方程與不等式中的數(shù)學(xué)思想

201108 上海星河灣雙語(yǔ)學(xué)校 胡清湉

現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系分為相等關(guān)系和不等關(guān)系兩種

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其中，相等關(guān)系衍生為“方程”，不等關(guān)系衍生為“不等式”，方程和不等式是初等數(shù)學(xué)中解決數(shù)量關(guān)系現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的有力工具之一，簡(jiǎn)潔高效

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又因?yàn)閮烧咛N(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，因此它們成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中一個(gè)重要組成部分

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受傳統(tǒng)教育模式的影響，部分教師在教學(xué)過(guò)程中忽視知識(shí)與概念背后的數(shù)學(xué)思想，缺乏對(duì)于數(shù)學(xué)概念整體的思考

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筆者以“一次方程和不等式”為例，深入剖析在教學(xué)中需要重點(diǎn)滲透的數(shù)學(xué)思想

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一、 方程與不等式的核心思想

從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度出發(fā)，概念既需要分類，亦需要結(jié)構(gòu)化的思考，將各種知識(shí)點(diǎn)和方法融會(huì)貫通后抽象成一個(gè)概念體系，并能夠使用該抽象的概念體系逐步進(jìn)行推理和建立模型，以解決更多問(wèn)題

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小學(xué)到中學(xué)階段，無(wú)論是國(guó)內(nèi)還是國(guó)外的教材，都將“方程與不等式”列為課程標(biāo)準(zhǔn)中的一個(gè)舉足輕重的篇章

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以實(shí)際問(wèn)題為背景，由基本等量關(guān)系而建立起來(lái)的代數(shù)方程有著非常高的實(shí)用價(jià)值，用方程求解實(shí)際問(wèn)題能夠以靜制動(dòng)、化逆為順

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另一個(gè)非常重要的原因是，從代數(shù)角度來(lái)看，方程與不等式為“式”；而從圖形角度來(lái)看，方程與不等式則為“形”，它們更是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物

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方程與平面以及空間幾何圖形(如點(diǎn)、直線、曲線、平面、曲面等)都有對(duì)應(yīng)關(guān)系；而不等式則是以對(duì)應(yīng)方程為邊界的一些區(qū)域

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方程與不等式之間“對(duì)立與統(tǒng)一”的關(guān)系使得兩者的聯(lián)系更為緊密，它們也是抽象思維和形象思維高度結(jié)合的產(chǎn)物

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二、 方程的初步認(rèn)識(shí)

方程的學(xué)習(xí)在國(guó)內(nèi)外教材中普遍始于小學(xué)高年級(jí)階段，在此之前，學(xué)生基本使用算術(shù)方法解決問(wèn)題

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用算術(shù)方法解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生有時(shí)會(huì)使用逆向思維，而對(duì)于此類問(wèn)題，使用方程求解能夠起到“化逆為順”的作用

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如《九章算術(shù)》中有以下盈虧問(wèn)題

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今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各幾何？

(1)算術(shù)方法求解：在每個(gè)人出的金額不變的前提下，人數(shù)從8個(gè)變成7個(gè)時(shí)，原本總金額從還能盈余3元變成虧損4元，則人數(shù)為(3+4)÷(8-7)=7(個(gè))，物價(jià)為8×7-3=53(元)

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(2)使用方程求解：假設(shè)有

x

個(gè)人，根據(jù)物價(jià)不變性質(zhì)列出等式8

x

-3=7

x

+4,

x

=7(個(gè))

.

在該盈虧問(wèn)題的方程求解過(guò)程中，通過(guò)假設(shè)變量，順利地將一個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解變量的問(wèn)題，體現(xiàn)出從具體到抽象的思想

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通過(guò)假設(shè)變量，能夠?qū)⑶蠼狻耙阎鞭D(zhuǎn)化為“未知”，體現(xiàn)出化歸思想

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算術(shù)方法的根本是找出“變化關(guān)系”，與算術(shù)方法相比，方程的本質(zhì)是找出等量關(guān)系，“以靜制動(dòng)”，通過(guò)分析等量關(guān)系，從而能夠更為簡(jiǎn)潔地解決實(shí)際問(wèn)題

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一年級(jí)到四年級(jí)的學(xué)生基本使用算術(shù)方法解決問(wèn)題，但隨著解決問(wèn)題難度的增加，算術(shù)問(wèn)題往往不容易求解，這時(shí)方程就體現(xiàn)出它的優(yōu)勢(shì)了

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例如，對(duì)于問(wèn)題“把一張正方形的紙剪成若干個(gè)小正方形，如果剪成邊長(zhǎng)為2厘米的小正方形，剪出的小正方形個(gè)數(shù)比剪成邊長(zhǎng)為3厘米的小正方形多20個(gè)，兩種剪法都正好用完紙，原來(lái)這張正方形紙的面積是多少平方厘米？”根據(jù)正方形的面積不變，列出等量關(guān)系，根據(jù)兩種情況下原正方形面積的表示方法，可以得出相應(yīng)的方程

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按照順向思維，找準(zhǔn)等量關(guān)系就能夠迅速求解，簡(jiǎn)言之，這就是“方程思想”

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學(xué)生在小學(xué)階段重點(diǎn)學(xué)習(xí)一元一次方程的求解方式，一元一次方程的解在數(shù)軸上實(shí)質(zhì)即為一個(gè)點(diǎn)

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作為方程的初步學(xué)習(xí)，一元一次方程的思想也為后續(xù)初高中方程和不等式的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)

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三、 方程的“式與形”

方程的“式與形”示意圖如圖1所示

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圖1

一次方程(或稱線性方程)是初中學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，其主要包括一元一次方程、二元一次方程、三元一次方程

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與之相對(duì)應(yīng)的是一次方程組，主要包括二元一次方程組、三元一次方程組

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前文已經(jīng)提及一元一次方程的解在數(shù)軸上體現(xiàn)為一個(gè)點(diǎn)

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再看二元一次方程，它的代數(shù)形式為

Ax

+

By

=

C

(

A

,

B

,

C

是實(shí)數(shù))，其在直角坐標(biāo)系中所有符合條件的點(diǎn)的集合{(

x

,

y

)|

Ax

+

By

=

C

}為一條直線，即一次函數(shù)

.

因而，在美國(guó)Common Core課程標(biāo)準(zhǔn)中，二元一次方程被稱為“Linear Equation with two variables”(含有兩個(gè)變量的一次方程)

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作為函數(shù)而言，其性質(zhì)也值得深入討論，在此僅從方程組角度進(jìn)行剖析

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二元一次方程組在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占據(jù)很重要的部分

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對(duì)于二元一次方程組的解集，從“數(shù)”的角度出發(fā)，可以通過(guò)聯(lián)立方程組求得公共解；從“形”的角度出發(fā)，可以通過(guò)繪制直線圖形求得公共解

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將解集與公共點(diǎn)有機(jī)結(jié)合，這其中蘊(yùn)含的就是數(shù)形結(jié)合思想，無(wú)形的式與有形的圖結(jié)合在一起，把抽象的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為形象化的問(wèn)題，便于學(xué)生理解和分析

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典型例題如下

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例題

某手機(jī)話費(fèi)運(yùn)營(yíng)商提供兩種話費(fèi)套餐，套餐1為基礎(chǔ)月租費(fèi)40元，此外每分鐘收取0

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2元電話費(fèi)；套餐2為月租費(fèi)60元，不限電話使用時(shí)間

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請(qǐng)問(wèn)每月打多少分鐘電話時(shí)，兩種套餐總價(jià)一樣？

求解：

假設(shè)每月打電話

x

分鐘，每月話費(fèi)總價(jià)為

y

元，則可以列出二元一次方程組通過(guò)求解，可得方程組的解如果從圖像上分析，可以清晰地看出這兩個(gè)二元一次方程代表的兩條直線的位置關(guān)系是相交，而交點(diǎn)(100,60)正是該方程組的解(如圖2所示)

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從代數(shù)角度看，通過(guò)聯(lián)立方程組得到公共解；從圖形角度看，兩條直線的交點(diǎn)就是方程組的公共解

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在該典型例題的講解過(guò)程中，將代數(shù)方程組的求解問(wèn)題與兩直線位置關(guān)系結(jié)合進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生能夠?qū)τ诜匠探M的本質(zhì)有更深入的理解，從而更好地理解數(shù)形結(jié)合思想

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圖2

美國(guó)Common Core課程標(biāo)準(zhǔn)將二元一次方程組中兩個(gè)方程之間的兼容性和獨(dú)立性分為三類，即平行(無(wú)交點(diǎn))、相交(1個(gè)交點(diǎn))、重合(無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn))，對(duì)應(yīng)inconsistent system(不兼容系統(tǒng)),consistent and independent system(兼容且獨(dú)立系統(tǒng)),consistent and dependent system(兼容且依賴系統(tǒng)).

在國(guó)內(nèi)外課程體系中，兩條直線的三種位置關(guān)系判斷也有類似的闡述

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美國(guó)教材在八年級(jí)講解如何通過(guò)直線的斜率和

y

軸截距進(jìn)行判斷(如圖3所示)；而滬教版教材中，這部分內(nèi)容在高二年級(jí)講解，采用的方法基本為使用系數(shù)行列式進(jìn)行判斷

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對(duì)比這兩種方法，其本質(zhì)都是通過(guò)一定的代數(shù)式運(yùn)算，得出有關(guān)圖形之間的關(guān)系，并能夠得出方程組解的個(gè)數(shù)的判斷

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圖3

在內(nèi)容安排上，國(guó)內(nèi)外一致將二元一次方程組的代數(shù)求解放在六年級(jí)、七年級(jí)左右，并強(qiáng)調(diào)通過(guò)“代入”和“加減”消元法求解方程組，這樣求解方程組的思想即是“化歸”的算法思想

.

學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)分式方程、根式方程以及高次方程時(shí)，都可以使用化歸思想，體會(huì)不同類型的代數(shù)方程可以相互轉(zhuǎn)化的辯證觀點(diǎn)

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以此類推可以得到的是，三元一次方程的代數(shù)形式為

Ax

+

By

+

Cz

=

D

(

A

,

B

,

C

,

D

是實(shí)數(shù))在空間坐標(biāo)系中所有符合條件的點(diǎn)的集合{(

x

,

y

,

z

)|

Ax

+

By

+

Cz

=

D

}是以為法向量的空間平面

.

一次方程從一元、二元到三元，在代數(shù)形式上層層遞進(jìn)，在幾何圖形上步步進(jìn)階

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中學(xué)階段的方程學(xué)習(xí)基本到三元一次方程為止，當(dāng)延伸到高等應(yīng)用數(shù)學(xué)分析等量關(guān)系時(shí)，線性方程具備獨(dú)特的規(guī)律性，許多非線性方程都可以通過(guò)線性方程進(jìn)行有效模擬，是數(shù)學(xué)建模的首選

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四、 不等式的“式與形”

不等式的“式與形”示意圖如圖4所示

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圖4

一元一次不等式

Ax

>

B

或

Ax

≥

B

(

A

,

B

是實(shí)數(shù))的解集體現(xiàn)為數(shù)軸上的某一段

.

例如，2

x

-6≤-8的解集用集合表示為{

x

|

x

≤-1}或者(-∞,-1],在數(shù)軸上體現(xiàn)為以-1為端點(diǎn)(包括-1)向左延伸的射線，這即是數(shù)軸表示法，數(shù)軸表達(dá)方式也是數(shù)形結(jié)合的開(kāi)端

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對(duì)于一元一次不等式組來(lái)說(shuō)，結(jié)合集合關(guān)系建立起來(lái)的交集與并集的運(yùn)算更豐富了不等式組的內(nèi)涵

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例如，以下一元一次不等式組(包含2個(gè)不等式)的解集表示如表1所示，假設(shè)其中常量

a

>

b

，并僅討論>或<的情形(≥或≤的情況可以類比得到)

.

在美國(guó)Common Core課程標(biāo)準(zhǔn)中，一元一次不等式組解集的表示被設(shè)置在八年級(jí)上學(xué)期學(xué)習(xí)，前序知識(shí)為一元一次不等式以及集合的初步認(rèn)識(shí)，這讓八年級(jí)的學(xué)生初步體會(huì)了數(shù)形結(jié)合的思想.不過(guò)，因?yàn)樯婕啊斑壿嬇袛唷彼枷?，基于集合概念的一元一次不等式組的解集的運(yùn)算，對(duì)于八年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)仍然是一個(gè)難點(diǎn)，所以，需要經(jīng)過(guò)逐步消化后才能夠在高中進(jìn)一步拓展，這也符合了美國(guó)教材螺旋上升的基本框架.在國(guó)內(nèi)的滬教版教材中，不等式組以交集為關(guān)聯(lián)方式的形式被設(shè)置在六年級(jí)下學(xué)期學(xué)習(xí)，前序知識(shí)為二元一次方程組的學(xué)習(xí)，但這部分的內(nèi)容僅以基本不等式為表達(dá)形式，并沒(méi)有加入集合的概念，僅加強(qiáng)了以數(shù)形結(jié)合為主的不等式組在數(shù)軸上的解集表示.滬教版教材涉及的集合概念將在高一展開(kāi)深入講解，這也能夠讓學(xué)生在初中階段更好地打下運(yùn)算求解、推理論證和數(shù)學(xué)表達(dá)能力的基礎(chǔ).此外，滬教版初中教材的另一個(gè)特點(diǎn)是沒(méi)有出現(xiàn)不等式組以并集為關(guān)聯(lián)方式的形式，但是學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中采用的“分類討論”策略，其實(shí)就是并集邏輯思想的具體體現(xiàn).

表1

一元一次不等式組的解集表示 (a>b)交集的式交集的形-∞,a ∩-∞,b =-∞,b a,+∞ ∩b,+∞ =a,+∞ -∞,a ∩b,+∞ =b,a a,+∞ ∩-∞,b =?并集的式并集的形-∞,a ∪-∞,b =-∞,a a,+∞ ∪b,+∞ =b,+∞ -∞,a ∪b,+∞ =-∞,+∞ a,+∞ ∪-∞,b =a,+∞ ∪-∞,b

二元一次不等式的代數(shù)形式為

Ax

+

By

>

C

或

Ax

+

By

≥

C

(

A

,

B

,

C

是實(shí)數(shù))，其在直角坐標(biāo)系中所有符合條件的點(diǎn)的集合，是以

Ax

+

By

=

C

為邊界的半平面區(qū)域

.

如此，二元一次方程與二元一次不等式在平面內(nèi)高度融合在一起，“相等”代表邊界線，“不等”代表半平面區(qū)域

.

如以下例題

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例題

請(qǐng)用不等式組表示出圖5中的點(diǎn)線與實(shí)線的重合區(qū)域

.

圖5

分析：

圖中點(diǎn)線區(qū)域的邊界線方程為

y

=

x

-2，點(diǎn)線區(qū)域位于邊界線的上方，所以描述點(diǎn)線區(qū)域的不等式即為

y

>

x

-2

.

圖中實(shí)線區(qū)域的邊界線方程為實(shí)線區(qū)域位于邊界線的下方，所以描述實(shí)線區(qū)域的不等式即為從而可以確定不等式組為方程和不等式有機(jī)地結(jié)合在圖像中，體現(xiàn)出“對(duì)立與統(tǒng)一的”思想

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首先要看出“邊界線”等同于“方程”，再者就是要把“半平面區(qū)域”看作“不等式”，“相交部分”即為“不等式組解集”，從而圖像問(wèn)題與代數(shù)問(wèn)題能夠進(jìn)行相互表達(dá)

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本質(zhì)上，二元一次不等式組類型的問(wèn)題能夠很好地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間觀念和數(shù)感，從而進(jìn)行形象思維和抽象思維的交叉運(yùn)用，使得多種思維互相促進(jìn)，有助于培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力

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在線性規(guī)劃問(wèn)題中，二元一次不等式組或多元一次不等式組是“約束條件”，再加上“目標(biāo)函數(shù)”，即為完整的線性規(guī)劃問(wèn)題

.

線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)中一個(gè)重要分支，主要研究線性約束條件下目標(biāo)函數(shù)的極值問(wèn)題

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美國(guó)Common Core課程標(biāo)準(zhǔn)中，將通過(guò)線性規(guī)劃建模實(shí)際問(wèn)題中的找出約束條件以及求解目標(biāo)函數(shù)極值問(wèn)題，分為兩步，分別設(shè)置在八年級(jí)、十年級(jí)學(xué)習(xí)

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如八年級(jí)階段有如下例題

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例題

某動(dòng)物園管理員準(zhǔn)備為山羊區(qū)做一個(gè)圍欄，圍欄的長(zhǎng)至少要80米，圍欄周長(zhǎng)不超過(guò)310米，問(wèn)圍欄可能的長(zhǎng)、寬分別是多少？

圖6

求解：

假設(shè)圍欄的寬是

x

米, 長(zhǎng)是

y

米，因此圍欄符合的不等式組為如圖6，根據(jù)不等式組的圖像表示形式，容易得到圖解為點(diǎn)線和實(shí)線重合區(qū)域，而兩條直線代表的方程，正是重合區(qū)域的邊界線

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在問(wèn)題中“數(shù)”的表達(dá)形式，聯(lián)系到“形”的表現(xiàn)形式，把似乎是純代數(shù)的問(wèn)題，在“形”的引導(dǎo)下，有了最好的解決方式，由抽象到具象，形中有數(shù)，就是“數(shù)形結(jié)合”的思想方法

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滬教版教材統(tǒng)一設(shè)置在高二學(xué)習(xí)，這樣能夠讓學(xué)生初步感受整體“建模思想”，尤其是對(duì)于略復(fù)雜的實(shí)際背景問(wèn)題，如何準(zhǔn)確描述出目標(biāo)函數(shù)和約束條件，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題，也是用數(shù)學(xué)解決生活問(wèn)題的很好的實(shí)踐體驗(yàn)，而這類問(wèn)題也是現(xiàn)代管理科學(xué)的重要理論基礎(chǔ)

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至此，筆者已對(duì)方程與不等式的概念體系進(jìn)行了初步探究，并根據(jù)實(shí)際教學(xué)過(guò)程中需要體現(xiàn)出的教學(xué)重點(diǎn)展開(kāi)分析，旨在培養(yǎng)學(xué)生對(duì)方程與不等式的結(jié)構(gòu)化思考，重點(diǎn)體會(huì)其中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想，認(rèn)識(shí)相互之間的對(duì)立與統(tǒng)一，培養(yǎng)學(xué)生抽象思維、邏輯推理和建立模型等方面綜合運(yùn)用的素養(yǎng)和能力，感受數(shù)學(xué)文化之美，關(guān)注對(duì)于創(chuàng)新思維和創(chuàng)造能力的培養(yǎng)

.