培育模型意識(shí)核心素養(yǎng)的教學(xué)研究

張 昆

(淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 安徽 淮北 235000)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡(jiǎn)稱“課程標(biāo)準(zhǔn)”)結(jié)合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》，提出的6項(xiàng)具體的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，再依據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》提出的10個(gè)關(guān)鍵性“核心詞”，抽繹出了15項(xiàng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要素作為義務(wù)教育數(shù)學(xué)學(xué)科的課程目標(biāo)，“模型意識(shí)”要素被列為其中的第12項(xiàng)[1]。為了探究“模型意識(shí)”這項(xiàng)核心素養(yǎng)要素的內(nèi)涵、實(shí)用價(jià)值與教育教學(xué)價(jià)值，宜于從“課程標(biāo)準(zhǔn)”中的“模型意識(shí)”課程目標(biāo)概念內(nèi)涵說起。

一、“課程標(biāo)準(zhǔn)”中“模型意識(shí)”核心素養(yǎng)內(nèi)涵及其教育教學(xué)價(jià)值

“課程標(biāo)準(zhǔn)”字斟句酌，將模型意識(shí)這項(xiàng)核心素養(yǎng)描述成，“模型意識(shí)主要是指對(duì)數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟。知道數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑。能夠認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中大量的問題都與數(shù)學(xué)有關(guān)，有意識(shí)地用數(shù)學(xué)的概念與方法予以解釋。模型意識(shí)有助于開展跨學(xué)科的綜合實(shí)踐活動(dòng)，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，是形成模型觀念的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)?！盵2]在這段文字中，將“模型意識(shí)”界定為“對(duì)于數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟”，就是說，將“意識(shí)”解釋為某種程度上的“感悟”，對(duì)于人們理解“模型意識(shí)”核心素養(yǎng)概念幫助不太大，因?yàn)椤案形颉边€是一個(gè)比較模糊的概念。那么，關(guān)于模型意識(shí)核心素養(yǎng)究竟具有怎樣的內(nèi)涵呢？

微生物農(nóng)藥是近幾年在生物科技的推動(dòng)下，將化學(xué)防治技術(shù)與生物防治技術(shù)結(jié)合起來的一種病蟲害防治技術(shù)。微生物農(nóng)藥是指將能夠殺死病蟲害的微生物細(xì)菌、病毒等添加到農(nóng)藥中，代替農(nóng)藥中的化學(xué)成分。這樣既能夠起到保護(hù)環(huán)境的作用，還能有針對(duì)性地殺死油菜的病蟲害，且該防治技術(shù)快速有效。但是該防治技術(shù)使用成本比較高，對(duì)微生物的研究利用還不是很充分，需要根據(jù)病蟲害的變化，進(jìn)一步加大研究力度，推廣微生物農(nóng)藥防治技術(shù)［4］。

從語法上講，“模型意識(shí)”概念是一種偏正結(jié)構(gòu)，其中的“意識(shí)”是中心詞，而“模型”是限制詞。筆者通過仔細(xì)思考與分析認(rèn)識(shí)到，“意識(shí)”概念在這里的內(nèi)涵具有“警醒”(警醒學(xué)習(xí)主體盡可能地選擇構(gòu)建與使用“模型”這一工具探究與解決數(shù)學(xué)問題)的意思，指的是一種心理準(zhǔn)備狀態(tài)[3]。因此，模型意識(shí)這個(gè)概念指的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的主體在心理上，時(shí)刻準(zhǔn)備著構(gòu)造數(shù)學(xué)模型或運(yùn)用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)模型的一種心理準(zhǔn)備狀態(tài)，即在面臨與數(shù)量關(guān)系或空間形式的相關(guān)問題時(shí)，對(duì)于數(shù)學(xué)模型招之能來、來之能用的一種心理準(zhǔn)備狀態(tài)；如果在解題主體的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)中，目前還不存在適應(yīng)問題特點(diǎn)的具體數(shù)學(xué)模型時(shí)，首先，通過分析面臨問題的信息特點(diǎn)在現(xiàn)場(chǎng)中即興地構(gòu)造出數(shù)學(xué)模型，然后，及時(shí)進(jìn)行應(yīng)用這種數(shù)學(xué)模型解決問題的心理準(zhǔn)備狀態(tài)。

面臨具有具體特點(diǎn)的信息所組成的與數(shù)量關(guān)系或空間形式有關(guān)的問題，通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決這個(gè)問題，這個(gè)數(shù)學(xué)模型就構(gòu)成了數(shù)學(xué)知識(shí)。就是說，一個(gè)數(shù)學(xué)概念(特別是統(tǒng)攝性的數(shù)學(xué)概念)、一個(gè)數(shù)學(xué)公式、一個(gè)數(shù)學(xué)定理等，都是一個(gè)數(shù)學(xué)模型，曾經(jīng)也都是為了解決具有某種特點(diǎn)的數(shù)學(xué)問題而構(gòu)造出來的，最后由于數(shù)學(xué)模型應(yīng)用的廣泛性，而成為一代一代新人的學(xué)習(xí)素材。

注：之所以以生2提供的比較這兩種“糖水”含糖量的方法為參考，是由于歷史上所形成的文化規(guī)范制約，其實(shí)，生1所構(gòu)想的方法，也照樣可以解決這道題，而且顯得更為簡(jiǎn)單。但是，從生1提供的方法中抽象出的公式，其應(yīng)用范圍沒有生2這個(gè)公式廣泛且更具有普適性，因此，生2這個(gè)公式更具有基礎(chǔ)性與應(yīng)用性。

數(shù)學(xué)知識(shí)是作為一個(gè)有價(jià)值的工具性框架，為解決現(xiàn)實(shí)世界中所出現(xiàn)的與數(shù)量關(guān)系或空間形式相關(guān)的問題服務(wù)的。把現(xiàn)實(shí)世界信息中涵蘊(yùn)的數(shù)量關(guān)系或空間形式的問題稱為現(xiàn)實(shí)原型，為了解決現(xiàn)實(shí)生活中與數(shù)量關(guān)系或空間形式有關(guān)的問題而構(gòu)造出來的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)形式稱為數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型其實(shí)具有一般性或抽象性，由于生活中存在許多與數(shù)量關(guān)系或空間形式相關(guān)問題的信息(特別是即使信息表象上具有差異)的相似性，一個(gè)具體的數(shù)學(xué)模型往往能夠解決一類問題，從而具有普適性特點(diǎn)，從表面上考察，有些問題之間可能相差甚遠(yuǎn)。

因此，分析培育“模型意識(shí)”核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施這個(gè)主題所得到了結(jié)論，能夠認(rèn)識(shí)到，依據(jù)具體信息特點(diǎn)，選擇使用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)模型封裝信息解決問題，如果沒有現(xiàn)成的數(shù)學(xué)模型可供選擇，而必須依據(jù)信息特點(diǎn)，在解決問題的現(xiàn)場(chǎng)中即興地構(gòu)建出有效數(shù)學(xué)模型解決問題，這兩者都需要學(xué)習(xí)主體的創(chuàng)造性，這就構(gòu)成了培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性的優(yōu)質(zhì)課程資源，這也是“課程標(biāo)準(zhǔn)”將“模型意識(shí)”作為核心素養(yǎng)課程目標(biāo)的原因之所在。那么，在課堂教學(xué)中，如何培育學(xué)生的“模型意識(shí)”核心素養(yǎng)呢？

從表2中可以看出，控制終點(diǎn)酸度為20 g/L時(shí)，即可達(dá)到除氯的效果，當(dāng)提高終點(diǎn)酸度時(shí)，雖然除氯效果有所上升，但上升幅度較小，考慮到除氯段終點(diǎn)需要調(diào)節(jié)pH，宜選擇終點(diǎn)酸度為20 g/L即可。根據(jù)廢電解液的起始酸度，要控制終點(diǎn)酸度20 g/L左右，酸化時(shí)候控制液固比為4∶1即可達(dá)到終點(diǎn)酸度的要求。由于液固比較低，防止?jié){液黏稠，酸化時(shí)控制溫度60 ℃。酸化的條件為起始酸度140 g/L，終點(diǎn)酸度20 g/L，液固比4∶1，酸化過程溫度60 ℃。

二、培育“模型意識(shí)”核心素養(yǎng)教學(xué)設(shè)計(jì)中的兩個(gè)維度

一、安慶公司接地干線網(wǎng)位于汽機(jī)廠房南北兩側(cè)，呈長(zhǎng)方形布局，采用60*8mm熱鍍鋅扁鋼焊接而成，各個(gè)主建筑物均有分支接地網(wǎng)既獨(dú)立接地又與主干接地網(wǎng)可靠相連，水平接地體埋入深度大于0.8米，接地線（不含設(shè)備接地線）不得少于2點(diǎn)。

一方面，利用合適的數(shù)學(xué)教學(xué)素材，培育小學(xué)生的數(shù)學(xué)模型意識(shí)。小學(xué)生由于難以熟練地使用數(shù)學(xué)符號(hào)語言，培養(yǎng)“模型意識(shí)”核心素養(yǎng)更多地依靠母語語言，這就需要數(shù)學(xué)教師選擇合適的數(shù)學(xué)情境，從情境中鼓勵(lì)學(xué)生意識(shí)到涵蘊(yùn)于其中的與即將出現(xiàn)的數(shù)學(xué)模型相關(guān)的問題，并設(shè)法幫助學(xué)生使用他們自己的語言表述問題，在明確具體問題的內(nèi)涵以后，探究解決問題的思路過程，對(duì)于那些新穎的問題或者創(chuàng)造性的解題方法，就是構(gòu)成數(shù)學(xué)模型的有價(jià)值素材，啟發(fā)學(xué)生從問題及其創(chuàng)造性解答過程中抽象出數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)構(gòu)成了數(shù)學(xué)模型意識(shí)的一個(gè)維度。

另一方面，使用數(shù)學(xué)模型以解決某一類數(shù)學(xué)問題構(gòu)建工具性框架，因此，適合模型的數(shù)學(xué)問題就可以使用這個(gè)框架解決之，這就是數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用，在這里，特別需要注意的是，有的問題解題思路需要使用的數(shù)學(xué)模型與問題提供的信息形式往往相距甚遠(yuǎn)，這就需要培養(yǎng)學(xué)生對(duì)于具體問題信息的意義轉(zhuǎn)化過程，信息是死的，但是，賦予信息以意義的解題主體的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)卻是活的，問題本質(zhì)是依據(jù)解題主體已經(jīng)掌握了的數(shù)學(xué)格局為基礎(chǔ)的，是數(shù)學(xué)格局賦予了問題的具體信息以具體意義(后文中的例2清楚地說明這一點(diǎn))。有時(shí)，數(shù)學(xué)問題的具體表征或特點(diǎn)，似乎與某種數(shù)學(xué)模型沒有表面上的必然的聯(lián)系，但是卻存在著相同的本質(zhì)。這種數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)與某個(gè)具體數(shù)學(xué)模型本質(zhì)之間的聯(lián)系是應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的重要途徑，因此，數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用也構(gòu)成了數(shù)學(xué)模型意識(shí)的另一個(gè)維度。

在數(shù)學(xué)模型意識(shí)的這兩種不同的維度中，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的意識(shí)是應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的意識(shí)的基礎(chǔ)，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的意識(shí)對(duì)于構(gòu)造數(shù)學(xué)模型具有促進(jìn)作用。因此，其一，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)模型意識(shí)核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施中，數(shù)學(xué)教師要將主要精力集中到培養(yǎng)學(xué)生建構(gòu)具體的數(shù)學(xué)模型上去，其關(guān)鍵點(diǎn)就在于選擇合適的問題情境，從而刺激學(xué)生從問題情境中發(fā)現(xiàn)具體的問題；其二，數(shù)學(xué)教師也要充分注意，鼓勵(lì)學(xué)生將自己已經(jīng)建構(gòu)起來的數(shù)學(xué)模型運(yùn)用于新的問題中去。

三、鼓勵(lì)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型及其應(yīng)用的教學(xué)示例

在教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施中，如何培育學(xué)生“模型意識(shí)”核心素養(yǎng)，從理論上分析出了三個(gè)環(huán)節(jié)：其一，根據(jù)模型特點(diǎn)選擇相關(guān)的情境素材；其二，啟發(fā)學(xué)生從情境素材中，提出合適的問題，從而分析問題的結(jié)構(gòu)，據(jù)此結(jié)構(gòu)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，使用模型解決問題，這個(gè)模型便作為數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)入公庫(kù)；其三，通過教學(xué)設(shè)計(jì)有目的、有預(yù)設(shè)地運(yùn)用這個(gè)具體的數(shù)學(xué)模型解決新的問題，從而拓展具體數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用范圍。這里以基于“濃度”概念建立數(shù)學(xué)模型的一個(gè)例子加以必要說明。

商鞅變法是我國(guó)歷史上較為徹底、較為成功的改革，實(shí)現(xiàn)其最初提出的富國(guó)強(qiáng)兵的目標(biāo)，為此后秦國(guó)滅亡六國(guó)、統(tǒng)一中國(guó)奠定了基礎(chǔ)。如上所述，商鞅變法中大部分內(nèi)容涉及財(cái)政改革，從財(cái)政角度分析研究商鞅變法，汲取其變法的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，對(duì)當(dāng)前深化財(cái)政改革具有現(xiàn)實(shí)意義。

(一)設(shè)置情境構(gòu)建濃度概念的公式模型

對(duì)于培育學(xué)生“模型意識(shí)”核心素養(yǎng)教學(xué)目標(biāo)而言，一個(gè)合適的情境是非常重要的。合適情境的特點(diǎn)在于：其一，簡(jiǎn)單性，這是相對(duì)于學(xué)生來說的，情境信息應(yīng)該依靠學(xué)生自己的生活背景，容易理解的較為簡(jiǎn)單的問題；其二，基礎(chǔ)性，雖然簡(jiǎn)單但確是構(gòu)建或運(yùn)用數(shù)學(xué)模型所必不可少的問題；其三，問題性，所設(shè)置的情境確是需要經(jīng)由構(gòu)建合適數(shù)學(xué)模型才能解決，而不是一眼就可以看穿的情境，這才具有問題性。

教師出示情境信息：將15克蔗糖放入85克水中與將20克糖放入100克水中，哪種糖水較甜？

師：“將15克蔗糖放入85克水”記為“糖水1”，“將20克糖放入100克水”記為“糖水2”，那么是“糖水1”較甜，還是“糖水2”較甜呢？

師：大家還有其他的解法嗎？

從“模型意識(shí)”核心素養(yǎng)的內(nèi)涵與上述的分析結(jié)論中認(rèn)識(shí)到，“模型意識(shí)”體現(xiàn)于兩方面：一是構(gòu)建模型，指的是在沒有現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)模型可以直接利用的情況下；二是已經(jīng)構(gòu)建出來的模型在新領(lǐng)域里的應(yīng)用。因此，培育學(xué)生的“模型意識(shí)”也就相應(yīng)地應(yīng)該分為兩方面：

數(shù)學(xué)模型的這種特點(diǎn)也涵蘊(yùn)著如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的心理途徑，那就是，數(shù)學(xué)教師尋找合適的教學(xué)素材信息，啟發(fā)學(xué)生從信息中萌生出具體的數(shù)學(xué)問題，為了解決數(shù)學(xué)問題，需要選擇具體的數(shù)學(xué)模型，如果選擇不出合適的數(shù)學(xué)模型，此時(shí)，就要啟發(fā)學(xué)生首先建構(gòu)出數(shù)學(xué)模型，再使用已經(jīng)建構(gòu)出的數(shù)學(xué)模型解決問題。因此，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型具有很重要的數(shù)學(xué)教育教學(xué)價(jià)值，這是數(shù)學(xué)教師必須要認(rèn)識(shí)到的。

(二)“濃度”公式模型在建構(gòu)新的數(shù)學(xué)模型中的一種應(yīng)用

例1 要配置濃度為20%的葡萄糖水溶液240克，需要濃度為10%的葡萄糖水溶液與濃度為40%的葡萄糖水溶液各多少克？

根據(jù)現(xiàn)有文獻(xiàn)的做法(史宇鵬和周黎安，2007[46]；劉修巖等，2017[47])，使用區(qū)域生產(chǎn)函數(shù)來研究特定區(qū)域因素對(duì)區(qū)域內(nèi)經(jīng)濟(jì)效率的影響是較好的方法，因此本文的實(shí)證模型設(shè)定為：

師：如何求解這道題？

易非應(yīng)聘到了風(fēng)城日?qǐng)?bào)，報(bào)社的工作她應(yīng)付得來，只是，記者們都不是善茬，關(guān)系并不好處理，而且，當(dāng)一名記者，和她當(dāng)建筑家的理想相去甚遠(yuǎn)。有時(shí)候易非從報(bào)社二十四樓的窗口看出去，看到都是綠樹藍(lán)天映襯的紅色屋頂，那一棟棟的房子，真像積木般小巧可愛。在建筑師眼里，房子就應(yīng)該是這種感覺吧？沒當(dāng)成建筑家，但站在報(bào)社大樓里，得到的也是一樣的感受。這是老天爺對(duì)我另一種方式的彌補(bǔ)嗎？

構(gòu)成全球定位系統(tǒng)的衛(wèi)星原本用在軍事領(lǐng)域。當(dāng)它們環(huán)繞地球飛行時(shí)，會(huì)發(fā)送它們的時(shí)間和位置，蘭德在報(bào)告中稱它們?yōu)椤疤諘r(shí)鐘”。GPS設(shè)備的信號(hào)至少來自4顆衛(wèi)星，因此在地球的任何地方都可以精確地定位設(shè)備所在的位置。

在保證各項(xiàng)安全交底工作的基礎(chǔ)上，項(xiàng)目部還需要加強(qiáng)對(duì)安全技術(shù)管理，做好相關(guān)技術(shù)安全措施。并且在此過程當(dāng)中，項(xiàng)目部需要嚴(yán)格執(zhí)行安全生產(chǎn)管理制度進(jìn)行開展相關(guān)作業(yè)。基于河道整治工程的特點(diǎn)，以及其存在的危險(xiǎn)點(diǎn)而言，加強(qiáng)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)較大的分項(xiàng)目工程進(jìn)行管理，同時(shí)制定出專項(xiàng)的安全生產(chǎn)方案。并組織相關(guān)人員針對(duì)工程的實(shí)際情況，對(duì)其所制定的方案進(jìn)行審核，對(duì)專項(xiàng)方案進(jìn)行可行性研究。此外，項(xiàng)目部還需要做好安全管理過程控制，實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)化管理的目標(biāo)。

生5：結(jié)果正確，容易檢驗(yàn)。主要計(jì)算混合前的兩種溶液所含葡萄糖的質(zhì)量之和與混合溶液的葡萄糖質(zhì)量是否相等。由于160×10%+80×40%=48(克)，而240×20%=48(克)，從而160×10%+80×40%=240×20%，從而得出公式①是正確的。

師：記需要“濃度為10%的葡萄糖水”為“葡萄糖水3”，需要“濃度為40%的葡萄糖水”為“葡萄糖水4”。大家仔細(xì)思考，看看要配置濃度為20%的葡萄糖水溶液240克，究竟需要“葡萄糖水3”多，還是需要“葡萄糖水4”多？

師：非常好。生3的假設(shè)對(duì)于探究這種問題的思路具有重要作用。那么，生3是如何萌生出這樣的假設(shè)的？這種假設(shè)對(duì)于解決這道題具有怎樣的啟示呢？

2011年版《全日制義務(wù)教育語文課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“語文課程是實(shí)踐性課程，應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生的語文實(shí)踐能力，而培養(yǎng)這種能力的主要途徑也應(yīng)是語文實(shí)踐?！薄皯?yīng)該讓學(xué)生多讀多寫，日積月累，在大量的語文實(shí)踐中體會(huì)、把握運(yùn)用語文的規(guī)律?！笨梢?，培養(yǎng)學(xué)生寫作能力應(yīng)通過大量實(shí)踐去達(dá)到目標(biāo)。

生3：我想假設(shè)“葡萄糖水4”的濃度為30%的話，那么需要“葡萄糖水3”與“葡萄糖水4”的質(zhì)量正好相等，即“葡萄糖水3”與“葡萄糖水4”都是120克。但是，由于實(shí)際上“葡萄糖水4”的濃度為40%，因此，如果也取120克的話，那么配置出來的葡萄糖水濃度就大于20%了。由此認(rèn)識(shí)到，需要“葡萄糖水3”的質(zhì)量應(yīng)該大于120克，需要“葡萄糖水4”的質(zhì)量應(yīng)該小于120克。……

師：生4所得到的解題結(jié)果正確嗎？如何檢驗(yàn)?zāi)兀?/p>

生：……(省略號(hào)表示學(xué)生思維的暫時(shí)中斷)

注：通過這種教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施活動(dòng)過程，首先，鼓勵(lì)學(xué)生探究構(gòu)建了公式①這個(gè)數(shù)學(xué)模型的心理過程；其次，運(yùn)用公式①這個(gè)模型獲得了解決這道題的答案；最后，運(yùn)用已經(jīng)定義的濃度概念公式進(jìn)行檢驗(yàn)，驗(yàn)證所求得的答案是正確的，從而驗(yàn)證了公式①這個(gè)數(shù)學(xué)模型是正確的。

(三)公式①這一數(shù)學(xué)模型的再應(yīng)用

在探究例1的解題思路時(shí)，成功地構(gòu)建出了公式①這一數(shù)學(xué)模型，在真實(shí)意義上(即具有溶質(zhì)、溶劑與溶液形成的濃度問題)應(yīng)用是有效的，那么在一些從表面上看似不是真實(shí)的濃度問題中，是否也能夠應(yīng)用呢？回答是肯定的，這里再舉一個(gè)例子加以說明。

例2 (我國(guó)古代《孫子算經(jīng)》中的問題31的變形題)兔子野雞三十九，一百條腿地上走，多少野雞多少兔？

師：如何解決這個(gè)問題？

生：……

在技術(shù)扶持上，各縣（市）每年定期對(duì)民間資本參與建設(shè)的項(xiàng)目施工人員和管理人員開展經(jīng)濟(jì)林種植、中藥材栽培、水利水保工程施工、運(yùn)行及生產(chǎn)管理技術(shù)常規(guī)培訓(xùn)，同時(shí)從相關(guān)部門抽調(diào)技術(shù)骨干作為科技特派員，帶薪、帶職、脫產(chǎn)，全面負(fù)責(zé)項(xiàng)目實(shí)施管理的技術(shù)指導(dǎo)和服務(wù)工作。岑鞏縣還采取行政領(lǐng)導(dǎo)和技術(shù)人員負(fù)責(zé)相結(jié)合的辦法，實(shí)行行政領(lǐng)導(dǎo)掛靠包干，技術(shù)人員跟班作業(yè)，為投資者在項(xiàng)目建設(shè)管理中提供全程技術(shù)服務(wù)。

注：從例1與例2內(nèi)容的表象上考察，這是兩種性質(zhì)完全不同的問題，但是，啟發(fā)學(xué)生經(jīng)由設(shè)想與想象，幫助他們將這兩種不同類型的問題建立起意義上的聯(lián)系與關(guān)系，從而將例2這種“雞兔同籠”問題轉(zhuǎn)化為例1的這種濃度問題，利用公式①這一數(shù)學(xué)模型成功地解決了例2這個(gè)問題。由此，解題主體可以深深地體會(huì)到，數(shù)學(xué)模型具有一般性與普適性的特點(diǎn)。

四、結(jié)束語

“課程標(biāo)準(zhǔn)”將“模型意識(shí)”作為課程目標(biāo)的15項(xiàng)核心素養(yǎng)之一，絕非偶然，這是因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)總是以數(shù)學(xué)模型的方式表現(xiàn)出來的，一個(gè)數(shù)學(xué)概念、一個(gè)數(shù)學(xué)公式、一個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算法則、一個(gè)數(shù)學(xué)定理，都是數(shù)學(xué)模型?？疾毂疚闹嘘P(guān)于“濃度”的定義，公式①是數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)問題的語言表達(dá)的本質(zhì)是什么？這種意義主要是由解題主體的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)賦予的，從而可以將例2這種本來似乎與“濃度”概念沒有關(guān)系的問題形式，想象成了“濃度”問題，從而利用公式①簡(jiǎn)潔而巧妙地獲得了例2的解答結(jié)果。這也說明了數(shù)學(xué)模型應(yīng)用的廣泛性，數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)也是解題主體而賦予的。對(duì)此，廣大數(shù)學(xué)教師應(yīng)該思之再思，慎之又慎，最大限度地利用教科書或課外的數(shù)學(xué)教學(xué)素材，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！?/p>