一類含摩擦單自由度分段光滑碰撞振動系統(tǒng)的動力學(xué)分析

張曉蓉，盧 鑫，白 冰

（蘭州交通大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730070）

隨著工業(yè)技術(shù)的不斷進(jìn)步，機(jī)械運(yùn)行裝置要求精密化、高效化，需要建立更加精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)模型以研究系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài).含有間隙、約束和摩擦多重非光滑非線性因素的碰撞振動系統(tǒng)更能準(zhǔn)確地反應(yīng)機(jī)械運(yùn)行實(shí)況.不同摩擦力模型將影響系統(tǒng)動力學(xué)特性，剛性碰撞瞬時(shí)能量損失較大，彈性碰撞可有效地緩解這一問題.研究含多重非光滑線性因素的碰撞振動系統(tǒng)動力學(xué)對我們研究碰撞機(jī)理、尋找最佳參數(shù)匹配范圍、有效控制振動噪聲都有很大幫助.國內(nèi)外學(xué)者通過數(shù)値解析、理論推導(dǎo)、圖像模擬、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證等方法對含有干摩擦碰撞振動系統(tǒng)的滑移—粘滯運(yùn)動周期解［1］、粘滑運(yùn)動停留時(shí)間［2］、相鄰運(yùn)動邊界不連續(xù)性［3］等相關(guān)問題進(jìn)行了研究.碰撞振動系統(tǒng)中含有摩擦因素使得系統(tǒng)出現(xiàn)不同形式的分岔和豐富多樣的運(yùn)動.Li發(fā)現(xiàn)自激—光滑不連續(xù)振蕩器的動力學(xué)中存在超臨界叉式分岔［4］，該研究表明含多重非光滑因素的系統(tǒng)動力學(xué)行為很復(fù)雜.Luo研究了沖擊振動系統(tǒng)的動力學(xué)特性與模型參數(shù)的關(guān)聯(lián)關(guān)系［5］.Renji，K推導(dǎo)了在基諧波激勵下間隙型非線性系統(tǒng)響應(yīng)幅值的理論估計(jì)表達(dá)式，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了動態(tài)響應(yīng)［6］.文獻(xiàn)［7-8］對含干摩擦碰撞振動系統(tǒng)的周期運(yùn)動和相鄰運(yùn)動轉(zhuǎn)遷規(guī)律進(jìn)行了總結(jié).張艷龍分析了系統(tǒng)含摩擦產(chǎn)生的摩擦誘導(dǎo)動力學(xué)現(xiàn)象，系統(tǒng)存在復(fù)雜多樣的摩擦誘導(dǎo)振動形式［9］.朱琳等人研究了含干摩擦粘／彈性構(gòu)件的兩類非光滑減振器的動力學(xué)問題［10］.隋鑫等用時(shí)域—頻域方法分析粘滑振動機(jī)理［11］.呂小紅數(shù)值模擬了低頻下顫碰存在的機(jī)理［12］.文獻(xiàn)［13-14］揭示了由碰撞振動系統(tǒng)相鄰運(yùn)動轉(zhuǎn)遷不可逆性形成了遲滯域.機(jī)械系統(tǒng)中摩擦力的存在會加劇零部件的老化并帶來噪音，在齒輪系統(tǒng)、轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行了動態(tài)特性分析［15-16］.

基于含摩擦碰撞振動系統(tǒng)動力學(xué)的復(fù)雜性，我們更要探究其分岔特征.本文通過數(shù)值仿真對單自由度摩擦碰撞振動系統(tǒng)進(jìn)行了動力學(xué)分析，討論了系統(tǒng)出現(xiàn)的兩類滑移運(yùn)動：滑移-粘滯運(yùn)動與純滑移運(yùn)動，分析了相鄰運(yùn)動轉(zhuǎn)遷的不可逆性，總結(jié)了相鄰基本周期運(yùn)動的轉(zhuǎn)遷規(guī)律，數(shù)值表明轉(zhuǎn)遷域內(nèi)存在多類型亞諧振動，為系統(tǒng)的參數(shù)優(yōu)化提供了科學(xué)的依據(jù).

1 單自由度分段光滑碰撞振動系統(tǒng)的動力學(xué)模型

圖1建立了一類含摩擦分段光滑的單自由度碰撞振動系統(tǒng)的力學(xué)模型，M1表示單自由度質(zhì)量塊的質(zhì)量，坐標(biāo)系的原點(diǎn)建立在系統(tǒng)的平衡位置，X1表示質(zhì)塊的位移，質(zhì)塊通過剛度系數(shù)為K1的線性彈簧、阻尼系數(shù)為C1線性阻尼器以及線性彈簧K0連接于左端支撐面，作用在M1質(zhì)塊上的簡諧激振力為P1sin（ΩT+τ），其中P1為激振力振幅，激振力的角頻率為 Ω，τ為相位角，單位分別為：N、rad／s、rad．如圖1所示，質(zhì)塊在皮帶輪上只做水平方向的運(yùn)動，相互作用的摩擦力系數(shù)用μ表示，此摩擦為一種干摩擦，皮帶輪的速度V大小方向恒定，且左右碰撞間隙相等．在外界力的作用下，質(zhì)塊M1開始運(yùn)動，當(dāng)激振力的振幅較小時(shí)，系統(tǒng)為單自由度線性振動系統(tǒng)，隨著激勵力不斷增大，質(zhì)塊的位移開始不斷變化，當(dāng)質(zhì)塊M1的位移X1大于等于間隙B（或小于等于間隙-B）時(shí)，質(zhì)塊M1將會與右（左）彈性約束面發(fā)生接觸碰撞，此時(shí)左固定端剛度系數(shù)為K0的線性彈簧對質(zhì)塊M1開始產(chǎn)生恢復(fù)力，彈簧K0將被拉伸（或者壓縮），質(zhì)塊M1以此瞬時(shí)速度（有可能與皮帶輪速度相等）在皮帶輪上水平運(yùn)動至到M1速度方向改變，又以新的初值開始運(yùn)動，運(yùn)動狀態(tài)如此反復(fù)．

圖1 動力學(xué)模型Fig．1 M echanical model

由圖1可知，質(zhì)塊M1運(yùn)動過程中包含的非線性因素有：碰撞間隙、左端恢復(fù)力、質(zhì)塊與皮帶輪間的摩擦力等．文中用F1表示簡諧激振力、阻尼力、線性彈簧的恢復(fù)力和與皮帶輪之間的摩擦力等合力，則示除摩擦力之外的其他合力，則F1′=sin（ωt+τ）-在，質(zhì)塊碰撞時(shí)運(yùn)動形式復(fù)雜多樣．當(dāng)質(zhì)塊M1的速度與皮帶輪的速度V相等且其所受的合外力F1′小于最大靜摩擦力Fmax時(shí)，質(zhì)塊將粘滯在皮帶輪上，即質(zhì)塊與皮帶輪成為一個整體，直至合外力F1′大于最大靜摩擦力Fmax，粘滯狀態(tài)結(jié)束，質(zhì)塊以V為初速度重新開始滑移．文章研究質(zhì)塊在任意連續(xù)兩次碰撞階段內(nèi)的運(yùn)動形式，為分析方便，用·X1-和X·1+分別表示質(zhì)塊M1碰撞前后瞬時(shí)速度，由系統(tǒng)可知X·1+=0．由于非線性因素摩擦力的存在，系統(tǒng)出現(xiàn)純滑移和滑移—粘滯兩種運(yùn)動狀態(tài)，振動特性在這兩者運(yùn)動間轉(zhuǎn)換．

本文引入無量綱變量和參數(shù)，如下所示：

由此可得圖1的無量綱運(yùn)動微分方程為：

線性彈簧對其產(chǎn)生的恢復(fù)力：

作用在質(zhì)塊M1上的摩擦力：

通過無量綱化可確定部分參數(shù)的取值范圍：μk0∈（0，1），v∈ （0，1），μ∈ （0，1）．前文所述中當(dāng)質(zhì)塊 M1滿足條件粘滯于傳動帶，稱此時(shí)系統(tǒng)處于滑移-粘滯狀態(tài)，振動系統(tǒng)運(yùn)動方程變?yōu)椋骸1+2ζ˙x1+x1+f（x1）=sin（ωt+τ）之相對的運(yùn)動狀態(tài)稱為純滑移．文中用n-p-q來表示系統(tǒng)的振動沖擊特性，n表示系統(tǒng)振動周期Tn=2nπ／ω與外激勵力周期T0=2π／ω的比值，（n=1，2，3，…），q和 p分別表示質(zhì)塊M1與左右約束的沖擊次數(shù)．如圖1所示，該系統(tǒng)中存在的非線性因素都具有對稱性，但由于皮帶具有向右恒定運(yùn)動的情況，導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)了左右碰撞次數(shù)不相等或者沖擊速度不等的非對稱運(yùn)動n-p-q和n--p-q，其n--p-q表示此時(shí)質(zhì)塊粘滯于皮帶輪上，速度恒定．為了表明該系統(tǒng)動力學(xué)特征，本文建立了兩種不同Poincaré截面以更好計(jì)算碰撞次數(shù)和周期，Poincaré截面分別為：

映射σp上的分岔支數(shù)即質(zhì)塊M1與約束兩側(cè)的碰撞次數(shù)，映射σn可確定不同運(yùn)動的循環(huán)次數(shù)即周期數(shù)n．根據(jù)龐加萊截面求解該系統(tǒng)發(fā)生碰撞時(shí)的擾動映射，以確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性．周期運(yùn)動的擾動映射為X′=f～（ν，X），其中X∈R2，ν∈R1，ν是一個系統(tǒng)實(shí)際參數(shù)，X=（x2，˙x1+，t）T，X′=（x′2，˙x′1+，τ′）T．

1-p-q周期運(yùn)動的擾動映射可表示為：X（i+1）0=ΔX（i）0，其中X*的擾動向量Δx（i）0=（Δ˙x（i）1+，Δτ（i））T，Δx（i+1）0=（Δ˙x（i+1）1+，Δτ（i+1））T，Poincaré截面σp上運(yùn)動的不動點(diǎn)是X*0=（˙x′1+，τ′0）T，把系統(tǒng)初始條件˙x1（0）=˙x1（2nπ／ω）=˙x1+和碰撞時(shí)的條件x1（te）=x1（2nπ／ω）=δ代入碰撞振動運(yùn)動方程（2）可得t=0時(shí)刻周期n=1的擾動方程．

2 單自由度分段光滑碰撞振動系統(tǒng)的動力學(xué)分析

2．1 純滑移運(yùn)動與滑移—黏滯運(yùn)動轉(zhuǎn)遷分析

確定系統(tǒng)的基準(zhǔn)無量綱參數(shù) μk0=0．96，ζ=0．1，fμ=0．1，ν=0．1，δ=0．3，研究系統(tǒng)動力學(xué)特性．以激振頻率ω作為系統(tǒng)的控制參數(shù)，從圖2的全局分岔圖中可以讀出本參數(shù)域出現(xiàn)了兩類不同滑移運(yùn)動，并且觀察到兩類運(yùn)動的轉(zhuǎn)遷現(xiàn)象，滑移-黏滯運(yùn)動以n--p-q標(biāo)識，出現(xiàn)在 ω∈［0．061 5，0．3］區(qū)間，符號n-pq表示純滑移運(yùn)動，出現(xiàn)在ω=0．061 5的左側(cè)區(qū)域．整個參數(shù)域中兩類不同滑移運(yùn)動呈波浪狀前進(jìn)，由圖發(fā)現(xiàn)右沖擊次數(shù)大于左沖擊次數(shù)．縱坐標(biāo)表示其沖擊速度，質(zhì)塊對右碰撞面的沖擊速度相對左碰撞面較小，發(fā)生的是不對稱的滑移-黏滯運(yùn)動，左右碰撞面的沖擊程度和速度都不盡相同，圖3所示的相圖可以觀察到．

隨著頻率ω的遞減，滑移-黏滯運(yùn)動1--3-4連續(xù)兩次穿過鞍結(jié)分岔線轉(zhuǎn)遷到1--2-3運(yùn)動中，系統(tǒng)相互交替發(fā)生鞍結(jié)分岔與Grazing分岔使得滑移-粘滯運(yùn)動一直持續(xù)至1--3-3運(yùn)動，從圖2中可以看出，在1--3-4與1--2-3運(yùn)動間出現(xiàn)了占有范圍很窄的純滑移1-3-3運(yùn)動，盡管此時(shí)質(zhì)塊M1滿足粘滯皮帶輪的條件，但外激勵力隨頻率的變化而變化使質(zhì)塊左右發(fā)生碰撞，偶爾脫離粘滯狀態(tài)．1--pq（p＜q）運(yùn)動占據(jù)參數(shù)域較寬，定義一個激勵力周期內(nèi)滑移-粘滯運(yùn)動第p、q碰撞序列為m（m=0，1，2，…，m ＜q），碰撞序列 m越大，即第 p、q次沖擊約束面的速度越接近零，振幅越?。?--3-2運(yùn)動以近似于零的速度與接觸面發(fā)生碰撞，此時(shí)F′1仍然小于最大靜摩擦力Fmax，合力方向不變，質(zhì)塊繼續(xù)粘滯與皮帶輪，在激勵力和彈簧恢復(fù)力的作用下迅速發(fā)生Grazing分岔出現(xiàn)1--3-3運(yùn)動，1--3-2運(yùn)動的參數(shù)域很狹窄，如圖2（a）所示．1--3-3的第m次碰撞序以沖擊速度不為零發(fā)生Rising分岔進(jìn)入到同周期相同碰撞次數(shù)的純滑移1-3-3運(yùn)動中，此時(shí)合外力方向改變，質(zhì)塊不再粘滯與皮帶輪，以皮帶輪運(yùn)行速度為初始速度開始純滑移運(yùn)動．轉(zhuǎn)遷規(guī)律如下：

式中GB表示Real-Grazing分岔，SNB表示鞍結(jié)分岔，RB表示Rising分岔．

其中SB表示Sliding分岔．在1--p-p與1--p-（p+1）運(yùn)動轉(zhuǎn)遷過程中遇到1--p-p運(yùn)動時(shí)，分岔不會結(jié)束，直至作用在質(zhì)塊上的合外力方向改變．

圖2（b）保持基準(zhǔn)參數(shù)不變，增大碰撞間隙至δ=1．05的同頻段下滑移-粘滯運(yùn)動與純滑移運(yùn)動相互轉(zhuǎn)變的分岔圖，由圖可以得出增大間隙，質(zhì)塊所受合外力使得其左側(cè)不被沖擊，即碰撞次數(shù)為零，這樣可有效避免噪音與沖擊帶來的危害．粘滯區(qū)間減小，分布在ω∈［0．1，0．3］．此類型1--p-0運(yùn)動的轉(zhuǎn)遷規(guī)律符合式（6）、（7），相鄰運(yùn)動的轉(zhuǎn)遷具有不可逆性．沖擊次數(shù)減小，系統(tǒng)運(yùn)動形式單一，相鄰運(yùn)動多以發(fā)生擦切分岔為主，并且沖擊速度波動幅度相對圖2（a）明顯的降低．由于線性彈簧力的存在，低頻下碰撞次數(shù)減小，但系統(tǒng)以不發(fā)生1-0-0運(yùn)動而結(jié)束分岔．質(zhì)塊M1最終以速度為零離開一側(cè)約束面，在反向外力F1′的作用下質(zhì)塊進(jìn)行下一個周期的運(yùn)動．圖3描述了δ=0．3時(shí)滑移—粘滯運(yùn)動與純滑移運(yùn)動的轉(zhuǎn)遷過程以及相鄰運(yùn)動的擦切過程，從圖中可以得出低頻下由于不斷壓縮線性彈簧出現(xiàn)了簇發(fā)碰撞振動模式，粘滯-碰撞序列越大，第p、q次沖擊速度越?。?/p>

圖3 δ＝0．3時(shí)滑移—粘滯運(yùn)動相圖Fig．3 The the phase diagram of slid-sticky motion atδ＝0．3

2.2 碰撞振動系統(tǒng)的基本周期運(yùn)動及分岔特性

保持基本參數(shù)不變，取碰撞間隙δ=0.36，從圖4中可以看出隨著激振頻率的增大，基本周期運(yùn)動1-3-3向相鄰1-2-2運(yùn)動轉(zhuǎn)變時(shí)發(fā)生的一系列倍化分岔、鞍結(jié)分岔、虛擦切分岔、叉式分岔等，眾多分岔使得相鄰運(yùn)動間出現(xiàn)豐富多樣的亞諧運(yùn)動，相鄰運(yùn)動圍成的區(qū)域在二維參數(shù)平面中稱舌形域，由單參數(shù)分岔圖4可知，該舌形域由1--3-2運(yùn)動的周期倍化分岔線PD1--3-2和1-2-2運(yùn)動的擦切分岔線G1-2-2圍成.非對稱的1-3-3運(yùn)動經(jīng)Pitch分岔進(jìn)入到對稱的1-3-3運(yùn)動，如圖4所示，對稱1-3-3運(yùn)動穿越SN1-3-3線嵌入到短暫的1-3-2運(yùn)動，此時(shí)1-3-2運(yùn)動是純滑移運(yùn)動與滑移-粘滯運(yùn)動過渡區(qū).隨頻率的增大，1-3-2運(yùn)動發(fā)生Sliding分岔進(jìn)入范圍較寬的1--3-2運(yùn)動窗口中，此時(shí)質(zhì)塊與皮帶出現(xiàn)了不穩(wěn)定的其他周期亞諧運(yùn)動，如2--5-4、3--7-6運(yùn)動，亞諧運(yùn)動不斷經(jīng)過Bare-Grazing和周期倍化分岔使得系統(tǒng)出現(xiàn)長周期運(yùn)動或混沌.此時(shí)約束面呈現(xiàn)無規(guī)律碰撞，滑移粘滯運(yùn)動加劇了質(zhì)塊與皮帶輪的磨損，隨著作用在質(zhì)塊M1上合外力的變化，混沌和長周期運(yùn)動最終以逆倍化周期分岔和鞍結(jié)分岔脫離出來，隨后進(jìn)入到與純滑移1-3-2運(yùn)動中，Sliding分岔的相反過程是Rising分岔，即從粘滯狀態(tài)脫離到基本周期運(yùn)動的分岔稱為Rising分岔，1-3-2運(yùn)動穿越SN1-3-2進(jìn)入到穩(wěn)定的1-2-2運(yùn)動中.圖5描述了質(zhì)塊粘滯—滑移期間從單周期運(yùn)動轉(zhuǎn)變到混沌之中的相圖Poincaré映射圖.從分岔圖和相圖中可以總結(jié)出該模型基本周期振動1-2-2與1-3-3的轉(zhuǎn)遷規(guī)律如下：

圖4 間隙δ＝0．36時(shí)系統(tǒng)的分岔圖Fig．4 The bifurcation diagram at the gap ofδ＝0．36

圖5 間隙δ＝0．36時(shí)系統(tǒng)的相圖和龐加萊映射圖Fig．5 Phase portraits and Poincarém aps of the system at the gap ofδ＝0．36

其中Gb表示Bare-Grazing分岔，GB表示Real-Grazing分岔，PD表示周期倍化分岔，Sliding分岔用SB表示，RB表示Rising分岔，SNB表示鞍結(jié)分岔.

3 結(jié)論

本文研究了一類含摩擦單自由度分段光滑碰撞振動系統(tǒng)低頻域兩類不同滑移運(yùn)動相互轉(zhuǎn)遷規(guī)律，分析了相鄰基本周期振動轉(zhuǎn)變的不可逆性以及亞諧運(yùn)動存在的多樣性，給出了1-p-p與1-（p-1）-（p-1）運(yùn)動的變化規(guī)律.

1）該碰撞振動系統(tǒng)呈現(xiàn)出分段光滑非線性振動特征，滑移-粘滯運(yùn)動與純滑移運(yùn)動持續(xù)交替出現(xiàn)在低頻率和小間隙區(qū).高頻段，由于線性彈簧恢復(fù)力的存在，使得兩類不同的滑移運(yùn)動呈波浪狀前進(jìn)，質(zhì)塊以變化的速度與左右接觸面發(fā)生碰撞且碰撞次數(shù)不等，粘滯于皮帶輪時(shí)間不等.系統(tǒng)以擦切分岔、鞍結(jié)分岔、Rising分岔或Sliding分岔為主.當(dāng)激振頻率較小時(shí)，外激勵力較小，系統(tǒng)以單周期運(yùn)動為主，碰撞次數(shù)不發(fā)生變化，系統(tǒng)僅發(fā)生Rising分岔從1--p-p進(jìn)入到對應(yīng)的1-p-p運(yùn)動中，最終以純滑移運(yùn)動結(jié)束碰撞過程.

2）相鄰基本周期振動1-p-p與1-（p-1）-（p-1）運(yùn)動轉(zhuǎn)遷具有不可逆性．隨頻率的增大，1-p-p與1-（p-1）-（p-1）兩條運(yùn)動邊界線包絡(luò)了一系列奇異點(diǎn)，奇異點(diǎn)包羅的區(qū)域成為舌形域，域內(nèi)出現(xiàn)形如2--（2p+1）-2p、3--3p-（3p-1）、4--（4p+1）-4p等亞諧運(yùn)動．1-p-p運(yùn)動通過鞍結(jié)分岔、Sliding分岔進(jìn)入到多周期滑移—粘滯亞諧運(yùn)動中.當(dāng)頻率減小時(shí)，長周期、混沌運(yùn)動發(fā)生逆倍化周期分岔、鞍結(jié)分岔脫離到的純滑移1-（p-1）-（p-1）運(yùn)動中的兩者變化規(guī)律相反，但是相互運(yùn)動轉(zhuǎn)遷不可逆.

3）低頻域內(nèi)的彈性碰撞振動系統(tǒng)在外界間歇激振力和線性彈簧恢復(fù)力的耦合作用下出現(xiàn)簇發(fā)碰撞振動模式.