提煉共性，體現(xiàn)特征，促進(jìn)知識(shí)結(jié)構(gòu)整體化
——“單元”視角下的“乘法公式”教學(xué)設(shè)計(jì)

200127 上海市浦東教育發(fā)展研究院 徐 穎

對(duì)于“乘法公式”這一部分的內(nèi)容，在實(shí)際教學(xué)中，許多教師會(huì)產(chǎn)生比較一致的感受，即在新課教學(xué)的過程中，學(xué)生的學(xué)習(xí)情況較為良好，一旦進(jìn)入綜合運(yùn)用階段，有些學(xué)生就會(huì)出現(xiàn)公式混用或者用錯(cuò)的現(xiàn)象

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究其原因，可能是這些學(xué)生對(duì)于“乘法公式”的整體理解還不夠，尤其是對(duì)兩個(gè)公式之間差異性的感受不夠明顯

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在人教版、北師大版、浙教版以及滬教版的教材中，“乘法公式”這一知識(shí)內(nèi)容的呈現(xiàn)有著較高的一致性，基本都分為“平方差公式”和“完全平方公式”兩個(gè)主題內(nèi)容，并且它們的先后順序、所用課時(shí)基本一致

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因此，可以從發(fā)掘教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)過程等一致性的角度出發(fā)，采用共性特征設(shè)計(jì)教學(xué)，著重在知識(shí)整體探究的過程中不斷呈現(xiàn)差異比較

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一、 分析教材，提煉共性

筆者對(duì)教材進(jìn)行研讀，主要對(duì)多個(gè)版本教材中的“乘法公式”內(nèi)容從年級(jí)、課時(shí)、內(nèi)容的關(guān)鍵環(huán)節(jié)(問題)等角度進(jìn)行比較

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(如表1所示)

表1

教材內(nèi)容所處年級(jí)和課時(shí)內(nèi)容關(guān)鍵環(huán)節(jié)(問題)人教版八年級(jí)上4課時(shí)☆計(jì)算下列多項(xiàng)式的積,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎?☆你能根據(jù)圖形的面積說明平方差(完全平方)公式嗎?☆閱讀與思考:楊輝三角(不在正式課時(shí)內(nèi))北師大版七年級(jí)下4課時(shí)☆觀察以上算式及其運(yùn)算結(jié)果,你有什么發(fā)現(xiàn)?再舉兩例驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn)☆①分別求圖形面積,比較結(jié)果,你能驗(yàn)證平方差公式嗎?②你能用圖解釋完全平方(和)公式嗎?③請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)圖形解釋這一公式(完全平方公式、平方差公式)☆想一想,在算式運(yùn)算的過程中,發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?請(qǐng)用字母表示這一規(guī)律,你能說明它的正確性嗎?☆讀一讀:楊輝三角(不在正式課時(shí)內(nèi))浙教版七年級(jí)下4課時(shí)☆平方差公式計(jì)算:a+b a-b =比較等號(hào)兩邊的代數(shù)式,它們?cè)谙禂?shù)和字母方面各有什么特點(diǎn)?你能根據(jù)兩個(gè)陰影的面積關(guān)系直觀地說明平方差公式嗎?☆完全平方公式大正方形的邊長(zhǎng)為a+b.請(qǐng)用兩種不同的方法計(jì)算這個(gè)大正方形的面積,你發(fā)現(xiàn)了什么代數(shù)公式?你能否用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則推導(dǎo)出這一代數(shù)公式?請(qǐng)?jiān)囈辉嚾绻補(bǔ)-b 2寫成a+(-b) 2,就可以由兩數(shù)和的完全平方公式寫出兩數(shù)差的完全平方公式☆楊輝三角與兩數(shù)和的乘方(不在正式課時(shí)內(nèi))滬教版七年級(jí)上4課時(shí)☆通過計(jì)算你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?☆你能根據(jù)圖中圖形的面積關(guān)系來說明平方差(完全平方)公式嗎?☆探究活動(dòng)一:一組平方數(shù)規(guī)律的探究(字母表示數(shù))☆閱讀材料:賈憲三角(不在正式課時(shí)內(nèi))

通過比較可以得到以下發(fā)現(xiàn)

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首先，相關(guān)知識(shí)的內(nèi)容與順序都一致，即平方差公式、完全平方公式、應(yīng)用以及賈憲(楊輝)三角

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其次，“平方差公式”和“完全平方公式”這兩個(gè)教學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)系是并列的，也就是沒有嚴(yán)格的先后邏輯關(guān)系

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最后，“平方差公式”和“完全平方公式”在教材中的呈現(xiàn)形式及順序有比較明顯的一致性，它們都是兩個(gè)兩項(xiàng)一次多項(xiàng)式相乘的特殊情況，一個(gè)是在公式的呈現(xiàn)形式上表現(xiàn)為兩個(gè)特殊的多項(xiàng)式相乘，另一個(gè)是用圖形解釋(說明)公式時(shí)利用特殊四邊形的面積

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同時(shí)，這兩個(gè)公式在呈現(xiàn)的過程上基本一致，也就是說，相關(guān)教學(xué)過程中的基本流程幾乎一致，人教版與滬教版的教材中，基本都呈現(xiàn)了如圖1所示的教學(xué)流程

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北師大版與浙教版教材在完全平方公式部分呈現(xiàn)了不同的流程，但其關(guān)鍵環(huán)節(jié)是與圖1一致的

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圖1

二、 適當(dāng)整合，制定方案

基于內(nèi)容之間的邏輯關(guān)系以及教學(xué)流程的一致性，可以對(duì)一致性進(jìn)行提煉，重新規(guī)劃單元

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在各個(gè)版本教材的相關(guān)學(xué)習(xí)內(nèi)容中，關(guān)于乘法公式的內(nèi)容涉及四個(gè)課時(shí)，而“賈憲三角(楊輝三角)”基本不在這四個(gè)課時(shí)的教學(xué)中，需要另外安排時(shí)間教學(xué)，有些教師可能不安排教學(xué)這一內(nèi)容

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綜合各版本教材的分析，需要在單元規(guī)劃過程中通過構(gòu)建主線與邏輯將教材進(jìn)行重組，并相應(yīng)地進(jìn)行整合，制定方案，同時(shí)確定教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計(jì)問題與活動(dòng)

.

學(xué)生學(xué)習(xí)存在著一個(gè)較大的問題，即不會(huì)選擇解決問題的方法，例如，在學(xué)習(xí)時(shí)死記硬背、生搬硬套各種乘法公式，經(jīng)常出現(xiàn)張冠李戴的現(xiàn)象

.

針對(duì)這一問題，教師要在這些公式的引入環(huán)節(jié)做好設(shè)計(jì)，讓學(xué)生明白公式是怎么得到的，會(huì)分辨公式各有什么樣的特點(diǎn)，而不是教師教一個(gè)、練一個(gè)，學(xué)生學(xué)一個(gè)、扔一個(gè)

.

基于這樣的考慮，筆者將完全平方公式與平方差公式的導(dǎo)出部分合并

.

完成整體規(guī)劃后，四個(gè)課時(shí)的教學(xué)可以這樣安排：平方差公式、完全平方公式的探究(1課時(shí))；公式的基礎(chǔ)應(yīng)用(含簡(jiǎn)便運(yùn)算，2課時(shí))；拓展與提高(應(yīng)用問題、換元、楊輝三角，1課時(shí))

.

單元規(guī)劃的重點(diǎn)在于公式的引入部分，因此，先重點(diǎn)分析乘法公式的引入，隨后再進(jìn)行后續(xù)教學(xué)與學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)

.

一般地，將公式研究過程的主要環(huán)節(jié)歸納為“發(fā)現(xiàn)”、舉例、說明(解釋)、式子、文字表述、驗(yàn)證

.

北師大版教材重點(diǎn)呈現(xiàn)的是除了驗(yàn)證之外的五個(gè)環(huán)節(jié)

.

(如圖2所示)

圖2

方案1

利用特殊四邊形的面積，將“發(fā)現(xiàn)”與說明(解釋)環(huán)節(jié)整合

.

(如圖3所示)

圖3

制定目標(biāo)如下

.

(1)經(jīng)歷平方差公式、完全平方公式的探求過程，理解這兩個(gè)公式的意義，知道平方差公式、完全平方公式與多項(xiàng)式乘法法則的關(guān)系

.

(2)熟悉平方差公式、完全平方公式的特征，會(huì)初步選擇、運(yùn)用平方差公式與完全平方公式進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算

.

(3)以折紙、拼圖為載體，搭建創(chuàng)新實(shí)踐平臺(tái)，產(chǎn)生對(duì)問題研究的好奇心與探究欲望

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(4)通過借助圖形面積進(jìn)行說明的過程，體會(huì)“從一般到特殊”的研究問題方法和數(shù)形結(jié)合、化歸的數(shù)學(xué)思想．

方案2

利用兩個(gè)兩項(xiàng)一次多項(xiàng)式相乘的特殊性，將“發(fā)現(xiàn)”與驗(yàn)證環(huán)節(jié)整合

.

(如圖4所示)

圖4

制定目標(biāo)如下

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(1)理解平方差公式、完全平方公式的意義以及它們與多項(xiàng)式乘法的關(guān)系，會(huì)初步選擇、運(yùn)用平方差公式與完全平方公式進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算

.

(2)經(jīng)歷對(duì)公式的推導(dǎo)進(jìn)行說明的過程，體會(huì)“從一般到特殊”的研究問題方法和化歸的數(shù)學(xué)思想

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(3)通過參與課堂活動(dòng)，感受探索與合作的樂趣，并從中獲得成功的體驗(yàn)

.

三、 問題引領(lǐng)，細(xì)化活動(dòng)

在教學(xué)設(shè)計(jì)中，首先打破“數(shù)”和“形”在同一個(gè)公式教學(xué)中同步出現(xiàn)的情況，通過“數(shù)”和“形”兩個(gè)特殊性探究角度串聯(lián)起幾個(gè)乘法公式

.

方案1

利用特殊四邊形的面積，將“發(fā)現(xiàn)”與說明(解釋)環(huán)節(jié)整合

.

本案例由華東師范大學(xué)張江實(shí)驗(yàn)中學(xué)的教師完成，在教學(xué)設(shè)計(jì)中，將原先兩課時(shí)的內(nèi)容進(jìn)行合并與調(diào)整：兩個(gè)公式的導(dǎo)出與辨析作為第一課時(shí)，練習(xí)與鞏固作為第二課時(shí)

.

學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)比較薄弱，在導(dǎo)出部分主要采用教師設(shè)計(jì)活動(dòng)、學(xué)生同桌合作交流完成的形式，探究的主要成果以填空的形式出現(xiàn)，具體的導(dǎo)入設(shè)計(jì)如下

.

1

.

操作與填空(同桌合作交流完成)(1)把一張正方形紙片的一邊任意分成兩段，它們的長(zhǎng)度分別設(shè)為

a

和

b

(且

a

>

b

)，用同樣的方法把紙片的另一邊也分成

a

和

b

兩段，然后按照如圖5-1所示折出虛線部分，沿著折痕剪下圖形，并在剪下的每塊圖形上寫出它所表示的面積．

請(qǐng)問：大正方形的邊長(zhǎng)是________；大正方形的面積可以表示為________；還可以表示為________；它們的數(shù)量關(guān)系是________．

圖5-1

(2)按照?qǐng)D5-2所示，把兩張邊長(zhǎng)為

a

和

b

的長(zhǎng)方形紙片以白色部分為正面覆蓋在邊長(zhǎng)為

a

的正方形紙片上．

請(qǐng)問：圖5-2中陰影部分的邊長(zhǎng)是________；它的面積可以表示為________；還可以表示為________；它們的數(shù)量關(guān)系是________．

(3)按照?qǐng)D5-3所示，在邊長(zhǎng)為

a

的正方形紙片的角上剪去邊長(zhǎng)為

b

的正方形，請(qǐng)你再剪一刀，把這個(gè)不規(guī)則的圖形拼接成一個(gè)我們熟悉的四邊形．

請(qǐng)問：拼接成四邊形后的面積可以表示為________；圖5-3陰影部分的面積表示為________；它們的數(shù)量關(guān)系是________．

圖5-2圖5-3

2．思考(學(xué)生個(gè)人完成)

(

a

+

b

)=

a

+2

ab

+

b

;(

a

-

b

)=

a

-2

ab

+

b

;(

a

+

b

)(

a

-

b

)=

a

-

b

.

你能運(yùn)用我們所學(xué)過的知識(shí)來解釋上述式子從左到右的變化過程嗎？

以上的教學(xué)實(shí)踐設(shè)計(jì)基于整式教學(xué)中關(guān)于乘法公式的兩個(gè)要點(diǎn)：用圖形的面積說明(理解)乘法公式、用整式乘法法則推導(dǎo)乘法公式

.

同時(shí)，將教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)的突破口定位在先學(xué)會(huì)分辨差異，再鞏固提高正確率

.

通過折紙，圖形面積“算兩次”，學(xué)生直觀感知平方差、完全平方公式的形式

.

在此基礎(chǔ)上，師生一起運(yùn)用多項(xiàng)式乘法的運(yùn)算法則探求平方差公式與完全平方公式

.

通過課堂的引入以及配套的辨析練習(xí)，學(xué)生普遍對(duì)于這兩個(gè)公式能夠做出較好的區(qū)分與辨別，并且基本采用先觀察、再計(jì)算的方法進(jìn)行乘法計(jì)算，教學(xué)效果較好

.

方案2

利用兩個(gè)兩項(xiàng)一次多項(xiàng)式相乘的特殊性，將“發(fā)現(xiàn)”與驗(yàn)證環(huán)節(jié)整合

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以北師大版教材為例，在乘法公式的前一節(jié)課“整式的乘法”中，有如下隨堂練習(xí)

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計(jì)算：(1)(

m

+2

n

)(

m

-2

n

)；(2)(2

n

+5)(

n

-3)；(3)；(4)(

ax

+

b

)(

cx

+

d

)．這四道題目蘊(yùn)含了很大的信息量，從人教版教材對(duì)于兩個(gè)項(xiàng)數(shù)為2的多項(xiàng)式相乘的一般式看，如果(

a

+

b

)(

p

+

q

)中的

p

，

q

有一些特殊的特征，那么相乘所得多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)可能出現(xiàn)特殊的情況，可以直接順著這樣的練習(xí)，在乘法公式的教學(xué)中，用以下的問題引入

.

兩個(gè)項(xiàng)數(shù)為2的多項(xiàng)式相乘所得多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)可能是________

.

具有一些特征的兩個(gè)項(xiàng)數(shù)為2的多項(xiàng)式相乘會(huì)得到一些較特殊的結(jié)論

.

你能舉出一些例子并進(jìn)行說明嗎？這樣的引入可能對(duì)于一些學(xué)生顯得過于開放，那么可以適當(dāng)?shù)貙?duì)問題進(jìn)行分解，通過多項(xiàng)式的一些特殊性引入

.

問題1

你能用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言來敘述兩個(gè)多項(xiàng)式相乘的法則嗎？

問題2

如果兩個(gè)多項(xiàng)式中的項(xiàng)有特殊的形式，其計(jì)算結(jié)果有何特征？

問題2

.

1

如果兩個(gè)多項(xiàng)式中的項(xiàng)完全相同，其計(jì)算結(jié)果有何特征？

問題2

.

2

如果兩個(gè)多項(xiàng)式中的項(xiàng)完全相反，其計(jì)算結(jié)果有何特征？

問題2

.

3

如果兩個(gè)多項(xiàng)式中一項(xiàng)相同，一項(xiàng)相反，其計(jì)算結(jié)果有何特征？以上教學(xué)設(shè)計(jì)中，問題2

.

1至問題2

.

3是對(duì)問題2的補(bǔ)充，如果在課堂中有比較充足的時(shí)間，學(xué)生會(huì)較自然地生成問題2

.

1至問題2

.

3三個(gè)問題

.

因此，在上海市陸行中學(xué)南校進(jìn)行的課堂實(shí)踐過程中，教師根據(jù)不同班級(jí)學(xué)生的課堂反饋情況，由統(tǒng)領(lǐng)性問題生成后續(xù)的分解小問題，且提出小問題的先后順序也會(huì)有所差異

.

通過以上問題，學(xué)生能比較快地找出=

a

+2

ab

+

b

以及(

a

+

b

)(

a

-

b

)=

a

-

b

，此時(shí)就可以參考浙教版教材“如果把寫成，就可以由兩數(shù)和的完全平方公式寫出兩數(shù)差的完全平方公式”，將=

a

+2

ab

+

b

與=

a

-2

ab

+

b

兩個(gè)公式進(jìn)行比較

.

這樣的引領(lǐng)性問題體現(xiàn)了如圖6所示的乘法公式的引出過程，更多地體現(xiàn)出學(xué)生的自主探究

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圖6

以上兩個(gè)方案在探究過程中，都關(guān)注到乘法公式的特殊性，從數(shù)和形兩個(gè)角度進(jìn)行研究，在保持研究角度一致的情況下，需要從數(shù)的角度對(duì)從形的角度觀察得到的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，也可以從形的角度對(duì)從數(shù)的角度探究歸納得到的結(jié)果進(jìn)行說明與表示

.

因此，這兩種方案設(shè)計(jì)都可以在一個(gè)課時(shí)的學(xué)生探究過程中得出三個(gè)特殊的乘法公式，同時(shí)也達(dá)成了分開推導(dǎo)所不能達(dá)到的目標(biāo)：分辨各個(gè)公式各有什么樣的特點(diǎn)，以及進(jìn)行各個(gè)公式差異的比較

.

知識(shí)結(jié)構(gòu)化不僅體現(xiàn)在單元或章節(jié)的復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)中，而且應(yīng)該體現(xiàn)在新課的教學(xué)中

.

找到知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，從結(jié)構(gòu)生成的角度進(jìn)行合理、有效的設(shè)計(jì)，并且設(shè)計(jì)好問題與活動(dòng)，重點(diǎn)體現(xiàn)學(xué)生對(duì)于新問題的研究思路與探究過程，這就是單元教學(xué)的魅力與價(jià)值所在

.