一道期末試題的背景揭示與破解研究

271400 山東省寧陽縣復(fù)圣中學(xué) 張志剛

一、 試題呈現(xiàn)

試題

(2020屆浙江寧波高三上學(xué)期期末試卷)已知45

x

-12

xy

+52

y

=20，求3

x

+4

y

的范圍

.

本題是二元二次方程約束條件下的二元函數(shù)范圍問題，試題設(shè)計(jì)簡潔清新，構(gòu)思別具匠心，解法靈活多變，飽含數(shù)學(xué)思想，凝聚命題專家的智慧

.

但由于涉及知識(shí)點(diǎn)多、綜合性較強(qiáng)、思維跨度較大，呈現(xiàn)出較強(qiáng)的綜合性與選拔性，解答過程需要考生具備較高的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)，以及轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、分類討論、換元法、配方法等典型數(shù)學(xué)思想和方法，頗具挑戰(zhàn)性和選拔性

.

二、 命制背景

從高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來看，本題命制的背景是拉格朗日乘數(shù)法求極值問題

.

其基本原理是設(shè)給定二元函數(shù)

z

=

f

(

x

,

y

)和附加條件

φ

(

x

，

y

)=0，為尋找

z

=

f

(

x

,

y

)在附加條件下的極值點(diǎn)，先構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

L

(

x

,

y

)=

f

(

x

,

y

)+

λφ

(

x

,

y

)，其中

λ

為參數(shù)

.

求

L

(

x

,

y

)對(duì)

x

，

y

的一階偏導(dǎo)數(shù)，令它們等于0，并將其與附加條件進(jìn)行聯(lián)立，也即由上述方程組解出

x

，

y

及

λ

，如此求得的點(diǎn)(

x

,

y

)就是函數(shù)

z

=

f

(

x

,

y

)在附加條件

φ

(

x

，

y

)=0下的可能極值點(diǎn)

.

若這樣的點(diǎn)只有一個(gè)，由實(shí)際問題可直接確定此點(diǎn)即為所求的點(diǎn)

.

其步驟主要有兩步：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，求偏導(dǎo)數(shù)并求出可能的極值點(diǎn)

.

其幾何意義是，設(shè)給定目標(biāo)函數(shù)為

f

(

x

,

y

)，約束條件是

φ

(

x

，

y

)=0

.

如圖1，曲線

L

為約束條件

φ

(

x

，

y

)=0，

f

(

x

,

y

)=

C

為目標(biāo)函數(shù)的等值線族

.

在

f

(

x

,

y

)，

φ

(

x

,

y

)偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)的條件下，目標(biāo)函數(shù)

f

(

x

,

y

)在約束條件

φ

(

x

，

y

)=0下的可能極值點(diǎn)

M

(

x

,

y

)，從幾何上看，必是目標(biāo)函數(shù)等值線族中與約束條件曲線的切點(diǎn)

.

圖1

拉格朗日乘數(shù)法主要有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)

.

一是把目標(biāo)函數(shù)和等式約束統(tǒng)一到一個(gè)拉格朗日函數(shù)中；二是將條件極值問題轉(zhuǎn)化為無條件極值問題，即通過引入拉格朗日乘數(shù)將含有

n

個(gè)變量和

k

個(gè)約束條件的約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為含有

n

+

k

個(gè)變量的無約束優(yōu)化問題

.

因?yàn)樵跇?gòu)造的拉格朗日函數(shù)中無論約束條件

φ

(

x

，

y

)=0如何，都滿足限制條件

.

另外，

L

(

x

,

y

)=

f

(

x

,

y

)+

λφ

(

x

,

y

)，其中

φ

(

x

，

y

)=0，不難發(fā)現(xiàn)求

z

=

f

(

x

,

y

)的極值點(diǎn)其實(shí)就是求

L

(

x

,

y

)的極值點(diǎn)，兩者的極值是等價(jià)的，且與

λ

無關(guān)，至于增加

λ

的目的在于用待定系數(shù)法確定此拉格朗日函數(shù)

.

拉格朗日乘數(shù)法能夠保證在取得最優(yōu)乘數(shù)的情況下兩者解的一致性，顯然通過求解拉格朗日函數(shù)的最優(yōu)解來求得原目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是一種更經(jīng)濟(jì)、更便捷的做法

.

應(yīng)用該法解答如下

.

令

L

(

x

,

y

,

λ

)=3

x

+4

y

+

λ

(45

x

-12

xy

+52

y

-20)，

則解得或或或

設(shè)

f

(

x

,

y

)=3

x

+4

y

，則所以3

x

+4

y

的范圍是

三、 試題解答

拉格朗日乘數(shù)法作為一種應(yīng)用廣泛的約束問題優(yōu)化算法，其理論上的優(yōu)越性顯而易見

.

然而,在實(shí)際操作中，學(xué)生對(duì)拉格朗日乘數(shù)法求極值原理的理解需要一個(gè)過程，對(duì)于求偏導(dǎo)數(shù)也是陌生的，此外，聯(lián)立方程組求解時(shí)對(duì)學(xué)生運(yùn)算求解能力要求較高

.

那么，本題如何用初等數(shù)學(xué)的方法解決？在高中階段，解決此類問題可以分別從方程有解，函數(shù)最值(三角代換或?qū)?shù))，不等式(如重要不等式、基本不等式、柯西不等式)等途徑尋求突破，消參減元轉(zhuǎn)化是解決這類問題的基本原則，把雙變量問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)或方程，再輔助以相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決

.

思路1:

應(yīng)用判別式法

.

對(duì)于二元函數(shù)取值范圍問題，設(shè)目標(biāo)函數(shù)

f

(

x

,

y

)=

k

，轉(zhuǎn)化為方程有解，利用判別式

Δ

≥0構(gòu)造不等式，也是處理該類試題的常見思路

.

例如，本題利用目標(biāo)函數(shù)可構(gòu)造二次齊次式，分子、分母同時(shí)除以

x

(或

y

)，借助換元法將二元方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程有解問題，利用判別式

Δ

≥0求解

.

解法

①當(dāng)

x

=0時(shí)，易得②當(dāng)

x

≠0時(shí)，(*)式分子分母同時(shí)除以

x

，得設(shè)則(52

p

-4)

t

-12

pt

+45

p

-3=0，此方程有實(shí)數(shù)解，從而

Δ

=-4(52

p

-4)(45

p

-3)≥0，解得所以綜合①②，3

x

+4

y

的范圍是

評(píng)注：

上述解答過程中，分子分母同時(shí)除以

x

前，要關(guān)注

x

是否為0，必要時(shí)進(jìn)行分類討論，以保證邏輯推理的嚴(yán)密性、等價(jià)性

.

類似地，當(dāng)

y

≠0時(shí)，也可以分子分母同時(shí)除以

y

.

思路2:

導(dǎo)數(shù)法

.

史寧中教授曾說,“研究和認(rèn)識(shí)函數(shù)強(qiáng)調(diào)兩個(gè)基本角度，即整體和局部，單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性、最值等都是從整體上刻畫函數(shù)性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)作為特殊極限，開始從局部上揭示函數(shù)性質(zhì)”

.

從單調(diào)性到導(dǎo)數(shù)，就是從定性地描述變化到定量地描述變化的過程，定量地分析和解決問題是數(shù)學(xué)的基本特征，也是直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng)的具體體現(xiàn)，這種思想方法在研究函數(shù)中發(fā)揮重要的作用

.

相對(duì)于傳統(tǒng)方法而言，導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性，討論函數(shù)的極值、最值以及證明不等式中發(fā)揮出巨大功效

.

對(duì)于本題，在思路1的探求過程中，目標(biāo)函數(shù)分子、分母同時(shí)除以

x

(或

y

)后，如果實(shí)施換元(例如令可以驚喜地發(fā)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，然后通過導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出極值和最值

.

解法

①當(dāng)

x

=0時(shí)，易得②當(dāng)

x

≠0時(shí)，(*)式分子分母同時(shí)除以

x

，得

設(shè)則設(shè)則有

令

g

′(

t

)=0，得或當(dāng)或時(shí)，

g

′(

t

)<0，

g

(

t

)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，

g

′(

t

)>0，

g

(

t

)單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，

g

(

t

)取得極大值當(dāng)時(shí)，

g

(

t

)取得極小值又當(dāng)

t

→±∞時(shí)，所以從而

評(píng)注：

上述解答構(gòu)造齊次式后，通過換元將問題轉(zhuǎn)化為一元分式函數(shù)的值域問題,自然可以考慮用導(dǎo)數(shù)的方法進(jìn)行研究

.

其中，只需注意為避免系數(shù)“20”參與運(yùn)算，又適時(shí)構(gòu)造了函數(shù)

g

(

t

)，以此節(jié)約運(yùn)算成本，簡化問題的討論

.

此處，也可以深刻地體會(huì)導(dǎo)數(shù)對(duì)于討論函數(shù)(含三角函數(shù)、數(shù)列)性質(zhì)的普適性，體會(huì)知識(shí)之間的有機(jī)銜接與融合

.

思路3:

重要不等式法

.

重要不等式

a

+

b

≥2

ab

(

a

,

b

∈

R

)(當(dāng)且僅當(dāng)

a

=

b

時(shí)取等號(hào))是探索范圍(最值)問題的有力工具

.

逆用重要不等式，可將

a

，

b

的乘積項(xiàng)放縮為平方和的形式

.

在本題中，已知條件45

x

-12

xy

+52

y

=20中，除了

x

，

y

的平方和外，還有

x

，

y

的乘積項(xiàng)

.

而本題目標(biāo)式是平方和的形式，因此解題的方向也逐漸趨于明朗，即考慮將12

xy

進(jìn)行放縮，積極向所求平方和結(jié)構(gòu)3

x

+4

y

靠攏，其中系數(shù)的調(diào)控往往需要通過“拆項(xiàng)、添項(xiàng)、配湊”等常見技巧實(shí)現(xiàn)

.

具體過程如下

.

解法3：

由重要不等式得12

xy

=2·3

x

·2

y

≤9

x

+4

y

，當(dāng)且僅當(dāng)即或時(shí)等號(hào)成立，從而20=45

x

-12

xy

+52

y

≥36

x

+48

y

=12(3

x

+4

y

)，進(jìn)而同理，由重要不等式可得到當(dāng)且僅當(dāng)即或時(shí)等號(hào)成立，從而20=45

x

-12

xy

+52

y

≤48

x

+64

y

=16(3

x

+4

y

)，所以綜上，即3

x

+4

y

的范圍是

評(píng)注：

創(chuàng)設(shè)重要不等式使用的條件，合理拆分項(xiàng)或配湊因式是經(jīng)常用到的解題技巧，需要敏銳的觀察能力和較強(qiáng)的變形能力，如本題中即有12

xy

=2·3

x

·2

y

和兩處拆分、重組，要細(xì)心體會(huì)如此拆分背后的考量與前進(jìn)的方向

.

當(dāng)然，拆與湊的過程可能不是一蹴而就的，很多試題需要結(jié)合條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征與數(shù)量關(guān)系，經(jīng)歷多次嘗試與優(yōu)化調(diào)整后方能達(dá)到目的

.

另外，利用各種不等式工具解題要及時(shí)關(guān)注等號(hào)成立的條件，上述解答過程的兩處放縮中都要驗(yàn)證等號(hào)能否成立

.

思路4:

三角換元法

.

從已知條件切入，用配方法可將已知條件45

x

-12

xy

+52

y

=20變形為此時(shí)式子結(jié)構(gòu)為“平方和為1”的形式，聯(lián)想到同角三角函數(shù)基本關(guān)系式sin

θ

+

cos

θ

=1，為此，可考慮進(jìn)行三角換元，轉(zhuǎn)化為單角三角函數(shù)的值域問題，之后利用弦函數(shù)的有界性解決即可

.

當(dāng)然，本題也可從問題(結(jié)論)出發(fā)，設(shè)3

x

+4

y

=

p

，配方得同樣可考慮進(jìn)行三角換元，代入已知條件45

x

-12

xy

+52

y

=20中，再通過分離參數(shù)將

p

表示為單角三角函數(shù)，之后同樣借助弦函數(shù)的有界性解決即可

.

解法4：

因?yàn)?5

x

-12

xy

+52

y

=20，配方得令解得將其代入3

x

+4

y

，得其中從而

解法5：

設(shè)3

x

+4

y

=

p

，配方得令解得代入已知條件45

x

-12

xy

+52

y

=20，化簡得則即

評(píng)注：

解法4、解法5雖然思維方向相反，但都是對(duì)條件(或結(jié)論)進(jìn)行變形、配方為平方和為1的典型模式，聯(lián)想到三角函數(shù)基本關(guān)系式sin

θ

+cos

θ

=1，于是考慮進(jìn)行三角換元，把雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量三角函數(shù)值域問題，再利用正余弦函數(shù)的有界性輕松求解

.

思路5:

幾何意義

.

思路4中的兩種解法都是通過變形整理為“兩式平方和為1”的結(jié)構(gòu)，進(jìn)而進(jìn)行三角代換解決問題的

.

那么,如果不化成上述結(jié)構(gòu)形式，例如保留等式右側(cè)的數(shù)值“20”，是否依然能夠解決問題？另一方面，通過高中解析幾何模塊的學(xué)習(xí)，可以知道每一種圓錐曲線都與一個(gè)二元方程相對(duì)應(yīng)，在討論圓錐曲線的性質(zhì)時(shí)，也總是試圖從圖形中獲取靈感

.

根據(jù)這樣的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，可以發(fā)現(xiàn)本題中已知條件即是二元方程，于是猜想它在幾何上表示何種曲線，能否從幾何視角萌發(fā)解決問題的思路，帶著這些疑問進(jìn)行如下探究

.

解法6：

由于45

x

-12

xy

+52

y

=20，配方得=20

.

設(shè)解得其中

a

+

b

=20

.

從而設(shè)從而所以，動(dòng)點(diǎn)(

a

，

b

)的軌跡是長軸長為短軸長為的橢圓

.

當(dāng)16

m

=20即時(shí)，橢圓最小；當(dāng)12

m

=20即時(shí)，橢圓最大

.

所以，亦即

評(píng)注：

本題條件是關(guān)于

x

，

y

的二次方程，容易聯(lián)想到圓錐曲線

.

為此，將方程等價(jià)變形，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換后變成橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，欲求的范圍就是橢圓上的點(diǎn)到中心的距離最值問題

.

逆向來看，本題的已知條件就是一個(gè)經(jīng)歷旋轉(zhuǎn)變換之后的橢圓

.

從幾何視角考察問題顯然更直觀形象，一目了然，也為認(rèn)識(shí)問題的本質(zhì)提供了全新的視角

.

四、 強(qiáng)化訓(xùn)練

以拉格朗日乘數(shù)法為背景的二元方程約束條件下的二元最值問題，歷來是高考和競賽考查的熱點(diǎn)問題，試題一般是函數(shù)、方程與不等式知識(shí)的綜合應(yīng)用，技巧性較強(qiáng)，難度較大，可以從函數(shù)單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)法、不等式工具等角度考慮，尋求解題靈感，如下面的兩例

.

案例1

(“超級(jí)全能生”浙江省2020年聯(lián)考B-10) 已知實(shí)數(shù)

x

,

y

滿足

x

-4

xy

-5

y

=5，則

x

+2

y

的最小值為( )

解析：

本題是二元二次方程約束條件下的二元最值問題，可考慮通過上述思路求出極值

.

限于篇幅，現(xiàn)給出最常用的解法

.

思路1:

利用導(dǎo)數(shù)法

.

利用目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造齊次式，然后分子、分母同時(shí)除以

x

(或

y

)，換元后將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問題，然后通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出最值

.

解法1：

因?yàn)?p>x

-4

xy

-5

y

=5，所以①當(dāng)

y

=0時(shí)，

x

+2

y

=

x

=5

.

②當(dāng)

y

≠0時(shí)，設(shè)則設(shè)令

f

′(

t

)=0，得或

t

=-4，當(dāng)

t

<-4或

t

>時(shí)，

f

′(

t

)>0，

f

(

t

)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，

f

′(

t

)<0，

f

(

t

)單調(diào)遞減，所以當(dāng)

t

=-4時(shí)，

f

(

t

)取得極大值又當(dāng)

t

→+∞時(shí)，

f

(

t

)→1

.

所以即有解得綜合①②，所以

x

+2

y

的最小值為故選B

.

思路2:

運(yùn)用基本不等式

.

觀察條件

x

-4

xy

-5

y

=5，發(fā)現(xiàn)該等式可以通過因式分解等價(jià)變形為(

x

-5

y

)(

x

+

y

)=5，由“積為定值”的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想到進(jìn)行換元

s

=

x

-5

y

，

t

=

x

+

y

，從而將關(guān)于

x

，

y

的二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為

s

，

t

的二元函數(shù)，進(jìn)而借助基本不等式可求出最值

.

解法2：

由

x

-4

xy

-5

y

=5，得(

x

-5

y

)(

x

+

y

)=5，設(shè)解得且

ts

=5，所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)

.

所以

x

+2

y

的最小值為故選B

.

思路3:

拉格朗日乘數(shù)法

.

解法3：

令

L

(

x

,

y

,

λ

)=

x

+2

y

+

λ

(

x

-4

xy

-5

y

-5)，則解得所以

x

+2

y

的最小值為故選B

.

案例2

(2017清華大學(xué)能力測試-12) 已知實(shí)數(shù)

x

,

y

滿足5

x

-

y

-4

xy

=5，則2

x

+

y

的最小值是( )

解析：

參考案例1，答案為A

.

五、 結(jié)語

《中國高考評(píng)價(jià)體系》提出：高考關(guān)注與創(chuàng)新密切相關(guān)的能力與素養(yǎng)，比如獨(dú)立思考能力、發(fā)散思維、逆向思維等

.

而追根溯源可以直擊命題意圖，橫跨縱聯(lián)也利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維等創(chuàng)新性思維

.

對(duì)于諸多高考真題和模擬題，教師要充分挖掘其意境高深悠遠(yuǎn)、再生能力強(qiáng)、探究空間大的優(yōu)勢，引導(dǎo)學(xué)生分析條件，捕捉信息，抓住關(guān)鍵，挖掘本質(zhì)，揭示所求，尋求聯(lián)系，形成設(shè)想，構(gòu)建方案，啟迪學(xué)生運(yùn)用開放性、創(chuàng)新性的思維方式應(yīng)對(duì)問題情境

.

而學(xué)生在感知確認(rèn)、抽象概括、合情推理、語言轉(zhuǎn)換、審美想象、操作運(yùn)算、揣摩切磋、思路調(diào)整等思維活動(dòng)中全方位、多角度、多層次地思考問題，綜合運(yùn)用各種方法，提出新視角、新觀點(diǎn)、新設(shè)想，逐步學(xué)會(huì)有邏輯地思考數(shù)學(xué)問題，為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落地提供支撐，如此，才是藝術(shù)追求、智慧生成、活潑生動(dòng)的生態(tài)課堂

.

“一題多解”“一題多變”“多題一法”也充分體現(xiàn)了教學(xué)的簡約性功能，在盡可能短的時(shí)間內(nèi)傳播盡可能多的數(shù)學(xué)思想，對(duì)題海戰(zhàn)術(shù)也是一種“反動(dòng)”

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需要注意的是，在引導(dǎo)學(xué)生探究時(shí)須充分考慮學(xué)生認(rèn)知過程的階段性，注重整體設(shè)計(jì)、分步實(shí)施、有序落實(shí)、螺旋上升，循序進(jìn)階

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