舉個例子講完一類運(yùn)算
——分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算一致性例談

文|杜蓉

度量觸及數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是貫通數(shù)量關(guān)系和空間形式的橋梁，它是人類認(rèn)識、理解和表達(dá)現(xiàn)實世界的重要工具。量感作為度量的核心，其重點是培育學(xué)生對于事物可測屬性進(jìn)行定量感知的基本能力。在量感培養(yǎng)過程中，如何從度量角度解讀數(shù)的運(yùn)算中的法理一致性成為當(dāng)前教學(xué)的一個難點?，F(xiàn)以分?jǐn)?shù)除法的教學(xué)為例說明。

在度量視野下，分?jǐn)?shù)除法的算理和算法都與整數(shù)一樣，都可以看作“計數(shù)單位個數(shù)”的累加或細(xì)分。不過，學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算時，出現(xiàn)這么一個現(xiàn)象：計算出“6÷”的得數(shù)很容易，但說明其算理卻不盡如人意。

首先，從教材看。現(xiàn)有教材例題較多，算理表征復(fù)雜，使學(xué)生對運(yùn)算意義表述不清。

其次，從教師看。對算理認(rèn)識不夠，方法缺少統(tǒng)一，使學(xué)生對運(yùn)算的算理掌握不了。

第三，從學(xué)生看。分?jǐn)?shù)內(nèi)涵豐富，運(yùn)算較為抽象，學(xué)生對運(yùn)算認(rèn)識和理解不充分，導(dǎo)致算理不清算法混亂。

最后，從2022 版前課程標(biāo)準(zhǔn)看。度量意識重視不夠，運(yùn)算意義把握不足，導(dǎo)致“加減乘除有各自的算理，整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)運(yùn)算有各自的算法”。

如何避免這一現(xiàn)狀出現(xiàn)呢？

一、抓住度量本質(zhì)，理解運(yùn)算標(biāo)準(zhǔn)的一致性

度量的本質(zhì)就是度量數(shù)量的多與少。當(dāng)度量的次數(shù)、維度或者群落不止一個時，就產(chǎn)生了量值運(yùn)算。比如，先數(shù)出張家80 只羊，接著數(shù)出李家120 只羊。這時，要算總數(shù)就需要再計算一次，相當(dāng)于再度量一次，也就是接著數(shù)或者從頭數(shù)。這樣，度量和運(yùn)算的關(guān)系，就變成了干一件事兒的不同階段了。

以前人們一直認(rèn)為度量只是個幾何學(xué)概念。隨著對度量本質(zhì)的理解，我們才知道度量是連接數(shù)和形的紐帶。它可分為兩類，一類是借助工具得到度量結(jié)果，另一類是通過思考得到度量結(jié)果。數(shù)的運(yùn)算就是用數(shù)學(xué)思考進(jìn)行度量。史寧中教授說：“所有的運(yùn)算都可以還原成計數(shù)單位和計數(shù)單位個數(shù)的運(yùn)算?！边@就說明度量的本質(zhì)決定了運(yùn)算的意義。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》指出：“量感主要是指對事物的可測量屬性及大小關(guān)系的直觀感知。知道度量的意義，能夠理解統(tǒng)一度量單位的必要性；會針對真實情境選擇合適的度量單位進(jìn)行度量，會在同一度量方法下進(jìn)行不同單位的換算?！薄斑\(yùn)算能力主要是指根據(jù)法則和運(yùn)算律進(jìn)行正確運(yùn)算的能力。能夠明晰運(yùn)算的對象和意義，理解算法和算理之間的關(guān)系；能夠理解運(yùn)算的問題，選擇合理簡潔的運(yùn)算策略解決問題?！睂啥蚊枋鲞B起來看，就能理解運(yùn)算的一致性，是基于度量標(biāo)準(zhǔn)和度量本質(zhì)而言的一致性。

二、抓住除法意義，把握運(yùn)算本質(zhì)的一致性

1.把握除法類型。

從編者意圖看，這些例子包含了分?jǐn)?shù)除法的不同類型。比如除數(shù)是整數(shù)（①②），除數(shù)是分?jǐn)?shù)（③④⑤），除數(shù)是分率（①②⑤），除數(shù)是數(shù)量（③）。還有被除數(shù)是分?jǐn)?shù)，除數(shù)是整數(shù)的例子。還能細(xì)分出分子與除數(shù)成整數(shù)倍數(shù)和分子與除數(shù)不成整數(shù)倍數(shù)的。

學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法需要這么多例子嗎？根據(jù)史寧中、鞏子坤等人對運(yùn)算一致性的理解：“所有的運(yùn)算都可以還原為加法”“所有的數(shù)都基于計數(shù)單位建構(gòu)”。我們認(rèn)為，分?jǐn)?shù)除法可以像整數(shù)除法那樣，也用兩類例子（如圖1）。

圖1 兩類整數(shù)除法

第一類例子代表等分除，見圖1 中的例1；第二類例子代表包含除，見圖1 中的例子2。

兩個例子舉完，接下來要做的事就像圖1 中的例3 那樣，將兩類例子進(jìn)行比較，便于學(xué)生歸納和總結(jié)。因此，基于運(yùn)算本質(zhì)的一致性，學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法就用兩個例子，一個等分除求數(shù)量，另一個包含除求分率。至于相除的時候，被除數(shù)是否為分?jǐn)?shù)，除數(shù)是否為分?jǐn)?shù)，我們都在這兩類的基礎(chǔ)上，進(jìn)行數(shù)的變換。這樣，分?jǐn)?shù)除法內(nèi)容經(jīng)過一番瘦身，減去相似與重復(fù)的，重在類型之間的區(qū)別與聯(lián)系，突出分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算的本質(zhì)。

關(guān)于除法的類型，也可以從乘除互逆關(guān)系進(jìn)行思考。根據(jù)乘法模型a×n=b（n 為計數(shù)單位個數(shù)或頻數(shù)）得到兩個除法模型，即b÷a=n 和b÷n=a。這兩個模型就是整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算的統(tǒng)一模型，只是運(yùn)算時a、n、b 可以為不同的數(shù)而已。

2.把握除法意義。

圖2

圖3

這里需要強(qiáng)調(diào)的是，無論是整數(shù)除法還是分?jǐn)?shù)除法，在表示乘法和除法的意義時，都要考慮到除法情境中每個數(shù)的具體意義，正確判斷這個數(shù)到底表示計數(shù)單位，還是表示計數(shù)單位的個數(shù)。然后按照該情境對應(yīng)的除法類型進(jìn)行解釋。如果是沒有具體情境的算式，就要從除數(shù)是分率和除數(shù)是數(shù)量兩個方面分別闡述。

三、抓住計數(shù)單位，突出運(yùn)算方法的一致性

1.確定計數(shù)單位和計數(shù)單位的個數(shù)。

基于分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算一致性，在理解分?jǐn)?shù)除法的算理和算法時，最關(guān)鍵的一步是確定計數(shù)單位和計數(shù)單位的個數(shù)。

【情境1】你有6 張餅，如果邀請小朋友一起品嘗，每個小朋友分張餅，可以分給幾個小朋友？

學(xué)生理解題意后，列出算式，展開討論。首先確定計數(shù)單位，1是所有數(shù)的基本單位，因此分?jǐn)?shù)計算就從單位“1”開始思考。

根據(jù)乘法結(jié)合律，用算式表征：

根據(jù)分?jǐn)?shù)意義用語言表征：1里面1 個1，1 細(xì)分3 次得到3個。6 里面就有18個。將其再繼續(xù)每2個為一份度量，可以分9 份。所以=9（個）。

根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義用算式表征是：

由此可見，無論哪種算法，我們都是先確定計數(shù)單位，也就是度量的標(biāo)準(zhǔn)，再按照這樣的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行度量。并且，如果是二維度量或者多維度量，運(yùn)算時就會產(chǎn)生新的計數(shù)單位。新的計數(shù)單位產(chǎn)生后，必須再按照同樣的方法進(jìn)行度量，就可以得到運(yùn)算的結(jié)果。

2.區(qū)分計數(shù)單位是累加還是細(xì)分。

在上面的算理解釋中，我們發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象。分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算時，一會兒是計數(shù)單位累加，一會兒是計數(shù)單位細(xì)分。到底怎樣區(qū)分是累加還是細(xì)分呢？

將除法還原成乘法進(jìn)行思考。根據(jù)a×n=b（a 為計數(shù)單位，n 為計數(shù)單位個數(shù)），這里的n 可以是整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)。那么，計數(shù)單位乘n 就會出現(xiàn)三種情況，即n=1，n＞1和n＜1。當(dāng)n=1，計數(shù)單位不變；當(dāng)n大于1，就是計數(shù)單位在累加；n＜1時，即計數(shù)單位在細(xì)分。需要指出的是，如果n 是一個分?jǐn)?shù)如時，計數(shù)單位就會進(jìn)行二維度量。即先將“1”細(xì)分m 份再累加c 次。如，表示計數(shù)單位“1”細(xì)分成3 份再累加2 次；n=表示計數(shù)單位“1”先細(xì)分3 份，再按照新的計數(shù)單位累加4 次。

所以講述算理時，要先確定計數(shù)單位，再確定計數(shù)單位的個數(shù)。然后，根據(jù)計數(shù)單位的個數(shù)與1 的大小關(guān)系來判斷是累加還是細(xì)分。

實際教學(xué)中，要學(xué)生判斷分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算是否累加和細(xì)分如果有困難，可以把除法還原成乘法，根據(jù)乘除互逆的特點進(jìn)行推理。

總之，基于運(yùn)算一致性，所有的運(yùn)算都可以看成是計數(shù)單位個數(shù)的運(yùn)算。相信，通過對運(yùn)算一致性的理解，學(xué)生會覺得分?jǐn)?shù)除法的運(yùn)算也不再困難和無趣。