基于Mogi-Coulomb強度準(zhǔn)則的豎井井壁土壓力廣義解

曹周陽，關(guān)曉迪，朱勇鋒，馬 迪，竇國濤

（1. 鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 土木建筑學(xué)院，河南 鄭州 450046；2. 西安理工大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，陜西 西安 710048；3. 長安大學(xué) 地質(zhì)工程與測繪學(xué)院，陜西 西安 710061）

0 引 言

隨著我國地下空間的加速開發(fā)，地下豎井越來越廣泛的應(yīng)用于隧道工程、公路鐵路交通運輸及礦山井巷等工程建設(shè)中[1-2]。隨著綜合交通建設(shè)的飛速發(fā)展，鐵路、公路隧道等工程建設(shè)中遇到的工程地質(zhì)環(huán)境問題變得越來越復(fù)雜[3]，且豎井開挖引起的圍巖應(yīng)力重分布受多種因素的影響，圍巖應(yīng)力與破壞形式發(fā)育不僅與豎井開挖深度、圍巖結(jié)構(gòu)特性、強度等級等圍巖性質(zhì)因素有關(guān)，還受豎井截面形狀和支護形式的影響[4]，同時豎井結(jié)構(gòu)具有空間效應(yīng)，而鮮有針對豎井結(jié)構(gòu)空間土壓力方面的相關(guān)研究[5]，因此，對豎井圍巖空間土壓力的計算和分析，具有重要的理論與工程實踐意義。

現(xiàn)階段針對豎井圍巖空間土壓力試驗測試相關(guān)方面的研究較少，試驗測試方法主要有現(xiàn)場原位測試試驗和室內(nèi)模型試驗[6-9]。閆登峰[10]基于現(xiàn)場實時監(jiān)測數(shù)據(jù)，得到了豎井下沉不同深度時井壁土壓力的分布規(guī)律。KIM等[11]基于全尺寸現(xiàn)場試驗結(jié)果，通過三維拱形效應(yīng)測量，研究了豎向圓井的側(cè)向土壓力的大小和分布。CHO等[12]介紹了一種基于離心機模型試驗，基于實驗分析研究了垂直圓軸上的側(cè)向土壓力，得出垂直圓軸上的側(cè)向土壓力比朗肯理論值低。上述研究成果分析了豎井井壁土壓力，總結(jié)了不同因素對井壁土壓力分布規(guī)律的影響[13-14]。

基于許多學(xué)者多年來對豎井失穩(wěn)破壞機理的研究成果發(fā)現(xiàn)，可以采用樁-土間相互作用原理來計算與研究豎井井壁的受力特性及規(guī)律，而土與結(jié)構(gòu)的相互作用計算過程往往較為復(fù)雜，因此，針對豎井井壁土壓力分布規(guī)律方面的研究大多采用數(shù)值模擬方法[15-16]。楊勇[17]為減小豎井井壁的厚度，提高其承載力和耐久性，針對深凍結(jié)豎井井壁的施工環(huán)境和受力特性，得到了豎井井壁混凝土的受力和變形特征，可較為合理地解決深凍結(jié)豎井的支護難題。楊卓文[18]通過模擬豎井施工過程，明晰了豎井土體位移和地表沉降隨著豎井開挖深度的增加而增大，且井壁土壓力隨著開挖深度增加而減小。以上學(xué)者考慮不同影響因素（井壁的厚徑比、地層狀況、支護類型以及降水或堵水方式等），深入研究了井壁土壓力的分布規(guī)律。

豎井圍巖土壓力是豎井支護設(shè)計時需定量計算的重要荷載[19-22]。WALZ[23]討論了確定無黏性土中豎井襯砌土壓力的各種理論，并給出了具有錐形滑動面的庫侖型分析結(jié)果。HERTEN和PULSFORT[24]采用線性滑動接觸模型，計算了圓形豎井結(jié)構(gòu)上的空間土壓力及其變形，研究發(fā)現(xiàn)由于旋轉(zhuǎn)對稱性，豎井井壁空間土壓力計算僅限于一個扇區(qū)。CHENG等[25]對哈爾-卡門完全塑性假定進行修正，推導(dǎo)出基于Mohr-Coulomb強度理論的豎井襯砌土壓力解析表達式。周揚等[26]針對處于約束內(nèi)壁治理條件下的深厚表土層中的豎井，應(yīng)用雙重級數(shù)法推導(dǎo)出滿足所有側(cè)面及端部應(yīng)力邊界條件的彈性解。

由于Mogi-Coulomb強度準(zhǔn)則[27-28]較合理地考慮了中間主應(yīng)力σ2對巖土強度的影響，基于此，本文引入一個環(huán)向壓應(yīng)力系數(shù)ζ對哈爾-卡門完全塑性假定進行修正，通過對豎井圍巖進行彈塑性分析，推導(dǎo)出基于Mogi-Coulomb強度準(zhǔn)則的豎井井壁空間主動土壓力新解。

1 豎井井壁土壓力推導(dǎo)前提與假定

本文依托Mogi-Coulomb強度準(zhǔn)則，在主動極限平衡狀態(tài)下，豎井圍巖的屈服條件[29]滿足式（1），通過對圍巖進行彈塑性分析，推導(dǎo)出豎井圍巖空間主動土壓力新解。

式中：c為黏聚力；φ為內(nèi)摩擦角；b為中間主應(yīng)力系數(shù)。

2 豎井井壁土壓力理論推導(dǎo)

假定豎井圍巖微元體的應(yīng)力狀態(tài)如圖1所示[30]。圖中R為豎井半徑，r為圍巖一點的半徑，rσ、zσ、θσ分別為徑向、軸向和環(huán)向應(yīng)力。

圖1 圍巖一點的受力狀態(tài)Fig. 1 Stress state of a point on the surrounding rock

豎井圍巖問題的平衡微分方程為：

式中：γ為豎井圍巖的重度。

針對經(jīng)典的別林贊茨葉夫主動土壓力偏小，在工程實踐中往往偏于危險的問題，引入環(huán)向壓應(yīng)力系數(shù)ζ對哈爾-卡門假定進行修正[31]，則豎井圍巖微元體上的環(huán)向應(yīng)力滿足：

當(dāng)ζ<1時，σ1(σz) ＞ σ2(σθ) ＞ σ3(σr)，即為本文土壓力；當(dāng)ζ=1時，σ1(σz) = σ2(σθ) ＞ σ3(σr)，即為別林贊茨葉夫主動土壓力。

在屈服狀態(tài)下，軸對稱豎井圍巖在r-z平面存在兩族滑移線，將滑移線與大主應(yīng)力σ1軸的夾角為+u時稱第一族滑移線，夾角為-u時稱第二族滑移線[32]，如圖2，圖中δ為第一族滑移線與r軸的夾角，θ1為σ1軸與r軸的夾角。

圖2 豎井圍巖的兩族滑移線Fig. 2 Two groups slip lines of shaft surrounding rock

為簡化公式的計算和方便公式形式的表達，令：

則主動極限狀態(tài)時圍巖應(yīng)力分量為：

將式（5）和式（6）代入式（2），得：

聯(lián)立式（7）和式（8），得到：

聯(lián)立式（9）和式（10），得到：

當(dāng)?shù)谝蛔?、第二族滑移線的弧長分別用s1和s2表示[18,30]，由方向?qū)?shù)公式定義，得到主動極限平衡狀態(tài)時軸對稱豎井圍巖微分方程為：

圖3 豎井井壁土壓力簡圖Fig. 3 Earth pressure of shaft wall

則第一族滑移線與r軸的夾角為：

將式（15）代入式（13），得到：

聯(lián)立式（5）、式（6）和式（19），可得圍巖應(yīng)力分量：

若第一族滑移線與地表交點橫坐標(biāo)為ar，與井壁交點縱坐標(biāo)為za，則存在如下關(guān)系：

將式（22）代入式（20），得到圍巖應(yīng)力分量，式（23）；令式（23）中r=R，得到豎井井壁的空間主動土壓力新解為式（24）。

顯然經(jīng)典的別林贊茨葉夫主動土壓力公式（25）為本文空間主動土壓力公式（24）在中主應(yīng)力系數(shù)b=0或1.0，且環(huán)向壓應(yīng)力系數(shù)ζ=1.0時的特例。

由于豎井井壁空間主動土壓力具有環(huán)形土拱效應(yīng)[34]，使得空間土壓力小于或等于平面土壓力，通過計算可得如下關(guān)系：

將式（27）代入式（17），得到：

3 算例分析

針對半徑R=3 m、井深z=15 m的豎井，采用3種計算工況進行對比分析如表1，研究不同b和ζ對豎井井壁空間主動土壓力值的影響。

表1 計算工況Table 1 Calculation conditions

圖4為不同中間主應(yīng)力系數(shù)b下豎井井壁空間主動土壓力分布曲線。當(dāng)b=0或1.0時主動土壓力（別林贊茨葉夫主動土壓力）為最大值，b=0.1、0.2、0.3、0.4和0.5時井壁土壓力較b=0或1.0時（別林贊茨葉夫主動土壓力）分別減小23.0%、42.6%、57.7%、67.2%和70.5%。

圖4 b值對井壁土壓力的影響Fig. 4 Influence of b value on earth pressure of shaft wall

圖5為不同b值下軸對稱豎井井壁的空間主動土壓力分布曲線。通過分析發(fā)現(xiàn)，豎井井壁空間主動土壓力隨著豎井深度的增加成非線性分布，b值越大，豎井圍巖拉張區(qū)開裂深度越大，且豎井井壁空間主動土壓力值大于別林贊茨葉夫主動土壓力（b=0或1.0時主動土壓力）。

圖5 不同b值時井壁土壓力Fig. 5 Earth pressure of shaft wall with different b values

圖6為不同ζ值下豎井井壁空間主動土壓力分布曲線。隨著ζ值的減小（當(dāng)ζ=1.0時為別林贊茨葉夫主動土壓力），豎井圍巖拉張區(qū)開裂深度減小；ζ=0.9、0.8、0.7和0.6時井深15 m處豎井井壁空間主動土壓力值較ζ=1.0時（別林贊茨葉夫主動土壓力）分別增大29.4%、65.2%、109.2%和163.3%，說明隨著環(huán)向壓應(yīng)力系數(shù)減小，豎井井壁空間土壓力值增大。這是由于基于哈爾-卡門完全塑性假定的別林贊茨葉夫主動土壓力明顯夸大了軸對稱豎井圍巖微元體的環(huán)向正應(yīng)力，簡單地將軸對稱豎井井壁的微元體圍巖應(yīng)力滿足σ1(σz) = σ2(σθ) ＞ σ3(σr)，這明顯與工程實際中軸對稱豎井圍巖微元體的應(yīng)力狀態(tài)不相符，從而導(dǎo)致求解出的豎井井壁空間土壓力值pa=σr偏小。

圖6 不同ζ值時井壁空間土壓力Fig. 6 Earth pressure of shaft wall with different ζ values

圖7為ζ為1.0、K0[25]時井壁空間主動土壓力（當(dāng)ζ=1.0時為別林贊茨葉夫主動土壓力）。以朗肯主動土壓力作為參照，工況1中井深15 m處ζ=1.0和K0時井壁空間主動土壓力較朗肯主動土壓力分別減小64.8%和33.2%，工況2中ζ=1.0和K0時主動土壓力分別減小76.4%和39.1%，工況3中ζ=1.0和K0時主動土壓力分別減小86.3%和46.2%。

圖7 各工況下井壁土壓力Fig. 7 Earth pressure of shaft wall under different working conditions

通過上述分析可知，別林贊茨葉夫主動土壓力偏小，在工程中偏危險，朗肯主動土壓力偏大，在工程中會造成井壁支護材料的浪費。

4 結(jié) 論

（1）本文引入一個環(huán)向壓應(yīng)力系數(shù)修正了哈爾-卡門假定，通過對軸對稱豎井圍巖進行彈塑性分析，推導(dǎo)了豎井井壁空間主動土壓力廣義解。

（2）豎井井壁空間主動土壓力在b=0或1.0時最大，且b值越大，豎井圍巖拉張區(qū)開裂深度越大。

（3）隨著ζ值的減小，豎井井壁空間主動土壓力增大，且ζ值越小，豎井圍巖拉張區(qū)開裂深度越小。