)了兩千多年。

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)

17、18世紀(jì)關(guān)于微積分發(fā)生的激烈的爭論，被稱為第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。從歷史或邏輯的觀點(diǎn)來看，它的發(fā)生也帶有必然性。

這次危機(jī)的萌芽出現(xiàn)在大約公元前450年，芝諾注意到由于對無限性的理解問題而產(chǎn)生的矛盾，提出了關(guān)于時(shí)空的有限與無限的四個悖論：

“兩分法”：向著一個目的地運(yùn)動的物體，首先必須經(jīng)過路程的中點(diǎn)，然而要經(jīng)過這點(diǎn)，又必須先經(jīng)過路程的1/4點(diǎn)……如此類推以至無窮。結(jié)論是：無窮是不可窮盡的過程，運(yùn)動是不可能的。

“阿基里斯(《荷馬史詩》中善跑的英雄)追不上烏龜”：阿基里斯總是首先必須到達(dá)烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)，因而烏龜必定總是跑在前頭。這個論點(diǎn)同兩分法悖論一樣，所不同的是不必把所需通過的路程一再平分。

“飛矢不動”：箭在運(yùn)動過程中的任一瞬時(shí)間必在一確定位置上，因而是靜止的，所以箭就不能處于運(yùn)動狀態(tài)。

“操場或游行隊(duì)伍”：A、B兩件物體以等速向相反方向運(yùn)動。從靜止的C來看，比如說A、B都在1小時(shí)內(nèi)移動了2公里，可是從A看來，則B在1小時(shí)內(nèi)就移動了4公里。運(yùn)動是矛盾的，所以運(yùn)動是不可能的。

芝諾揭示的矛盾是深刻而復(fù)雜的。前兩個悖論詰難了關(guān)于時(shí)間和空間無限可分，因而運(yùn)動是連續(xù)的觀點(diǎn)，后兩個悖論詰難了時(shí)間和空間不能無限可分，因而運(yùn)動是間斷的觀點(diǎn)。芝諾悖論的提出可能有更深刻的背景，不一定是專門針對數(shù)學(xué)的，但是它們在數(shù)學(xué)王國中卻掀起了一場軒然大被。它們說明了希臘人已經(jīng)看到“無窮小”與“很小很小”的矛盾，但他們無法解決這些矛盾。其后果是，希臘幾何證明中從此就排除了無窮小。

經(jīng)過許多人多年的努力，終于在17世紀(jì)晚期，形成了無窮小演算——微積分這門學(xué)科。牛頓和萊布尼茲被公認(rèn)為微積分的奠基者，他們的功績主要在于：把各種有關(guān)問題的解法統(tǒng)一成微分法和積分法；有明確的計(jì)算步驟；微分法和積分法互為逆運(yùn)算。由于運(yùn)算的完整性和應(yīng)用的廣泛性，微積分成為當(dāng)時(shí)解決問題的重要工具。同時(shí)，關(guān)于微積分基礎(chǔ)的問題也越來越嚴(yán)重。關(guān)鍵問題就是無窮小量究競是不是零？無窮小及其分析是否合理？由此而引起了數(shù)學(xué)界甚至哲學(xué)界長達(dá)一個半世紀(jì)的爭論，造成了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。

無窮小量究竟是不是零？兩種答案都會導(dǎo)致矛盾。牛頓對它曾作過三種不同解釋：1669年說它是一種常量；1671年又說它是一個趨于零的變量；1676年它被“兩個正在消逝的量的最終比”所代替。但是，他始終無法解決上述矛盾。萊布尼茲曾試圖用和無窮小量成比例的有限量的差分來代替無窮小量，但是他也沒有找到從有限量過渡到無窮小量的橋梁。

英國大主教貝克萊于1734年寫文章，攻擊流數(shù)(導(dǎo)數(shù))“是消失了的量的鬼魂……能消化得了二階、三階流數(shù)的人，是不會因吞食了神學(xué)論點(diǎn)就嘔吐的”。他說，用忽略高階無窮小而消除了原有的錯誤，“是依靠雙重的錯誤得到了雖然不科學(xué)卻是正確的結(jié)果”。貝克萊雖然也抓住了當(dāng)時(shí)微積分、無窮小方法中一些不清楚不合邏輯的問題，不過他是出自對科學(xué)的厭惡和對宗教的維護(hù)，而不是出自對科學(xué)的追求和探索。

當(dāng)時(shí)一些數(shù)學(xué)家和其他學(xué)者，也批判過微積分的一些問題，指出其缺乏必要的邏輯基礎(chǔ)。例如，羅爾曾說：“微積分是巧妙的謬論的匯集?！痹谀莻€勇于創(chuàng)造時(shí)代的初期，科學(xué)中邏輯上存在這樣那樣的問題，并不是個別現(xiàn)象。

18世紀(jì)的數(shù)學(xué)思想的確是不嚴(yán)密的、直觀的，強(qiáng)調(diào)形式的計(jì)算而不管基礎(chǔ)的可靠。其中特別是：沒有清楚的無窮小概念，從而導(dǎo)數(shù)、微分、積分等概念不清楚；無窮大概念不清楚；發(fā)散級數(shù)求和的任意性等等；符號的不嚴(yán)格使用；不考慮連續(xù)性就進(jìn)行微分，不考慮導(dǎo)數(shù)及積分的存在性以及函數(shù)可否展成冪級數(shù)等等。

直到19世紀(jì)20年代，一些數(shù)學(xué)家才比較關(guān)注于微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ)。從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里赫利等人的工作開始，到威爾斯特拉斯、狄德金和康托的工作結(jié)束，中間經(jīng)歷了半個多世紀(jì)，基本上解決了矛盾，為數(shù)學(xué)分析奠定了一個嚴(yán)格的基礎(chǔ)。

波爾查諾給出了連續(xù)性的正確定義；阿貝爾指出要嚴(yán)格限制濫用級數(shù)展開及求和；柯西在1821年的《代數(shù)分析教程》中從定義變量出發(fā)，認(rèn)識到函數(shù)不一定要有解析表達(dá)式，他抓住極限的概念，指出無窮小量和無窮大量都不是固定的量而是變量，無窮小量是以零為極限的變量，并且定義了導(dǎo)數(shù)和積分；狄里赫利給出了函數(shù)的現(xiàn)代定義。在這些工作的基礎(chǔ)上，威爾斯特拉斯消除了其中不確切的地方，給出了現(xiàn)在通用的極限的定義、連續(xù)的定義，并把導(dǎo)數(shù)、積分嚴(yán)格地建立在極限的基礎(chǔ)上。

19世紀(jì)70年代初，威爾斯特拉斯、狄德金、康托等人獨(dú)立地建立了實(shí)數(shù)理論，而且在實(shí)數(shù)理論的基礎(chǔ)上，建立起極限論的基本定理，從而使數(shù)學(xué)分析建立在實(shí)數(shù)理論的嚴(yán)格基礎(chǔ)之上。

第三次數(shù)學(xué)危機(jī)

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的第三次危機(jī)是由1897年的突然沖擊而出現(xiàn)的，從整體上看到現(xiàn)在還沒有解決到令人滿意的程度。這次危機(jī)是由于在康托的一般集合理論的邊緣發(fā)現(xiàn)悖論造成的。由于集合概念已經(jīng)滲透到眾多的數(shù)學(xué)分支，并且實(shí)際上集合論已經(jīng)成了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，因此集合論中悖論的發(fā)現(xiàn)自然地引起了對數(shù)學(xué)的整個基本結(jié)構(gòu)的有效性的懷疑。

1897年，福爾蒂揭示了集合論的第一個悖論；兩年后，康托發(fā)現(xiàn)了很相似的悖論，它們涉及到集合論中的結(jié)果。1902年，羅素發(fā)現(xiàn)了一個悖論，它除了涉及集合概念本身外不涉及別的概念。

羅素，英國人，哲學(xué)家、邏輯學(xué)家、數(shù)學(xué)家。1902年著述《數(shù)學(xué)原理》，繼而與懷德海合著《數(shù)學(xué)原理》(1910～1913)，把數(shù)學(xué)歸納為一個公理體系，是劃時(shí)代的著作之一。他在很多領(lǐng)域都有大量著作，并于1950年獲得諾貝爾文學(xué)獎。他關(guān)心社會現(xiàn)象，參加和平運(yùn)動，開辦學(xué)校。1968～1969年出版了他的自傳。

羅素悖論曾被以多種形式通俗化，其中最著名的是羅索于1919年給出的，它講的是某村理發(fā)師的困境。理發(fā)師宣布了這樣一條原則：他只給不自己刮胡子的人刮胡子。當(dāng)人們試圖答復(fù)下列疑問時(shí)，就認(rèn)識到了這種情況的悖論性質(zhì)：“理發(fā)師是否可以給自己刮胡子？”如果他給自己刮胡子，那么他就不符合他的原則；如果他不給自己刮胡子，那么他按原則就該為自己刮胡子。

羅素悖論使整個數(shù)學(xué)大廈動搖了，無怪乎弗雷格在收到羅素的信之后，在他剛要出版的《算術(shù)的基本法則》第二卷末尾寫道：“一位科學(xué)家不會碰到比這更難堪的事情了，即在工作完成之時(shí)，它的基礎(chǔ)垮掉了。當(dāng)本書等待付印的時(shí)候，羅素先生的一封信就把我置于這種境地?！钡业陆鹪瓉泶蛩惆选哆B續(xù)性及無理數(shù)》第三版付印，這時(shí)也把稿件抽了回來。發(fā)現(xiàn)拓?fù)鋵W(xué)中“不動點(diǎn)原理”的布勞恩也認(rèn)為自己過去做的工作都是“廢話”，聲稱要放棄不動點(diǎn)原理。

在康托的集合論和上述矛盾發(fā)現(xiàn)之后，還產(chǎn)生了許多附加的悖論。集合論的現(xiàn)代悖論與邏輯的幾個古代悖論有關(guān)系。例如公元前4世紀(jì)的歐伯利得悖論：“我現(xiàn)在正在做的這個陳述是假的?！比绻@個陳述是真的，則它是假的；然而，如果這個陳述是假的，則它又是真的了。于是，這個陳述既不能是真的，又不能是假的，怎么也逃避不了矛盾。更早的還有埃皮門尼德(公元前6世紀(jì)，克利特人)悖論：“克利特人總是說謊的人?！敝灰唵畏治鲆幌?，就能看出這句話也是自相矛盾的。

集合論中悖論的存在，明確地表示某些地方出了毛病。自從發(fā)現(xiàn)它們之后，人們發(fā)表了大量關(guān)于這個課題的文章，并且為解決它們作過大量的嘗試。就數(shù)學(xué)而論，看來有一條容易的出路：人們只要把集合論建立在公理化的基礎(chǔ)上，加以充分限制以排除所知道的矛盾。

第一次這樣的嘗試是策梅羅于1908年做出的，以后還有多人進(jìn)行了加工。但是，此程序曾受到批評，因?yàn)樗皇潜荛_了某些悖論，而未能說明這些悖論；此外，它不能保證將來不出現(xiàn)別種悖論。

另一種程序既能解釋又能排除已知悖論。如果仔細(xì)地檢查就會發(fā)現(xiàn)：上面的每一個悖論都涉及一個集合S和S的一個成員M（即M是靠S定義的)。這樣的一個定義被稱作是“非斷言的”，而非斷言的定義在某種意義上是循環(huán)的。例如，考慮羅素的理發(fā)師悖論：用M標(biāo)志理發(fā)師，用S標(biāo)示所有成員的集合，則M被非斷言地定義為“S的給且只給不自己刮胡子人中刮胡子的那個成員”。此定義的循環(huán)的性質(zhì)是顯然的——理發(fā)師的定義涉及所有的成員，并且理發(fā)師本身就是這里的成員。因此，不允許有非斷言的定義便可能是一種解決集合論的己知悖論的辦法。然而，對這種解決辦法，有一個嚴(yán)重的責(zé)難，即包括非斷言定義的那幾部分?jǐn)?shù)學(xué)是數(shù)學(xué)家很不愿丟棄的，例如定理“每一個具有上界的實(shí)數(shù)非空集合有最小上界(上確界)”。

解決集合論的悖論的其他嘗試，是從邏輯上去找問題的癥結(jié)，這帶來了邏輯基礎(chǔ)的全面研究。

從1900年到1930年左右，數(shù)學(xué)的危機(jī)使許多數(shù)學(xué)家卷入一場大辯論當(dāng)中。他們看到這次危機(jī)涉及到數(shù)學(xué)的根本，因此必須對數(shù)學(xué)的哲學(xué)基礎(chǔ)加以嚴(yán)密的考察。在這場大辯論中，原來不明顯的意見分歧擴(kuò)展成為學(xué)派的爭論。以羅素為代表的邏緝主義、以布勞威為代表的直覺主義、以希爾伯特為代表的形式主義三大數(shù)學(xué)哲學(xué)學(xué)派應(yīng)運(yùn)而生。它們都是唯心主義學(xué)派，它們都提出了各自的處理一般集合論中的悖論的辦法。他們在爭論中盡管言語尖刻，好像勢不兩立，其實(shí)各自的觀點(diǎn)都吸收了對方的看法而又有很多變化。

1931年，哥德爾不完全性定理的證明暴露了各派的弱點(diǎn)，哲學(xué)的爭論黯淡了下來。此后，各派力量沿著自己的道路發(fā)展演化。盡管爭論的問題遠(yuǎn)未解決，但大部分?jǐn)?shù)學(xué)家并不大關(guān)心哲學(xué)問題。直到近年，數(shù)學(xué)哲學(xué)問題才又激起人們的興趣。

承認(rèn)無窮集合、承認(rèn)無窮基數(shù)，就好像一切災(zāi)難都出來了，這就是第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)。盡管悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數(shù)學(xué)的確定性卻在一步一步地喪失?，F(xiàn)代公理集合論中一大堆公理，簡直難說孰真孰假，可是又不能把它們都消除掉，它們跟整個數(shù)學(xué)是血肉相連的。所以，第三次數(shù)學(xué)危機(jī)表面上解決了，實(shí)質(zhì)上更深刻地以其他形式延續(xù)著。

數(shù)學(xué)中的矛盾既然是固有的，它的激烈沖突——危機(jī)就不可避免。危機(jī)的解決給數(shù)學(xué)帶來了許多新認(rèn)識、新內(nèi)容，有時(shí)也帶來了革命性的變化。把20世紀(jì)的數(shù)學(xué)同以前全部數(shù)學(xué)相比，內(nèi)容要豐富得多，認(rèn)識要深入得多。在集合論的基礎(chǔ)上，誕生了抽象代數(shù)學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、泛函分析與測度論，數(shù)理邏輯也興旺發(fā)達(dá)成為數(shù)學(xué)有機(jī)體的一部分。古代的代數(shù)幾何、微分幾何、復(fù)分析現(xiàn)在已經(jīng)推廣到高維。代數(shù)數(shù)論的面貌也多次改變，變得越來越優(yōu)美、完整。一系列經(jīng)典問題完滿地得到解決，同時(shí)又產(chǎn)生了更多的新問題。特別是第二次世界大戰(zhàn)之后，新成果層出不窮，從未間斷。數(shù)學(xué)呈現(xiàn)無比興旺發(fā)達(dá)的景象，而這正是人們同數(shù)學(xué)中的矛盾、危機(jī)斗爭的產(chǎn)物。