共振柱試驗確定土動剪切模量和阻尼比的理論辨析

陳龍珠，顧曉強

（1. 上海交通大學 船建學院土木工程系，上海 200240；2. 同濟大學 土木工程學院地下建筑與工程系，上海 200092）

0 引 言

在場地地震安全性評估、地基抗震加固和環(huán)境振動治理等工程中，通常需要采用動三軸試驗和共振柱試驗測定地基土的動剪切模量、阻尼比與剪應變幅的關系曲線。一般來說，對測試原理基于線性振動理論的共振柱試驗，試樣最大應變幅不高于1×10-3，而動三軸試驗適用的應變幅范圍則不低于1×10-4，1×10-4～1×10-3常是它們的交疊區(qū)間。因此，將這兩種試驗的測試結果整合起來，便可為試樣提供較為完整的動剪切模量、阻尼比與動應變幅的關系曲線[1-2]。

根據(jù)材料力學基本理論，對固結后高度為hc、截面直徑dc的圓形實心截面試樣，若已知在其頂端受到的扭矩T及其相對于底端的扭轉角θ等參數(shù)，則試樣的剪切模量可由理論公式來計算。利用這個原理直接測定試樣的剪切模量，必須精密測定試樣受到的扭矩及其產(chǎn)生的扭轉角，但這在以往卻并不容易做到，直到近些年隨著測量傳感器的進步才被開發(fā)應用[3-4]。我國目前仍普遍采用傳統(tǒng)的共振柱試驗技術[5-6]，即對類似于動三軸試驗的試樣，在其頂端施加一系列振動頻率的扭矩，同時測定試樣頂端水平安裝的加速度計電壓信號，再由其幅頻關系曲線的峰點頻率確定試樣的共振頻率和動剪切模量，并由轉換而得的扭轉角位移幅頻曲線的峰點頻率及其兩側半功率點之間的頻差計算試樣的阻尼比。這種穩(wěn)態(tài)強迫振動法確定試樣的動剪切模量，避免了精確測量試樣所受動扭矩的困難。在共振柱試驗中，也可以瞬間卸除使試樣頂端產(chǎn)生預期轉角的扭轉激勵，讓試樣轉為自由振動狀態(tài)，再由所記錄到的試樣扭轉振動衰減時程曲線來確定它的阻尼比，這是自由振動法。

目前常見的共振柱儀可分為底端固定頂端自由、底端固定頂端受彈簧支承兩類，其中前者的試樣與頂端激振和測振傳感器附加質量整體系統(tǒng)的動力特性求解相對簡單，本文將以此為對象，并結合《土工試驗方法標準》（GB/T 50123—2019）[5]的相關規(guī)定，進行分析討論。試樣頂面的扭轉角振幅θ0及其對應的動剪應變幅γ，通常是由加速度計測到的水平向線加速度經(jīng)計算得出：θ0=U0/(4d1βπ2f2)、γ=θ0dc/(3hc)，其中d1、U0、β和f依次為加速度計到試樣軸線的距離、加速度計電壓振幅、加速度計標定系數(shù)和振動頻率。顯然，試樣頂面的加速度計電壓U0或扭轉角加速度振幅與扭轉角速度振幅扭轉角振幅隨振動頻率而變化的關系，彼此之間是不同的。因此，它們的幅頻曲線峰點頻率、峰點兩側半功率點頻率及其差值，彼此之間也會存在差別。共振柱試驗測定試樣動剪切模量Gd的理論計算公式為：

式中：ρ0為試樣的質量密度；fnt是試樣的固有頻率；βs為扭轉振動的無量綱頻率因數(shù)。但是，根據(jù)其第30.3.4條中的第3點和第30.4.2條，《土工試驗方法標準》對其式（30.4.2）或本文式（1）中的fnt，采用了U0-f曲線和曲線的峰點頻率（扭轉角加速度共振頻率）f，同時也由此按其式（30.4.1-1）計算對應的剪應變幅。另外，該標準確定試樣阻尼比tλ的式（30.4.6-2），涉及的則是θ0-f曲線的峰點頻率fθp（扭轉角共振頻率，該標準采用符號fn）。由此可見，需要弄清和fθp的相對大小狀況，才能判斷由該標準方法確定的試樣動剪切模量、動剪應變幅和阻尼比的數(shù)值是否合理和可靠。本文主要從理論上對此進行辨析與討論。

1 黏彈性試樣扭轉穩(wěn)態(tài)強迫振動解與應用

1.1 理論解答

對圖1所示的坐標系，圓柱試樣底端固定，頂端安裝有總質量為 am的激振壓板和量測傳感系統(tǒng)。假設土為線性黏彈性材料，則試樣扭轉振動的運動方程為：

圖1 共振柱試驗扭轉振動力學模型Fig. 1 Mechanical model of torsional vibration for resonant column test

式中：θ(z,t)是與試樣底端距離為z處截面隨時間t而變化的轉角；tη為試樣扭轉振動阻尼系數(shù)；T(t)為試樣頂端外加扭矩；δ為奇異函數(shù)。

式（2）所采用的模型，假設了阻尼效應與試樣的動剪切模量成正比，屬于一種瑞利阻尼，由此根據(jù)結構動力學理論可知，試樣的強迫振動可按振型疊加法求解。因試樣相鄰振型的固有頻率間距較大，對共振柱試驗的頻率范圍而言，可僅考慮第1振型的影響：

其中第1階振型函數(shù)可表示為[1]：是試樣扭轉的第1階固有圓頻率。將式（3）代入式（2），且對各項同乘以A1(z)，然后再對各項沿試樣高度進行積分，可得：

將式（5）代入式（3），可得到試樣頂端扭轉角的穩(wěn)態(tài)強迫振動解：

對于簡諧振動，容易寫出試樣頂端扭轉振動的角速度和角加速度振幅：

1.2 動剪切模量計算

從上述結果得知，當阻尼比λt≠0時，有也就是說，試樣扭轉角加速度和角位移的共振頻率均受阻尼比的影響，只有角速度的共振頻率與阻尼比無關而與試樣的固有頻率相同。

在共振柱試驗所測試樣阻尼比的常見范圍內，表1列出了試樣扭轉角幅頻曲線和角加速度幅頻曲線峰頻比的平方隨阻尼比而變化的數(shù)據(jù)。由表中數(shù)據(jù)可見，當阻尼比低于0.10時，試樣扭轉角和角加速度幅頻曲線的峰頻與固有頻率相差很??；但之后隨著阻尼比的增加，兩種峰頻比平方的數(shù)值與1的差距會越來越大。對多種類型的土來說，試驗結果表明，阻尼比會隨著動剪應變幅的增大而升高，當動剪應變幅處于1×10-4～1×10-3區(qū)間時，阻尼比隨動剪應變幅增大會快速升高，阻尼比會進入0.10～0.20范圍之內[7-8]。由表1可見，當阻尼比處于0.10～0.20時，由角加速度幅頻曲線峰頻替代試樣固有頻率計算得出的動剪切模量，將會偏高2.0%～8.7%。

表1 試樣扭轉角和角加速度幅頻曲線峰頻比平方值Table 1 Squared peak frequency ratios of the amplitudefrequency curves for torsional angle and angular acceleration of specimen

1.3 動剪應變幅計算

從本文引言介紹可知，試樣的動剪應變與扭轉角直接關聯(lián)。因此，宜以扭轉角幅頻曲線的峰點來反映試樣受到的最大動剪應變幅，而由扭轉角加速度幅換算出的扭轉角，是與振動頻率的平方成反比的。由表1最右一列數(shù)據(jù)可知，當阻尼比處于0.10～0.20時，由替代fθp計算出的試樣剪應變幅將會偏低3.9%～15.4%，為接近于前述動剪切模量誤差的兩倍。

從以上兩點理論分析結果似可推論，由于阻尼比一般是隨著動剪應變的增大而增大的，《土工試驗方法標準》所存在的上述兩點問題，對共振柱與動三軸試驗數(shù)據(jù)合成繪制動剪切模量與動剪應變幅曲線的連貫性，可能也會帶來一些影響。文獻[2]給出的幾種土樣試驗曲線表明，在動剪應變幅交疊區(qū)域，由共振柱試驗測得的動剪切模量比動三軸試驗測得的略高。但有哪些因素對此產(chǎn)生了影響，尚待更進一步的觀察和分析。

1.4 強迫振動法的阻尼比計算

參照單自由度結構強迫振動幅頻曲線特征，在激振頻率接近于固有頻率的范圍內，結構振幅受阻尼比的影響極其敏感，阻尼比較小時尤其如此。因此，對共振柱試驗確定阻尼比的方法，宜盡量做到精準。利用上面推導出的式（8）、式（11）和式（12），從理論上說，可由扭轉角、角速度和角加速度幅頻曲線的峰頻來確定試樣的阻尼比：

但在阻尼比較小時，要想由這兩個公式確定阻尼比具有足夠高的精度，則需要在試驗時選用足夠小的激振頻率間隔，以便獲得足夠分辨率的峰頻。

在《地基動力特性測試規(guī)范》[6]中，由共振柱試驗測定試樣阻尼比，只給出了自由振動法的算式；而《土工試驗方法標準》同時給出了自由振動法和穩(wěn)態(tài)強迫振動法的算式，其中后者的式（30.4.6-2）用本文符號表示則為：

式中：1f和f2是試樣扭轉角幅頻曲線峰點兩側、振幅為即70.7%的峰值處兩個半功率點對應的頻率，其在如圖2所示的F-R曲線上對應于1R和R2。

圖2 確定試樣阻尼比的半功率點Fig. 2 Half power points for the soil damping ratio

將其重新整理，得：

表2 試樣扭轉角幅頻曲線半功率點頻率比的精確值Table 2 Exact values of the frequency ratio at half-power point of the amplitude-frequency curve for torsional angle of the specimen

由此可見，若將《土工試驗方法標準》對穩(wěn)態(tài)強迫振動法算式（30.4.6-2）規(guī)定的試樣扭轉角幅頻曲線，改為扭轉角速度幅頻曲線，則在理論上相對更加嚴密。將表3數(shù)據(jù)代入式（17），所得阻尼比幾乎沒有誤差。

表3 試樣扭轉角速度幅頻曲線半功率點頻率比的精確值Table 3 Exact values of the frequency ratio at half-power point of the amplitude-frequency curve for angular velocity of the specimen in torsion

對于式（16）的精確算式和表3中的數(shù)據(jù)，容易驗證R1R2=1，即由此可以對實測扭轉角速度幅頻曲線的可靠性進行檢驗。當遇到試樣扭轉角速度幅頻曲線的頻率范圍不足以確定R2時，可以由1R計算阻尼比：

2 黏彈性試樣扭轉自由振動解與應用

令式（2）中試樣頂端外加扭矩T(t)為0，便是其自由振動的運動方程。同樣按振型疊加法求解并僅保留第一振型的影響，則可以得到試樣頂端扭轉角位移的自由振動解[9]：

圖3 試樣扭轉角的自由振動時程信號示意圖Fig. 3 Schematic curve of rotation angle versus time forspecimen under free vibration

由試驗測得對數(shù)遞減率后，可由式（20）得到相應的阻尼比：

由于自由振動隨時間的推移逐漸減弱，動剪應變幅會隨之降低，繼而使得試樣的阻尼比會發(fā)生變化。因此，在采用自由振動法測定試樣的阻尼比時，宜對開始階段的時程曲線進行分析。

3 結 論

本文通過理論推導和分析，對現(xiàn)行《土工試驗方法標準》所含共振柱試驗確定試樣動剪切模量、動剪應變幅和阻尼比的方法，提出如下幾點改善意見：

（1）在試樣動剪切模量的算式中，應采用扭轉角速度幅頻曲線的峰頻，即試樣的固有頻率。

（2）在試樣動剪應變幅的算式中，宜采用扭轉角幅頻曲線的峰頻。

（3）在穩(wěn)態(tài)強迫振動法確定試樣阻尼比的算式中，應采用扭轉角速度幅頻曲線的峰頻及兩個半功率點的頻差。

（4）采用自由振動法確定試樣的阻尼比，扭轉角、角速度和角加速度或加速度計電壓時程曲線均可選用。