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    一道期末試題的背景揭示與破解研究

    2022-10-31 14:33:14271400山東省寧陽縣復(fù)圣中學(xué)張志剛
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年9期
    關(guān)鍵詞:拉格朗約束條件極值

    271400 山東省寧陽縣復(fù)圣中學(xué) 張志剛

    一、 試題呈現(xiàn)

    試題

    (2020屆浙江寧波高三上學(xué)期期末試卷)已知45

    x

    -12

    xy

    +52

    y

    =20,求3

    x

    +4

    y

    的范圍

    .

    本題是二元二次方程約束條件下的二元函數(shù)范圍問題,試題設(shè)計(jì)簡潔清新,構(gòu)思別具匠心,解法靈活多變,飽含數(shù)學(xué)思想,凝聚命題專家的智慧

    .

    但由于涉及知識(shí)點(diǎn)多、綜合性較強(qiáng)、思維跨度較大,呈現(xiàn)出較強(qiáng)的綜合性與選拔性,解答過程需要考生具備較高的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng),以及轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、分類討論、換元法、配方法等典型數(shù)學(xué)思想和方法,頗具挑戰(zhàn)性和選拔性

    .

    二、 命制背景

    從高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來看,本題命制的背景是拉格朗日乘數(shù)法求極值問題

    .

    其基本原理是設(shè)給定二元函數(shù)

    z

    =

    f

    (

    x

    ,

    y

    )和附加條件

    φ

    (

    x

    ,

    y

    )=0,為尋找

    z

    =

    f

    (

    x

    ,

    y

    )在附加條件下的極值點(diǎn),先構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

    L

    (

    x

    ,

    y

    )=

    f

    (

    x

    ,

    y

    )+

    λφ

    (

    x

    ,

    y

    ),其中

    λ

    為參數(shù)

    .

    L

    (

    x

    ,

    y

    )對(duì)

    x

    ,

    y

    的一階偏導(dǎo)數(shù),令它們等于0,并將其與附加條件進(jìn)行聯(lián)立,也即由上述方程組解出

    x

    ,

    y

    λ

    ,如此求得的點(diǎn)(

    x

    ,

    y

    )就是函數(shù)

    z

    =

    f

    (

    x

    ,

    y

    )在附加條件

    φ

    (

    x

    y

    )=0下的可能極值點(diǎn)

    .

    若這樣的點(diǎn)只有一個(gè),由實(shí)際問題可直接確定此點(diǎn)即為所求的點(diǎn)

    .

    其步驟主要有兩步:構(gòu)造拉格朗日函數(shù),求偏導(dǎo)數(shù)并求出可能的極值點(diǎn)

    .

    其幾何意義是,設(shè)給定目標(biāo)函數(shù)為

    f

    (

    x

    ,

    y

    ),約束條件是

    φ

    (

    x

    ,

    y

    )=0

    .

    如圖1,曲線

    L

    為約束條件

    φ

    (

    x

    ,

    y

    )=0,

    f

    (

    x

    ,

    y

    )=

    C

    為目標(biāo)函數(shù)的等值線族

    .

    f

    (

    x

    ,

    y

    ),

    φ

    (

    x

    ,

    y

    )偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)的條件下,目標(biāo)函數(shù)

    f

    (

    x

    ,

    y

    )在約束條件

    φ

    (

    x

    ,

    y

    )=0下的可能極值點(diǎn)

    M

    (

    x

    ,

    y

    ),從幾何上看,必是目標(biāo)函數(shù)等值線族中與約束條件曲線的切點(diǎn)

    .

    圖1

    拉格朗日乘數(shù)法主要有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)

    .

    一是把目標(biāo)函數(shù)和等式約束統(tǒng)一到一個(gè)拉格朗日函數(shù)中;二是將條件極值問題轉(zhuǎn)化為無條件極值問題,即通過引入拉格朗日乘數(shù)將含有

    n

    個(gè)變量和

    k

    個(gè)約束條件的約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為含有

    n

    +

    k

    個(gè)變量的無約束優(yōu)化問題

    .

    因?yàn)樵跇?gòu)造的拉格朗日函數(shù)中無論約束條件

    φ

    (

    x

    ,

    y

    )=0如何,都滿足限制條件

    .

    另外,

    L

    (

    x

    ,

    y

    )=

    f

    (

    x

    ,

    y

    )+

    λφ

    (

    x

    ,

    y

    ),其中

    φ

    (

    x

    y

    )=0,不難發(fā)現(xiàn)求

    z

    =

    f

    (

    x

    ,

    y

    )的極值點(diǎn)其實(shí)就是求

    L

    (

    x

    ,

    y

    )的極值點(diǎn),兩者的極值是等價(jià)的,且與

    λ

    無關(guān),至于增加

    λ

    的目的在于用待定系數(shù)法確定此拉格朗日函數(shù)

    .

    拉格朗日乘數(shù)法能夠保證在取得最優(yōu)乘數(shù)的情況下兩者解的一致性,顯然通過求解拉格朗日函數(shù)的最優(yōu)解來求得原目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是一種更經(jīng)濟(jì)、更便捷的做法

    .

    應(yīng)用該法解答如下

    .

    L

    (

    x

    ,

    y

    ,

    λ

    )=3

    x

    +4

    y

    +

    λ

    (45

    x

    -12

    xy

    +52

    y

    -20),

    則解得或或或

    設(shè)

    f

    (

    x

    ,

    y

    )=3

    x

    +4

    y

    ,則所以3

    x

    +4

    y

    的范圍是

    三、 試題解答

    拉格朗日乘數(shù)法作為一種應(yīng)用廣泛的約束問題優(yōu)化算法,其理論上的優(yōu)越性顯而易見

    .

    然而,在實(shí)際操作中,學(xué)生對(duì)拉格朗日乘數(shù)法求極值原理的理解需要一個(gè)過程,對(duì)于求偏導(dǎo)數(shù)也是陌生的,此外,聯(lián)立方程組求解時(shí)對(duì)學(xué)生運(yùn)算求解能力要求較高

    .

    那么,本題如何用初等數(shù)學(xué)的方法解決?在高中階段,解決此類問題可以分別從方程有解,函數(shù)最值(三角代換或?qū)?shù)),不等式(如重要不等式、基本不等式、柯西不等式)等途徑尋求突破,消參減元轉(zhuǎn)化是解決這類問題的基本原則,把雙變量問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)或方程,再輔助以相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決

    .

    思路1:

    應(yīng)用判別式法

    .

    對(duì)于二元函數(shù)取值范圍問題,設(shè)目標(biāo)函數(shù)

    f

    (

    x

    ,

    y

    )=

    k

    ,轉(zhuǎn)化為方程有解,利用判別式

    Δ

    ≥0構(gòu)造不等式,也是處理該類試題的常見思路

    .

    例如,本題利用目標(biāo)函數(shù)可構(gòu)造二次齊次式,分子、分母同時(shí)除以

    x

    (或

    y

    ),借助換元法將二元方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程有解問題,利用判別式

    Δ

    ≥0求解

    .

    解法

    ①當(dāng)

    x

    =0時(shí),易得②當(dāng)

    x

    ≠0時(shí),(*)式分子分母同時(shí)除以

    x

    ,得設(shè)則(52

    p

    -4)

    t

    -12

    pt

    +45

    p

    -3=0,此方程有實(shí)數(shù)解,從而

    Δ

    =-4(52

    p

    -4)(45

    p

    -3)≥0,解得所以綜合①②,3

    x

    +4

    y

    的范圍是

    評(píng)注:

    上述解答過程中,分子分母同時(shí)除以

    x

    前,要關(guān)注

    x

    是否為0,必要時(shí)進(jìn)行分類討論,以保證邏輯推理的嚴(yán)密性、等價(jià)性

    .

    類似地,當(dāng)

    y

    ≠0時(shí),也可以分子分母同時(shí)除以

    y

    .

    思路2:

    導(dǎo)數(shù)法

    .

    史寧中教授曾說,“研究和認(rèn)識(shí)函數(shù)強(qiáng)調(diào)兩個(gè)基本角度,即整體和局部,單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性、最值等都是從整體上刻畫函數(shù)性質(zhì),導(dǎo)數(shù)作為特殊極限,開始從局部上揭示函數(shù)性質(zhì)”

    .

    從單調(diào)性到導(dǎo)數(shù),就是從定性地描述變化到定量地描述變化的過程,定量地分析和解決問題是數(shù)學(xué)的基本特征,也是直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng)的具體體現(xiàn),這種思想方法在研究函數(shù)中發(fā)揮重要的作用

    .

    相對(duì)于傳統(tǒng)方法而言,導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性,討論函數(shù)的極值、最值以及證明不等式中發(fā)揮出巨大功效

    .

    對(duì)于本題,在思路1的探求過程中,目標(biāo)函數(shù)分子、分母同時(shí)除以

    x

    (或

    y

    )后,如果實(shí)施換元(例如令可以驚喜地發(fā)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為一元函數(shù),然后通過導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而求出極值和最值

    .

    解法

    ①當(dāng)

    x

    =0時(shí),易得②當(dāng)

    x

    ≠0時(shí),(*)式分子分母同時(shí)除以

    x

    ,得

    設(shè)則設(shè)則有

    g

    ′(

    t

    )=0,得或當(dāng)或時(shí),

    g

    ′(

    t

    )<0,

    g

    (

    t

    )單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),

    g

    ′(

    t

    )>0,

    g

    (

    t

    )單調(diào)遞增,所以,當(dāng)時(shí),

    g

    (

    t

    )取得極大值當(dāng)時(shí),

    g

    (

    t

    )取得極小值又當(dāng)

    t

    →±∞時(shí),所以從而

    評(píng)注:

    上述解答構(gòu)造齊次式后,通過換元將問題轉(zhuǎn)化為一元分式函數(shù)的值域問題,自然可以考慮用導(dǎo)數(shù)的方法進(jìn)行研究

    .

    其中,只需注意為避免系數(shù)“20”參與運(yùn)算,又適時(shí)構(gòu)造了函數(shù)

    g

    (

    t

    ),以此節(jié)約運(yùn)算成本,簡化問題的討論

    .

    此處,也可以深刻地體會(huì)導(dǎo)數(shù)對(duì)于討論函數(shù)(含三角函數(shù)、數(shù)列)性質(zhì)的普適性,體會(huì)知識(shí)之間的有機(jī)銜接與融合

    .

    思路3:

    重要不等式法

    .

    重要不等式

    a

    +

    b

    ≥2

    ab

    (

    a

    ,

    b

    R

    )(當(dāng)且僅當(dāng)

    a

    =

    b

    時(shí)取等號(hào))是探索范圍(最值)問題的有力工具

    .

    逆用重要不等式,可將

    a

    b

    的乘積項(xiàng)放縮為平方和的形式

    .

    在本題中,已知條件45

    x

    -12

    xy

    +52

    y

    =20中,除了

    x

    ,

    y

    的平方和外,還有

    x

    ,

    y

    的乘積項(xiàng)

    .

    而本題目標(biāo)式是平方和的形式,因此解題的方向也逐漸趨于明朗,即考慮將12

    xy

    進(jìn)行放縮,積極向所求平方和結(jié)構(gòu)3

    x

    +4

    y

    靠攏,其中系數(shù)的調(diào)控往往需要通過“拆項(xiàng)、添項(xiàng)、配湊”等常見技巧實(shí)現(xiàn)

    .

    具體過程如下

    .

    解法3:

    由重要不等式得12

    xy

    =2·3

    x

    ·2

    y

    ≤9

    x

    +4

    y

    ,當(dāng)且僅當(dāng)即或時(shí)等號(hào)成立,從而20=45

    x

    -12

    xy

    +52

    y

    ≥36

    x

    +48

    y

    =12(3

    x

    +4

    y

    ),進(jìn)而同理,由重要不等式可得到當(dāng)且僅當(dāng)即或時(shí)等號(hào)成立,從而20=45

    x

    -12

    xy

    +52

    y

    ≤48

    x

    +64

    y

    =16(3

    x

    +4

    y

    ),所以綜上,即3

    x

    +4

    y

    的范圍是

    評(píng)注:

    創(chuàng)設(shè)重要不等式使用的條件,合理拆分項(xiàng)或配湊因式是經(jīng)常用到的解題技巧,需要敏銳的觀察能力和較強(qiáng)的變形能力,如本題中即有12

    xy

    =2·3

    x

    ·2

    y

    和兩處拆分、重組,要細(xì)心體會(huì)如此拆分背后的考量與前進(jìn)的方向

    .

    當(dāng)然,拆與湊的過程可能不是一蹴而就的,很多試題需要結(jié)合條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征與數(shù)量關(guān)系,經(jīng)歷多次嘗試與優(yōu)化調(diào)整后方能達(dá)到目的

    .

    另外,利用各種不等式工具解題要及時(shí)關(guān)注等號(hào)成立的條件,上述解答過程的兩處放縮中都要驗(yàn)證等號(hào)能否成立

    .

    思路4:

    三角換元法

    .

    從已知條件切入,用配方法可將已知條件45

    x

    -12

    xy

    +52

    y

    =20變形為此時(shí)式子結(jié)構(gòu)為“平方和為1”的形式,聯(lián)想到同角三角函數(shù)基本關(guān)系式sin

    θ

    +

    cos

    θ

    =1,為此,可考慮進(jìn)行三角換元,轉(zhuǎn)化為單角三角函數(shù)的值域問題,之后利用弦函數(shù)的有界性解決即可

    .

    當(dāng)然,本題也可從問題(結(jié)論)出發(fā),設(shè)3

    x

    +4

    y

    =

    p

    ,配方得同樣可考慮進(jìn)行三角換元,代入已知條件45

    x

    -12

    xy

    +52

    y

    =20中,再通過分離參數(shù)將

    p

    表示為單角三角函數(shù),之后同樣借助弦函數(shù)的有界性解決即可

    .

    解法4:

    因?yàn)?5

    x

    -12

    xy

    +52

    y

    =20,配方得令解得將其代入3

    x

    +4

    y

    ,得其中從而

    解法5:

    設(shè)3

    x

    +4

    y

    =

    p

    ,配方得令解得代入已知條件45

    x

    -12

    xy

    +52

    y

    =20,化簡得則即

    評(píng)注:

    解法4、解法5雖然思維方向相反,但都是對(duì)條件(或結(jié)論)進(jìn)行變形、配方為平方和為1的典型模式,聯(lián)想到三角函數(shù)基本關(guān)系式sin

    θ

    +cos

    θ

    =1,于是考慮進(jìn)行三角換元,把雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量三角函數(shù)值域問題,再利用正余弦函數(shù)的有界性輕松求解

    .

    思路5:

    幾何意義

    .

    思路4中的兩種解法都是通過變形整理為“兩式平方和為1”的結(jié)構(gòu),進(jìn)而進(jìn)行三角代換解決問題的

    .

    那么,如果不化成上述結(jié)構(gòu)形式,例如保留等式右側(cè)的數(shù)值“20”,是否依然能夠解決問題?另一方面,通過高中解析幾何模塊的學(xué)習(xí),可以知道每一種圓錐曲線都與一個(gè)二元方程相對(duì)應(yīng),在討論圓錐曲線的性質(zhì)時(shí),也總是試圖從圖形中獲取靈感

    .

    根據(jù)這樣的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),可以發(fā)現(xiàn)本題中已知條件即是二元方程,于是猜想它在幾何上表示何種曲線,能否從幾何視角萌發(fā)解決問題的思路,帶著這些疑問進(jìn)行如下探究

    .

    解法6:

    由于45

    x

    -12

    xy

    +52

    y

    =20,配方得=20

    .

    設(shè)解得其中

    a

    +

    b

    =20

    .

    從而設(shè)從而所以,動(dòng)點(diǎn)(

    a

    ,

    b

    )的軌跡是長軸長為短軸長為的橢圓

    .

    當(dāng)16

    m

    =20即時(shí),橢圓最小;當(dāng)12

    m

    =20即時(shí),橢圓最大

    .

    所以,亦即

    評(píng)注:

    本題條件是關(guān)于

    x

    ,

    y

    的二次方程,容易聯(lián)想到圓錐曲線

    .

    為此,將方程等價(jià)變形,經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換后變成橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,欲求的范圍就是橢圓上的點(diǎn)到中心的距離最值問題

    .

    逆向來看,本題的已知條件就是一個(gè)經(jīng)歷旋轉(zhuǎn)變換之后的橢圓

    .

    從幾何視角考察問題顯然更直觀形象,一目了然,也為認(rèn)識(shí)問題的本質(zhì)提供了全新的視角

    .

    四、 強(qiáng)化訓(xùn)練

    以拉格朗日乘數(shù)法為背景的二元方程約束條件下的二元最值問題,歷來是高考和競賽考查的熱點(diǎn)問題,試題一般是函數(shù)、方程與不等式知識(shí)的綜合應(yīng)用,技巧性較強(qiáng),難度較大,可以從函數(shù)單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)法、不等式工具等角度考慮,尋求解題靈感,如下面的兩例

    .

    案例1

    (“超級(jí)全能生”浙江省2020年聯(lián)考B-10) 已知實(shí)數(shù)

    x

    ,

    y

    滿足

    x

    -4

    xy

    -5

    y

    =5,則

    x

    +2

    y

    的最小值為( )

    解析:

    本題是二元二次方程約束條件下的二元最值問題,可考慮通過上述思路求出極值

    .

    限于篇幅,現(xiàn)給出最常用的解法

    .

    思路1:

    利用導(dǎo)數(shù)法

    .

    利用目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造齊次式,然后分子、分母同時(shí)除以

    x

    (或

    y

    ),換元后將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問題,然后通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而求出最值

    .

    解法1:

    因?yàn)?p>x

    -4

    xy

    -5

    y

    =5,所以①當(dāng)

    y

    =0時(shí),

    x

    +2

    y

    =

    x

    =5

    .

    ②當(dāng)

    y

    ≠0時(shí),設(shè)則設(shè)令

    f

    ′(

    t

    )=0,得或

    t

    =-4,當(dāng)

    t

    <-4或

    t

    >時(shí),

    f

    ′(

    t

    )>0,

    f

    (

    t

    )單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),

    f

    ′(

    t

    )<0,

    f

    (

    t

    )單調(diào)遞減,所以當(dāng)

    t

    =-4時(shí),

    f

    (

    t

    )取得極大值又當(dāng)

    t

    →+∞時(shí),

    f

    (

    t

    )→1

    .

    所以即有解得綜合①②,所以

    x

    +2

    y

    的最小值為故選B

    .

    思路2:

    運(yùn)用基本不等式

    .

    觀察條件

    x

    -4

    xy

    -5

    y

    =5,發(fā)現(xiàn)該等式可以通過因式分解等價(jià)變形為(

    x

    -5

    y

    )(

    x

    +

    y

    )=5,由“積為定值”的結(jié)構(gòu)特征,聯(lián)想到進(jìn)行換元

    s

    =

    x

    -5

    y

    ,

    t

    =

    x

    +

    y

    ,從而將關(guān)于

    x

    ,

    y

    的二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為

    s

    t

    的二元函數(shù),進(jìn)而借助基本不等式可求出最值

    .

    解法2:

    x

    -4

    xy

    -5

    y

    =5,得(

    x

    -5

    y

    )(

    x

    +

    y

    )=5,設(shè)解得且

    ts

    =5,所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)

    .

    所以

    x

    +2

    y

    的最小值為故選B

    .

    思路3:

    拉格朗日乘數(shù)法

    .

    解法3:

    L

    (

    x

    ,

    y

    ,

    λ

    )=

    x

    +2

    y

    +

    λ

    (

    x

    -4

    xy

    -5

    y

    -5),則解得所以

    x

    +2

    y

    的最小值為故選B

    .

    案例2

    (2017清華大學(xué)能力測試-12) 已知實(shí)數(shù)

    x

    ,

    y

    滿足5

    x

    -

    y

    -4

    xy

    =5,則2

    x

    +

    y

    的最小值是( )

    解析:

    參考案例1,答案為A

    .

    五、 結(jié)語

    《中國高考評(píng)價(jià)體系》提出:高考關(guān)注與創(chuàng)新密切相關(guān)的能力與素養(yǎng),比如獨(dú)立思考能力、發(fā)散思維、逆向思維等

    .

    而追根溯源可以直擊命題意圖,橫跨縱聯(lián)也利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維等創(chuàng)新性思維

    .

    對(duì)于諸多高考真題和模擬題,教師要充分挖掘其意境高深悠遠(yuǎn)、再生能力強(qiáng)、探究空間大的優(yōu)勢,引導(dǎo)學(xué)生分析條件,捕捉信息,抓住關(guān)鍵,挖掘本質(zhì),揭示所求,尋求聯(lián)系,形成設(shè)想,構(gòu)建方案,啟迪學(xué)生運(yùn)用開放性、創(chuàng)新性的思維方式應(yīng)對(duì)問題情境

    .

    而學(xué)生在感知確認(rèn)、抽象概括、合情推理、語言轉(zhuǎn)換、審美想象、操作運(yùn)算、揣摩切磋、思路調(diào)整等思維活動(dòng)中全方位、多角度、多層次地思考問題,綜合運(yùn)用各種方法,提出新視角、新觀點(diǎn)、新設(shè)想,逐步學(xué)會(huì)有邏輯地思考數(shù)學(xué)問題,為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落地提供支撐,如此,才是藝術(shù)追求、智慧生成、活潑生動(dòng)的生態(tài)課堂

    .

    “一題多解”“一題多變”“多題一法”也充分體現(xiàn)了教學(xué)的簡約性功能,在盡可能短的時(shí)間內(nèi)傳播盡可能多的數(shù)學(xué)思想,對(duì)題海戰(zhàn)術(shù)也是一種“反動(dòng)”

    .

    需要注意的是,在引導(dǎo)學(xué)生探究時(shí)須充分考慮學(xué)生認(rèn)知過程的階段性,注重整體設(shè)計(jì)、分步實(shí)施、有序落實(shí)、螺旋上升,循序進(jìn)階

    .

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