促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維發(fā)展的變式教學(xué)路徑架構(gòu)*

00080 華東師范大學(xué)第一附屬初級(jí)中學(xué) 李建華

數(shù)學(xué)是思維的體操，高階思維是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容

.

“思維著的教學(xué)活動(dòng)決定著學(xué)習(xí)的質(zhì)量

.

因此必須重視人的思維教育，對(duì)于數(shù)學(xué)教育而言，思維教育日益處于核心地位”

.

但是，縱觀目前的數(shù)學(xué)課堂，仍然存在學(xué)生數(shù)學(xué)思維僵化，尤其是學(xué)生的高階思維還沒有得到充分發(fā)展的現(xiàn)象

.

究其原因，主要是部分教師的灌輸式教學(xué)使學(xué)生的思維缺乏適應(yīng)性，在教學(xué)過程中過分強(qiáng)調(diào)套路和模式，減少了學(xué)生思索問題的機(jī)會(huì)，導(dǎo)致學(xué)生在很大程度上只是通過套用模式和模仿解決問題，機(jī)械地使用教材(例如教材中反映概念的圖形通常以標(biāo)準(zhǔn)形式呈現(xiàn)，忽略了標(biāo)準(zhǔn)圖形的特殊性和有限性)，容易形成機(jī)械記憶

.

實(shí)踐證明，變式教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一種重要方法

.

通過創(chuàng)建“含英咀華、披沙揀金、循序漸進(jìn)、‘小題大做’”的變式訓(xùn)練，可以指導(dǎo)學(xué)生以驅(qū)動(dòng)性問題為線索，從多個(gè)方向、多個(gè)角度加以思考，并引導(dǎo)學(xué)生通過現(xiàn)象把握數(shù)學(xué)及其學(xué)習(xí)本質(zhì)

.

它能優(yōu)化學(xué)生思維結(jié)構(gòu)，是提升思維品質(zhì)的利器，并且易于滲透到日常數(shù)學(xué)教學(xué)中，是與教學(xué)無縫銜接的一種有效方法

.

1 變式教學(xué)及其對(duì)高階思維培養(yǎng)的價(jià)值

1.1 變式教學(xué)的內(nèi)涵解讀

《中國(guó)教育百科全書》把“變式”界定為“從各個(gè)不同的角度抓住事物的主要特殊屬性，概括出事物的一般屬性的思維方式”

.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，“變式”是指相對(duì)于一種固定范式的變化形式，即不斷改變問題情境或改變思維角度的變化模式，使事物的非本質(zhì)屬性在保持事物本質(zhì)不變的前提下不斷遷移，在數(shù)學(xué)教材中具體表現(xiàn)為數(shù)學(xué)思維結(jié)果

.

“變式教學(xué)”是運(yùn)用變式原理突出學(xué)科的概念、規(guī)律和本質(zhì)特征的教學(xué)，是一種指向高階思維培養(yǎng)的教學(xué)策略

.

它是重要的數(shù)學(xué)教學(xué)思想，也是思維訓(xùn)練的重要途徑

.

它要求數(shù)學(xué)課程開發(fā)和教學(xué)實(shí)施通過不同性質(zhì)和類別的變式展示知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和形成的完整認(rèn)知過程，凸顯思維過程

.

通過運(yùn)用不同的知識(shí)和方法，從不同的角度、不同的層次、不同的情境、不同的背景對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行變式研究，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從“變化”現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”中尋求“變化”規(guī)律，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

.

它有助于培養(yǎng)學(xué)生透過現(xiàn)象認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的批判型思維，以及求異、思變的創(chuàng)新型思維

.

1.2 數(shù)學(xué)高階思維——一種復(fù)雜思維

高階思維是一個(gè)相對(duì)的概念

.

目前，關(guān)于高階思維的定義在學(xué)術(shù)和實(shí)踐領(lǐng)域尚無普遍共識(shí)，但是從現(xiàn)有文獻(xiàn)中可以找到高階思維的一些共同特征，即高階思維是一種復(fù)雜思維，不是預(yù)先給定的程序，具有多種解決方案、多種標(biāo)準(zhǔn)，是一種基于情境的、充滿不確定性且過程復(fù)雜的問題解決過程，需要付出更多的努力，高階思維的結(jié)果往往具有建設(shè)性的意義

.

發(fā)展高階思維是當(dāng)今社會(huì)對(duì)人才培養(yǎng)提出的新要求，是學(xué)生未來適應(yīng)社會(huì)所必備的能力，也即學(xué)生發(fā)展的核心素養(yǎng)

.

數(shù)學(xué)高階思維，指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)域所表現(xiàn)出的高認(rèn)知水平和認(rèn)知能力，是一種指向元認(rèn)知的思維方式

.

基于文獻(xiàn)研究和課堂實(shí)踐，筆者發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)高階思維是面對(duì)教師提供的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中為完成任務(wù)提出的學(xué)習(xí)要求所表現(xiàn)出來的高水平心智活動(dòng)，突出表現(xiàn)為策略型思維、批判型思維、創(chuàng)新型思維

.

1.3 變式教學(xué)和數(shù)學(xué)高階思維培養(yǎng)的內(nèi)在契合性

研究表明，數(shù)學(xué)高階思維通常構(gòu)思于復(fù)雜的問題情境中，在問題分析和解決活動(dòng)中發(fā)展，可以通過有效的、基于情境的訓(xùn)練來實(shí)現(xiàn)

.

而變式教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要教學(xué)理念，可以作為幫助學(xué)生鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、形成數(shù)學(xué)能力、提高思維品質(zhì)的最直接最有效的訓(xùn)練方式

.

一方面，變式教學(xué)能有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)批判型思維和創(chuàng)新型思維

.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的思維方式通常分為收斂思維和發(fā)散思維

.

收斂思維是深入理解數(shù)學(xué)概念、全面把握數(shù)學(xué)知識(shí)體系的重要思維方式，也是數(shù)學(xué)批判型思維的重要組成部分

.

在數(shù)學(xué)變式教學(xué)中，主要通過“一題多問”或“多題歸一”的辯證過程，凸顯思維發(fā)展歷程，引導(dǎo)學(xué)生將新問題與已解決的同類問題聯(lián)系起來，比較和識(shí)別其特點(diǎn)，將新問題轉(zhuǎn)化為舊問題，或運(yùn)用解決舊問題的經(jīng)驗(yàn)方法，培養(yǎng)學(xué)生的收斂思維

.

發(fā)散思維不局限于一種方式或一種理解，而是傾向于多方向延伸，通過多維度思考各種可能的解決問題方法，屬于創(chuàng)造型思維

.

在數(shù)學(xué)變式教學(xué)中，主要通過“一題多解”或“一題多變”促進(jìn)學(xué)生思維多向拓展，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考問題，尋求最佳解決方案，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維

.

變式教學(xué)可以整合“收斂”和“發(fā)散”兩種相反的思維模式的優(yōu)勢(shì)，培養(yǎng)學(xué)生的批判型思維和創(chuàng)新型思維，促進(jìn)學(xué)生思維結(jié)構(gòu)的不斷完善、優(yōu)化

.

另一方面，變式教學(xué)可以使學(xué)生在判斷、比較和選擇各種變式時(shí)發(fā)展自己的策略型思維

.

它鼓勵(lì)學(xué)生使用多種方法和策略來解決真實(shí)問題，學(xué)生需要結(jié)合具體的問題情況，發(fā)掘潛在條件，提出一些假設(shè)和解決問題的路徑，并從眾多解決方案中選擇更佳、更簡(jiǎn)單的方法以及最有效的路徑和步驟等

.

這一過程是學(xué)生運(yùn)用策略型思維的體現(xiàn)

.

簡(jiǎn)而言之，變式教學(xué)是學(xué)生高階思維發(fā)生的助推器，順應(yīng)了學(xué)生思維發(fā)展規(guī)律和新時(shí)期數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的新趨勢(shì)

.

2 指向?qū)W生數(shù)學(xué)高階思維發(fā)展的變式教學(xué)的路徑

數(shù)學(xué)高階思維的發(fā)展需要高階學(xué)習(xí)的支持

.

高階學(xué)習(xí)是要求學(xué)習(xí)者運(yùn)用數(shù)學(xué)高階思維的學(xué)習(xí)活動(dòng)

.

實(shí)踐表明，“一題多解”“多題歸一”“一題多問”“一題多變”等變式訓(xùn)練方法有利于學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維的發(fā)展

.

基于此，筆者對(duì)數(shù)學(xué)高階思維培養(yǎng)的變式教學(xué)發(fā)展路徑展開了積極探索

.

2.1 從“一維”走向“多維”:讓策略型思維在變式教學(xué)中架構(gòu)

策略型思維是指學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念、定理、公式或解決數(shù)學(xué)問題的過程中進(jìn)行提煉、變通、優(yōu)選或遷移的行為

.

它具有抽象性、多樣性、擇優(yōu)性和遷移性的典型特征，屬于數(shù)學(xué)高階思維范疇

.

2

.

1

.

1 一題多解，拓廣思路在教學(xué)中，面對(duì)同一素材來源，引導(dǎo)學(xué)生非常規(guī)、全面、多角度地思考問題，探索不同的解決方法

.

例如，在講解例題時(shí)，不局限于教材中已有的解決方案，引導(dǎo)學(xué)生探索其他解決方案，克服靜態(tài)孤立的思維習(xí)慣，實(shí)現(xiàn)方法的靈活變通和優(yōu)選優(yōu)化

.

案例1

列方程解應(yīng)用題(一題多解)

例題

請(qǐng)用三種方法解答下面的實(shí)際情境應(yīng)用題

.

某電腦公司2021年的各項(xiàng)經(jīng)營(yíng)收入中，經(jīng)營(yíng)電腦配件的收入為800萬元，占全年經(jīng)營(yíng)總收入的40%．該公司預(yù)計(jì)2023年經(jīng)營(yíng)總收入要達(dá)到2880萬元，且計(jì)劃從2021年到2023年，每年經(jīng)營(yíng)總收入的年增長(zhǎng)率相同，問2022年預(yù)計(jì)經(jīng)營(yíng)總收入為多少萬元?

如何求解這道實(shí)際情境數(shù)學(xué)應(yīng)用題？首先，逐句讀題，厘清題中涉及的量及它們之間的關(guān)系

.

通過審讀發(fā)現(xiàn)本題主要條件有三句話，根據(jù)這三句話可得到的數(shù)量關(guān)系為“三個(gè)相等關(guān)系”，具體如下

.

①2021年電腦配件收入800萬元÷40%=2021年全年經(jīng)營(yíng)總收入

.

②2023年經(jīng)營(yíng)總收入=2880萬元

.

③2021年—2022年的年經(jīng)營(yíng)總收入增長(zhǎng)率=2022年—2023年的年經(jīng)營(yíng)總收入增長(zhǎng)率

.

然后，選擇其中的一個(gè)相等關(guān)系進(jìn)行“轉(zhuǎn)譯”，并根據(jù)轉(zhuǎn)譯相等關(guān)系時(shí)出現(xiàn)的未知量設(shè)未知數(shù)，列出方程求解

.

根據(jù)這三個(gè)相等關(guān)系，依次可以列出三個(gè)不同的方程解答該實(shí)際情境數(shù)學(xué)應(yīng)用題，具體如下

.

方法1：

利用相等關(guān)系①

解法1：

設(shè)該電腦公司每年經(jīng)營(yíng)總收入的年增長(zhǎng)率為

x

，根據(jù)題意，得解得

x

=0

.

2，

x

=-2

.

2(不合題意，舍去)

.

故將

x

=0

.

2代入(800÷40%)(1+

x

)得(800÷40%)(1+0

.

2)=2400(萬元)

.

答：該電腦公司2022年預(yù)計(jì)經(jīng)營(yíng)總收入為2400萬元

.

方法2：

利用相等關(guān)系②

解法2：

設(shè)該電腦公司每年經(jīng)營(yíng)總收入的年增長(zhǎng)率為

x

，根據(jù)題意，得(800÷40%)(1+

x

)=2880，解得

x

=0

.

2，

x

=-2

.

2(不合題意，舍去)

.

故將

x

=0

.

2代入(800÷40%)(1+

x

)得(800÷40%)(1+0

.

2)=2400(萬元)

.

答：該電腦公司2022年預(yù)計(jì)經(jīng)營(yíng)總收入為2400萬元

.

方法3：

利用相等關(guān)系③

解法3：

設(shè)該電腦公司2022年預(yù)計(jì)經(jīng)營(yíng)總收入為

x

萬元，根據(jù)題意，得

x

=(800÷40%)×2880，解得

x

=2400，

x

=-2400(不合題意，舍去)

.

答：該電腦公司2022年預(yù)計(jì)經(jīng)營(yíng)總收入為2400萬元

.

在學(xué)生自主探索的過程中，教師要主動(dòng)巡視指導(dǎo)，提供必要的支架和幫助，鼓勵(lì)學(xué)生以不同的方式進(jìn)行探索和嘗試,并根據(jù)學(xué)生的具體情況及時(shí)進(jìn)行調(diào)控

.

同時(shí)，教師向?qū)W生展示各種方法，進(jìn)行適當(dāng)點(diǎn)撥

.

2

.

1

.

2 多題歸一，透“表”求“里”學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的實(shí)踐中存在許多同一類型問題，因此，可以使用相同的思維方式或方法來解決問題，即多題歸一或一法多用

.

在解決問題的過程中，為強(qiáng)化一種解決問題的方法，可以將不同內(nèi)容的練習(xí)有機(jī)地整合在一起，編成一組，引導(dǎo)學(xué)生觀察和對(duì)比，讓學(xué)生明確問題實(shí)質(zhì)，用同樣的方法解決問題

.

此外，教材中的許多例題(習(xí)題)在解法上是相同的，復(fù)習(xí)時(shí)可以將其歸為一類，引導(dǎo)學(xué)生用同樣的方法解決問題，使學(xué)生不沉迷于表面現(xiàn)象，而是透“表”求“里”，自覺認(rèn)識(shí)同一問題的本質(zhì)，然后提煉出規(guī)律、方法，比較分類，由一個(gè)問題認(rèn)識(shí)一個(gè)類別

.

案例2

解直角三角形的應(yīng)用(多題歸一)

例題

某市正在對(duì)城區(qū)河段進(jìn)行區(qū)域性景觀打造，某施工單位需要測(cè)得某河段的寬度，如圖1-1，測(cè)量員先在河對(duì)岸岸邊取一點(diǎn)

A

，再沿河邊取兩點(diǎn)

B

，

C

，在

B

處測(cè)得點(diǎn)

A

在北偏東30°方向上，在點(diǎn)

C

處測(cè)得點(diǎn)

A

在西北方向上，量得

BC

長(zhǎng)為200米

.

求小河的寬度(結(jié)果保留根號(hào))

.

圖1-1

變式

如圖1-2，小明家所在居民樓的對(duì)面有一座大廈

AB

，

AB

=80米

.

為測(cè)量這座居民樓與大廈之間的距離，小明從自己家的窗戶

C

處測(cè)得大廈頂部

A

的仰角為37°,大廈底部

B

的俯角為48°

.

求小明家所在居民樓與大廈的距離

CD

的長(zhǎng)度

.

(結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù):其實(shí)例題與變式題是“形異質(zhì)同”的兩個(gè)問題，因?yàn)樗鼈兊幕窘Y(jié)構(gòu)是相同的，其實(shí)質(zhì)都是“已知兩個(gè)銳角

α

，

β

和一邊長(zhǎng)

m

(如圖1-3所示)，求高

x

”

.

它們均可利用解直角三角形的方法，列出形式完全相同的方程求解，即在例題與變式題中，若分別設(shè)小河的寬度、居民樓與大廈的距離為

x

，則根據(jù)題意所列出的方程分別是

x

cot60°+

x

cot45°=200(例題)，

x

cot53°+

x

cot42°=80(變式)

.

圖1-2圖1-3

2

.

1

.

3 設(shè)計(jì)題組，應(yīng)變思索設(shè)計(jì)由淺到深的變式題組，根據(jù)建構(gòu)主義思想，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行巧妙轉(zhuǎn)換

.

學(xué)生在由易到難的探究中，通過觀察比較、把握特點(diǎn)，提高舉一反三、觸類旁通的能力，即綜合思維品質(zhì)

.

通過變式教學(xué)，可以有效地指導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)知識(shí)領(lǐng)域和知識(shí)的各個(gè)方面進(jìn)行廣泛聯(lián)想，多角度、多層次、多維觀察和思考

.

在廣泛尋求解決方案和全面研究問題的過程中，有利于學(xué)生保持多維思維，探索新的最優(yōu)狀態(tài)，從而不斷地培養(yǎng)和完善其策略型思維

.

2.2 從“應(yīng)答”走向“質(zhì)疑”：讓批判型思維在變式教學(xué)中喚醒

批判型思維是指在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，學(xué)習(xí)者自覺地對(duì)自己或別人的思維過程和結(jié)果進(jìn)行辨別分析、自我評(píng)價(jià)和自我調(diào)整的一種思維品質(zhì)

.

通常，學(xué)習(xí)者表現(xiàn)出質(zhì)疑、求異或聚合的行為，具有質(zhì)疑性、解構(gòu)性和建構(gòu)性的典型特征，屬于數(shù)學(xué)高階思維

.

2

.

2

.

1 變式舉例，辨析質(zhì)疑在數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用變形設(shè)疑，有意識(shí)地設(shè)置陷阱，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)進(jìn)行辨別和比較，提高其識(shí)別能力

.

例如，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，學(xué)生通?；谝延械囊曈X形象和感性經(jīng)驗(yàn)，通過合理的抽象，建立相應(yīng)數(shù)學(xué)概念的形式化定義

.

然而，由于視覺形象和經(jīng)驗(yàn)的具體性和特殊性，在概念理解上容易產(chǎn)生偏差和片面性，因此，教師應(yīng)通過正、反兩方面的是非辨析或變式舉例等，幫助學(xué)生完成從具體思維到抽象思維的過渡，引導(dǎo)學(xué)生在辨析中深入理解、全面思考，在思辨中闡明概念的本質(zhì)特征

.

案例3

一元一次方程的概念(辨析舉例)在得出了一元一次方程的概念后，教師設(shè)計(jì)了如下例題與變式題

.

例題

判斷下列式子是不是一元一次方程，為什么？(1)7

x

+5=9；(2)2

x

+7；(3)2

x

-4

x

=5；(4)2

y

+3=-6； (5)

x

-7

y

=5；(6)2

a

>9．

變式1

請(qǐng)與同桌互相舉出一元一次方程的例子，并互相進(jìn)行評(píng)價(jià)

.

變式2

設(shè)計(jì)一道以“2019年進(jìn)博會(huì)”為實(shí)際背景的可列出一元一次方程的應(yīng)用題，并進(jìn)行交流

.

本例的六個(gè)式子中，有的不是方程，有的雖是方程但未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于1或未知數(shù)的指數(shù)大于1

.

通過概念辨析，可以幫助學(xué)生鞏固一元一次方程的概念，掌握概念的本質(zhì)

.

變式1和變式2都是開放式問題，能使學(xué)生敞開思路，充分發(fā)揮想象力和創(chuàng)造力

.

本例采取小組合作方式，小組間的交流也可以培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)

.

2

.

2

.

2 一題多問，評(píng)價(jià)反思在數(shù)學(xué)教學(xué)中采用一題多問，引導(dǎo)學(xué)生在已有知識(shí)或經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上對(duì)問題、解法、觀點(diǎn)、思考過程等主動(dòng)提出疑問

.

教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)思考過程、所涉及的知識(shí)、解決問題的方法和策略以及得到的結(jié)果進(jìn)行反思，增強(qiáng)質(zhì)疑求異的自覺性，有利于學(xué)生吸取教訓(xùn)，調(diào)整錯(cuò)誤的思維結(jié)構(gòu)，鼓勵(lì)學(xué)生調(diào)節(jié)自己的行為，改善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并提高數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

.

案例4

探索圖表的規(guī)律(一題多問)

例題

如圖2所示是某年某月的日歷，根據(jù)該日歷回答下面的問題

.

圖2

(1)日歷圖灰色方框中的九個(gè)數(shù)字之和與該方框正中間的數(shù)有什么關(guān)系？

(2)這個(gè)關(guān)系對(duì)其他這樣的方框成立嗎？你能用代數(shù)式表示這個(gè)關(guān)系嗎？

九個(gè)數(shù)之和為90，是正中間數(shù)10的9倍，學(xué)生可能得出其他關(guān)系，可讓學(xué)生再找?guī)讉€(gè)方框檢驗(yàn)自己得出的規(guī)律是否成立

.

若用

a

表示中間的數(shù)，這九個(gè)數(shù)的和等于9

a.

(3)此關(guān)系對(duì)任何一個(gè)月的日歷都成立嗎？為什么？

(4)你還能發(fā)現(xiàn)這樣的方框中九個(gè)數(shù)之間的其他關(guān)系嗎？用代數(shù)式表示

.

小問(3)、小問(4)通過符號(hào)表示數(shù)，學(xué)生體會(huì)符號(hào)運(yùn)算可以驗(yàn)證所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律

.

(5)你還能提出哪些問題？

比解決問題更高明的是提出問題，鼓勵(lì)學(xué)生提出問題，并與同伴互相交流評(píng)價(jià)

.

通過變式教學(xué)，有效地引導(dǎo)學(xué)生有目的、有意識(shí)地對(duì)已有的數(shù)學(xué)表達(dá)式、數(shù)學(xué)思維過程和結(jié)果進(jìn)行分析、判斷、推理、解釋和調(diào)整，從而加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，提高思維靈活性

.

對(duì)因果關(guān)系、問題解決方法、錯(cuò)誤根源、分類總結(jié)等進(jìn)行不同方面、不同層次的思維過程評(píng)價(jià)、分析和總結(jié)，有利于學(xué)生的思維始終處于反思質(zhì)疑、自覺調(diào)控的最佳狀態(tài)，不斷培養(yǎng)和提高學(xué)生的批判型思維

.

2.3 從“摹擬”走向“創(chuàng)新”：讓創(chuàng)造型思維在變式教學(xué)中催生

創(chuàng)造型思維是指在解決問題時(shí)，學(xué)習(xí)者調(diào)動(dòng)已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)以及相應(yīng)資源而獲得獨(dú)特、新穎、有意義的處理方法或者結(jié)果的一種思維品質(zhì)

.

主要表征為學(xué)生對(duì)問題的延伸、發(fā)散或生成具有發(fā)展性、發(fā)散性或生成性的典型特征，屬于數(shù)學(xué)高階思維

.

2

.

3

.

1 一題多變，標(biāo)新立異在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過對(duì)例題(習(xí)題)的多角度、多方向的探索，如條件變化、結(jié)論探索、引申擴(kuò)展、推廣應(yīng)用等，激活學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生積極參與學(xué)習(xí)研究過程，并借助探索和發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)其發(fā)現(xiàn)新知識(shí)、總結(jié)新方法和新規(guī)律的能力，達(dá)到舉一反三、觸類旁通、凝練系統(tǒng)思維結(jié)構(gòu)的目標(biāo)

.

案例5

三角形的外角及其性質(zhì)(一題多變)

例題

如圖3-1，在△

ABC

中，∠

DBC

與∠

ECB

分別為△

ABC

的兩個(gè)外角，如果∠

A

=60°，試求∠

DBC

+∠

ECB

的大小

.

變式1

如圖3-2，在△

ABC

中，

BP

，

CP

分別平分外角∠

DBC

，∠

ECB

，∠

P

與∠

A

有怎樣的數(shù)量關(guān)系?為什么?

變式2

如圖3-3，在四邊形

ABCD

中，

BP

，

CP

分別平分外角∠

EBC

，∠

FCB

，∠

P

與∠

A

+∠

D

有怎樣的數(shù)量關(guān)系?為什么?

變式3

如圖3-4，在五邊形

ABCDE

中，

BP

，

CP

分別平分外角∠

NBC

，∠

MCB

，∠

P

與∠

A

+∠

D

+∠

E

有怎樣的數(shù)量關(guān)系?為什么?

圖3-1圖3-2

圖3-3圖3-4

2

.

3

.

2 不循常規(guī)，尋求變異在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過比較直接與間接、正向與反向、封閉與開放在各種情況下的變化和形式，引導(dǎo)學(xué)生尋找其中蘊(yùn)含的內(nèi)在關(guān)系，逐步提煉數(shù)學(xué)的精粹，建構(gòu)體系化的思維結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生思維品質(zhì)的不斷優(yōu)化

.

非歐幾何的誕生告訴我們，順推不行時(shí)，考慮逆推；不能直接求解時(shí)，想辦法通過間接求解；原命題研究完后，再研究逆命題；在探索可能性出現(xiàn)困難時(shí)，考慮探索不可能性

.

數(shù)學(xué)教學(xué)的結(jié)果表明，許多學(xué)生學(xué)習(xí)水平較低的重要原因之一是逆向思維能力較弱，這主要表現(xiàn)在對(duì)公式、定理的簡(jiǎn)單認(rèn)識(shí)和死板套用，缺乏創(chuàng)造力、觀察力、分析能力和開拓精神

.

學(xué)生從正向思維向逆向思維快速、自然地轉(zhuǎn)變，是數(shù)學(xué)能力增強(qiáng)的標(biāo)志

.

因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生逆向思維的訓(xùn)練，強(qiáng)化反證法價(jià)值，引導(dǎo)學(xué)生敢于“反其道而思之”，從反面進(jìn)行深入探究，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新型思維

.

案例6

數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)(不循常規(guī))

例題

(1)閱讀材料:商品條形碼是商品的“身份證”

.

我國(guó)使用EAN條碼，常見的為13位，即EAN-13條碼

.

它是由12位數(shù)字和校驗(yàn)碼構(gòu)成的，分別代表國(guó)家代碼、廠商代碼、產(chǎn)品代碼和校驗(yàn)碼(如圖4-1所示)

.

其中，校驗(yàn)碼用來校驗(yàn)前12位數(shù)字代碼的正確性，校驗(yàn)碼的編制是按照特定算法得來的，其算法如圖4-2所示

.

圖4-1

圖4-2

(2)小組實(shí)踐:某校數(shù)學(xué)課外活動(dòng)興趣小組按照下面的五個(gè)步驟編制校驗(yàn)碼

.

步驟1 計(jì)算前12位數(shù)字中偶數(shù)位數(shù)字的和

a.

如

a

=9+1+3+5+7+9=34

.

步驟2 計(jì)算前12位數(shù)字中奇數(shù)位數(shù)字的和

b.

如

b

=6+0+2+4+6+8=26

.

步驟3 計(jì)算3

a

與

b

的和

c.

如3

a

+

b

=3×34+26=128

.

步驟4 取大于或等于

c

的最小整數(shù)

d

，且10|

d.

如

d

=130

.

步驟5 計(jì)算

d

與

c

的差，就是校驗(yàn)碼

X

，即

X

=130-128=2

.

(3)問題解決:某一商品的校驗(yàn)碼被陰影遮擋(如圖4-3所示)，你能夠依據(jù)上面的信息求出該條形碼的校驗(yàn)碼嗎？

變式1

如圖4-4，某商品條形碼中的某個(gè)數(shù)字看不清楚了，你能夠依據(jù)所學(xué)習(xí)的知識(shí)判別這個(gè)數(shù)字嗎？

變式2

假如某商品的條形碼“6919■21■23459”中被陰影遮擋住的兩個(gè)數(shù)字的和為5，你可以利用已有的信息判斷出這兩個(gè)數(shù)字嗎？

圖4-3圖4-4

解法1：

按照從左到右的順序，設(shè)被遮擋的數(shù)字分別為

x

與5-

x.a

=9+9+2+(5-

x

)+3+5=33-

x

，

b

=6+1+

x

+1+2+4=14+

x

，

c

=3

a

+

b

=3(33-

x

)+(14+

x

)=113-2

x

，又因?yàn)?≤

x

≤5，所以0≤2

x

≤10

.

故103≤

c

≤113

.

當(dāng)103≤

c

≤110時(shí)，

d

=110，即110-(113-2

x

)=9，解得

x

=6(不合題意，舍去)

.

當(dāng)110<

c

≤113時(shí)，

d

=120，即120-(113-2

x

)=9，解得

x

=1

.

當(dāng)

x

=1時(shí)，5-

x

=4

.

答：按照從左到右的順序，這兩個(gè)數(shù)字分別是1和4

.

解法2：

按照從左到右的順序，設(shè)被遮擋的數(shù)字分別為

x

與5-

x.a

=9+9+2+(5-

x

)+3+5=33-

x

，

b

=6+1+

x

+1+2+4=14+

x

，

c

=3

a

+

b

=3(33-

x

)+(14+

x

)=113-2

x

，

e

=9，由

e

=

d

-

c

可以得到

d

=

c

+

e

=122-2

x.

又因?yàn)?≤

x

≤5，所以0≤2

x

≤10

.

故112≤122-2

x

≤122

.

因?yàn)?22-2

x

還需要是10的倍數(shù)，所以122-2

x

=120

.

解得

x

=1

.

當(dāng)

x

=1時(shí)，5-

x

=4

.

答：按照從左到右的順序，這兩個(gè)數(shù)字分別是1和4

.

解法3：

按照從左到右的順序，設(shè)被遮擋的數(shù)字分別為

x

與5-

x.a

=9+9+2+(5-

x

)+3+5=33-

x

，

b

=6+1+

x

+1+2+4=14+

x

，

c

=3

a

+

b

=3(33-

x

)+(14+

x

)=113-2

x

，由

e

=

d

-

c

，得

c

=

d

-

e.

又因?yàn)?p>d

是10的倍數(shù)，

e

=9，所以

c

的個(gè)位數(shù)字為1，故3-2

x

=1，或13-2

x

=1

.

解得

x

=1或

x

=6(不合題意，舍去)

.

當(dāng)

x

=1時(shí)，5-

x

=4

.

答：按照從左到右的順序，這兩個(gè)數(shù)字分別是1和4

.

變式3

請(qǐng)?zhí)岢鲆粋€(gè)數(shù)學(xué)問題，并與同學(xué)互相評(píng)價(jià)、交流

.

通過變式教學(xué)，可以有效地引導(dǎo)學(xué)生打破常規(guī)或經(jīng)驗(yàn)，擺脫思維的束縛，靈活改變思維方向，提出多種解決問題的方法

.

引導(dǎo)學(xué)生多角度、多渠道、多方式地思考，用不同的方法解決同一問題，為學(xué)生提供各種機(jī)會(huì)，克服負(fù)遷移，有利于學(xué)生保持發(fā)散、延伸、生成和發(fā)展的最佳狀態(tài)，不斷培養(yǎng)和提高學(xué)生的創(chuàng)造型思維

.

3 變式教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維應(yīng)注意的問題

變式教學(xué)是中國(guó)數(shù)學(xué)教育的傳統(tǒng)和特色，其用于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維，也是行之有效的教學(xué)手段和方法

.

但是，基于學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維培養(yǎng)的變式教學(xué)需要精心設(shè)計(jì)，把握“量”和“度”，不是“多多益善”，不能“為了變而變”，而是要追求質(zhì)量的提高，“變”就是“不變”

.

3.1 培養(yǎng)數(shù)學(xué)高階思維要與具體的變式內(nèi)容相結(jié)合

在課堂教學(xué)中，學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維的培養(yǎng)要與具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容相結(jié)合，將變式教學(xué)內(nèi)容作為學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維培養(yǎng)的載體

.

對(duì)于不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容，其變式教學(xué)的重點(diǎn)、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維的側(cè)重點(diǎn)也應(yīng)該不同

.

例如，在概念教學(xué)的過程中，對(duì)“概念”變式處理的著力點(diǎn)是加強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念的理解，突出概念的本質(zhì)，使學(xué)生對(duì)概念形成更周詳、更深刻的理解，從而培養(yǎng)學(xué)生的批判型思維；在習(xí)題教學(xué)中，對(duì)“例題”變式處理的關(guān)鍵是加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透，拓展思維，讓學(xué)生從模仿解法到自己創(chuàng)新解法，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造型思維；在復(fù)習(xí)課教學(xué)中，對(duì)“題組”變式處理的重點(diǎn)是加強(qiáng)知識(shí)和方法的橫、縱向比較，讓學(xué)生在分析比較中進(jìn)行歸類，并且形成最適合自己的解題方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的策略型思維

.

通過變式推演，歸納概括更高水平的概念內(nèi)涵，形成數(shù)學(xué)學(xué)科大概念，這是培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要手段

.

3.2 掌控好變式教學(xué)的量，給學(xué)生足夠的思考空間

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維的變式教學(xué)，要把握變化的“密度”和“廣度”

.

課堂時(shí)間有限，為了讓學(xué)生的思維逐步走向深入，變式教學(xué)的次數(shù)不宜過多，不能為了變式而變式，這就“稀釋”了問題的本質(zhì)，阻礙了思維的展開

.

對(duì)于同一變式問題，要給學(xué)生足夠的時(shí)間進(jìn)行思考

.

不論是通過引導(dǎo)學(xué)生多角度地思考問題，探索不同的解決方法，并從不同解法中提煉出一般規(guī)律、方法，以架構(gòu)學(xué)生的策略型思維；還是運(yùn)用變形設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題解決的過程與結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)和反思，以培養(yǎng)學(xué)生的批判型思維；抑或是讓學(xué)生在變式過程中發(fā)現(xiàn)新知識(shí)、總結(jié)新方法和新規(guī)律，以催生學(xué)生的創(chuàng)新型思維

.

這些思維的展開與深入，都需要給學(xué)生足夠的時(shí)間，將同一變式問題研究透徹，讓變式教學(xué)問題成為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維的載體

.

將“導(dǎo)”和“引”，歸納和演繹有機(jī)整合，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，促進(jìn)思考問題方法的多元化

.

3.3 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維的變式教學(xué)要有學(xué)習(xí)進(jìn)階梯度

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維的變式教學(xué)，要注意變式的“梯度”和“深度”，雖然變式教學(xué)最終指向?qū)W生數(shù)學(xué)高階思維的培養(yǎng)，但應(yīng)以基礎(chǔ)知識(shí)作為階梯，不能忽視學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)、原理的掌握，從學(xué)生知識(shí)和思維的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維不斷發(fā)展

.

這就需要變式教學(xué)能夠由淺入深地展開，有效地激活學(xué)生的思維，不斷促進(jìn)學(xué)生思維的螺旋式提升，引導(dǎo)學(xué)生向更深層次發(fā)展自己的認(rèn)識(shí)

.

利用最近發(fā)展區(qū)和支架理論，幫扶有度，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性和成就感

.

總之，在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)高階思維，教師是關(guān)鍵

.

教師要積極更新觀念，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)、辯證思維水平，強(qiáng)化問題意識(shí)教學(xué)，教學(xué)方法和策略主動(dòng)求新求變

.

教師要不斷鼓勵(lì)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，無論是在行動(dòng)上還是在思想上，都要通過各種形式架構(gòu)策略型思維、喚醒批判型思維、催生創(chuàng)造型思維，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的不斷進(jìn)階

.