巧妙利用統(tǒng)計與概率的關(guān)系提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)
——以一堂“超幾何分布”課程設(shè)計為例

200231 上海市上海中學(xué) 劉 琴 劉 姍

學(xué)科核心素養(yǎng)是育人價值的集中體現(xiàn)，是學(xué)生通過學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價值觀、必備品格和關(guān)鍵能力

.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析

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面對最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，教師一直在探索如何在課程設(shè)計中體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，讓學(xué)生通過課程的學(xué)習(xí)學(xué)會在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念,學(xué)會利用現(xiàn)代科技模擬數(shù)學(xué)問題，提升對數(shù)學(xué)問題的理解,積累依托數(shù)據(jù)探索事物本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律的活動經(jīng)驗,形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì),養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)精神

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筆者以一節(jié)超幾何分布課的課程設(shè)計為例，探討數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂中的體現(xiàn)

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一、 情境問題

用熟悉的情境引入超幾何分布這個學(xué)生相識卻不相知的分布

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某商場為了吸引更多顧客，特在“雙11”時舉行抽獎活動，顧客從裝有10只球(4只黃球、6只白球)的箱子里隨機(jī)抽取2只球，若都是白球，則不中獎；若有1只黃球，則中二等獎，獎勵購物券100元；若有2只黃球，則中一等獎，獎勵購物券200元

.

每位顧客只能參與一次抽獎，商場向顧客提供以下兩種選擇

.

1

.

采用放回抽樣的方式，即每次取球后放回，充分混合后再抽取第二次

.

2

.

采用不放回抽樣的方式，即每次取球后不放回，從剩余的球中再抽取第二次

.

問題1

如果你當(dāng)天恰好在現(xiàn)場，你會采用哪種抽樣方式？為什么？

問題2

如果你是商場總經(jīng)理，你希望顧客采用哪種抽樣方式？為什么？

設(shè)計意圖：

從實際情境出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)實際問題，并以單元的視角提出研究超幾何分布的必要性，激發(fā)學(xué)生探索的興趣

.

簡化問題

已知箱中有10只球(4只黃球、6只白球),從中隨機(jī)抽取2只

.

1

.

若每次抽取后放回，設(shè)抽到黃球的個數(shù)為

X

，求

X

的分布列

.

X012P(X)0.360.480.16

E

(

X

)=0·0

.

36+1·0

.

48+2·0

.

16=0

.

8

.

2

.

若每次抽取后不放回，設(shè)抽到的黃球個數(shù)為

Y

,求

Y

的分布列

.

Y012P(Y)0.33·0.53·0.13·

思考1

從顧客的角度來看，為什么選擇放回抽樣？為什么選擇不放回抽樣？(從決策論的角度探討)

引導(dǎo)

對比獲得不同獎勵的概率，如獲得獎勵的概率或獲得大獎的概率

.

思考2

兩個分布的期望是一樣的，這是巧合還是存在某種內(nèi)在的聯(lián)系？

引導(dǎo)

放回抽樣是學(xué)生已經(jīng)熟悉的二項分布，帶領(lǐng)學(xué)生回憶二項分布的條件

.

提問

不放回抽樣的分布是不是也有一定的規(guī)律？

變式1

若袋中有10只球(4只黃球、6只白球)，從中隨機(jī)抽取5次,都不放回,設(shè)抽到的黃球個數(shù)為

Y

,求

Y

的分布列

.

設(shè)計意圖：

在不放回抽樣的情形下，黃球個數(shù)

Y

的取值會受到取球個數(shù)和袋中原有黃球個數(shù)的限制，故設(shè)計此變式，引導(dǎo)學(xué)生討論

Y

的取值，為進(jìn)一步抽象概括做準(zhǔn)備

.

引導(dǎo)學(xué)生討論如下

.

1

.

抽到的黃球個數(shù)

Y

可能的取值是多少？(引導(dǎo)學(xué)生討論

Y

的最大可能取值是在原有黃球個數(shù)和抽取球個數(shù)中取大)2

.

對應(yīng)不同取值的概率是多少？(引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)字改變的情況下進(jìn)一步探索超幾何分布的分布列)

所以

二、 抽象概括

問題3

如果將實際問題中的具體數(shù)據(jù)變成字母，是否可以抽象出超幾何分布的分布列？

變式2

若袋中有

N

只球[

M

只黃球、(

N

—

M

)只白球]，從中隨機(jī)抽取

n

次,都不放回,設(shè)抽到的黃球個數(shù)為

Y

,求

Y

的分布列

.

設(shè)計意圖：

從具體的數(shù)字到抽象的表達(dá)是形成理性思維的過程，利用熟悉的情境進(jìn)行抽象概括，為更一般情境下的抽象定義奠定基礎(chǔ)

.

問題4

如果不以球作為背景，能否進(jìn)一步抽象出超幾何分布的定義？

引導(dǎo)

討論并提出超幾何分布的定義

.

超幾何分布

設(shè)

N

個元素分為兩類，其中

M

個屬于第一類，(

N

-

M

)個屬于第二類

.

從中按不重復(fù)抽樣取

n

個，令

Y

表示這

n

個樣品中第一類的元素個數(shù)，則

Y

的分布稱為超幾何分布(Hypergeometric Distribution)

.

記作

Y

～

H

(

n

,

M

,

N

)，且為正整數(shù)

.

Y

的分布列如表1所示

.

三、 歸納猜想

問題5

我們在情境問題中討論過，顧客會根據(jù)自己對獲得獎勵與否或獎勵金額的偏好進(jìn)行選擇，但從商場經(jīng)理的角度而言，兩種選擇所需發(fā)放的購物券金額是一樣的，這一結(jié)論由兩種分布的期望所支持

.

如果有放回地抽樣，

X

表示抽到的黃球個數(shù)，則

X

服從二項分布

B

(

n

,

p

),期望是

E

(

X

)=

np.

如果不放回地抽樣，

Y

表示抽到的黃球個數(shù)，則

Y

服從超幾何分布，超幾何分布的期望是什么？

設(shè)計意圖：

鼓勵學(xué)生大膽猜想，試圖找到超幾何分布與二項分布的期望的相關(guān)性

.

四、 模擬實驗

問題6

為了驗證我們的猜想是否可行，在試圖證明之前，我們還可以用什么樣的方式進(jìn)行探究？

設(shè)計意圖：

鼓勵學(xué)生用不同方式進(jìn)行探究，驗證猜想成立的可能性

.

可以是實物模擬(從袋中取球)，也可以是用圖形計算器生成隨機(jī)數(shù)進(jìn)行模擬(具體操作如圖1所示)，更鼓勵學(xué)生使用大數(shù)據(jù)模擬的方式(學(xué)生編寫了R語言程序，具體操作如圖2所示，具體鏈接為https://charlieji-r.shinyapps.io/HypergeometricSimulationAPPCharlieJi/).

表1

Y012…m-1mP(Y)C0M·CnN-MCnNC1M·Cn-1N-MCnNC2M·Cn-2N-MCnN…Cm-1M·Cn-m+1N-MCnNCmM·Cn-mN-MCnN

圖1 圖形計算器生成隨機(jī)數(shù)模擬抽樣

圖2 R語言程序生成隨機(jī)數(shù)模擬抽樣

五、 推理證明

問題7

經(jīng)過模擬探究后，應(yīng)該進(jìn)行嚴(yán)格的推理證明

.

設(shè)計意圖：

對猜想的嚴(yán)格證明可通過組合數(shù)的展開進(jìn)行，但計算比較繁瑣，若利用組合數(shù)的性質(zhì)，一方面可以使證明過程更加簡潔，另一方面可以加深學(xué)生對組合數(shù)性質(zhì)的理解

.

引理

引理

第一步:探究引理1

嚴(yán)格證明：

概率的思想理解如圖3所示

.

第二步： 證明

因為如表1所示,由期望的定義得

由引理將所有分子的前半部分乘法簡化如下:

①

.

進(jìn)一步提出共同項，得到①式

提問

此時括號中的和是多少？

引導(dǎo)

學(xué)生從分布列的性質(zhì)討論，得到引理

思考

如表1，分布列中所有概率的和是多少？

學(xué)生已經(jīng)了解分布列的性質(zhì)，能夠回答和為1，即

將分母移到右邊，得到

思考

證明過程中，括號中的和是多少？通過如圖4所示的過程，學(xué)生能夠快速了解要求的和等價于從(

N

-1)個元素中取出(

n

-1)個第一類元素的所有情況，故可以得到：

括號中的和

圖3 圖4

②

.

利用組合數(shù)的定義，學(xué)生能夠快速完成余下的證明,過程如下:

②式

六、 總結(jié)歸納

(一)超幾何分布與二項分布的關(guān)系

超幾何分布與二項分布的關(guān)系如圖5-1所示

.

1

.

當(dāng)

N

足夠大時，放回和不放回對概率的影響很小，超幾何分布逼近二項分布

.

圖5-1 二項分布與超幾何分布的知識點(diǎn)總結(jié)

2

.

利用R語言探究二者關(guān)系(如圖5-2所示,具體鏈接為https://charlieji-r.shinyapps.io/HypergeometricSimulationAPPCharlieJi/).

圖5-2 隨著N的不同，超幾何分布與二項分布的取值比較

(二)探索方法總結(jié)

本節(jié)課的探索方法為“觀察—猜想—模擬—大數(shù)據(jù)模擬—嚴(yán)格證明”，這一探索方法(過程)非常重要

.

七、 結(jié)語

本節(jié)課是一節(jié)“雙新”展示公開課，可以在“研直播”觀看(研直播—教研活動—數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)展示課及專家點(diǎn)評)，本節(jié)課的設(shè)計突出以下方面

.

首先，從單元的角度來看，從實際情境出發(fā)，結(jié)合二項分布提出超幾何分布的概念及其均值的探索與研究，培養(yǎng)學(xué)生從情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系的能力

.

其次，本節(jié)課大膽利用統(tǒng)計與概率的密切聯(lián)系，從統(tǒng)計的角度鼓勵學(xué)生進(jìn)行超幾何分布的研究，并利用統(tǒng)計的思想“一兩撥千金”地完成規(guī)范化的證明，學(xué)生形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)精神

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從教學(xué)過程來看，本節(jié)課非常注重數(shù)字化學(xué)習(xí)的引導(dǎo)，利用圖形計算器、R語言等工具模擬隨機(jī)過程，幫助學(xué)生探索；注重統(tǒng)計課程的完整性，引導(dǎo)學(xué)生完整地經(jīng)歷了觀察、猜想、模擬、證明的過程

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